2024年高考数学最后冲刺训练《新高考新题型二》含答案解析

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）+3（多选题）+3（填

空题）+5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、

数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如

本卷第19题。

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的。

1.已知一组数据加，4,2,5,3的平均数为〃，且加，”是方程无2-4x+3=0的两根,

则这组数据的方差为（）

A.10B.y/lQC.2D.V2

2.P=｛a|a=（-1,1）+w（l,2）,meR｝,Q=｛而=（1,一2）+〃（2,3）,〃eR｝是两个向量集合,

则p。。等于（）

A.｛（1,-2）｝B.｛（-13,-23）｝C.｛（-2,1）｝D.｛（-23,-13））

3.在A45C中，内角/、B、C所对的边分别为a、b、c,若/、B、C成等差数列，

3a、3b、3c成等比数列，则coScos3=（）

.1121

A.—B.—C.—D.一

2436

4.在三棱锥S-/8C中，底面23c为边长为3的正三角形，侧棱底面A8C,若

三棱锥的外接球的体积为36万，则该三棱锥的体积为（）

A.9A/2B.C.述D.27行

22

5.有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二

极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示

不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种

A.10B.48C.60D.80

c

6.设a=b=log31,2+c=0,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

7.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，

到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬

勃发展的风口.Pe"左于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间t（单位:

h）与放电电流/（单位A）之间关系的经验公式C=其中〃为尸常数，

为了测算某蓄电池的Peah〃常数〃，在电池容量不变的条件下，当放电电流/=20A时，

放电时间，=20h；当放电电流/=30A时，放电时间f=10h.则该蓄电池的Peukert常数n

大约为（）（参考数据：lg2a0.30,lg3“0.48）

458

A.-B.-C.-D.2

333

22

8.过双曲线=-右=l（a>0,6>0）的右焦点尸作渐近线的垂线，设垂足为尸（尸为第

ab

一象限的点），延长尸尸交抛物线/=2.5>0）于点。，其中该双曲线与抛物线有一个

—»1—►―►

共同的焦点，^OP=-（OF+OQ）f则双曲线的离心率的平方为

A.V5B.立C.y/5+1D.避上1

22

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1+i

C.若z=（l+2i『，则复数z对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足|z-2i|=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆

10.设直线系M：xcosO+Q-2）sind=l（04042;r）,则下面四个命题正确的是（）

A.点（0,2）到”中的所有直线的距离恒为定值

B.存在定点尸不在M中的任意一条直线上

C.对于任意整数〃（〃23）,存在正”边形，其所有边均在“中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

11.定义在R上的偶函数/（x）满足〃x-3）=〃5-x）,当xe[0,l]时，/（尤）=》.设函

数g（x）=log5|x-l|,则下列结论正确的是（）

A.的图象关于直线尤=1对称

717

B.〃x）的图象在尤=：处的切线方程为昨…宁

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+/（2024）=2

D.7（x）的图象与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为10

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={x[l<x<3},集合5={*2加<%<1-加},命题。：xeA,命题9：

xeB,若夕是9的充分条件，则实数加的取值范围是.

13.已知多项式（X+3）（X—I），=UQ++a?/+03工3++%厂，贝！|

a2+a3+a4+as=.

14.正方体/BCD-48cA中，E是棱的中点，F在侧面CDDG上运动，且满足

BFH平面A、BE.以下命题正确的有.

①侧面CDDG上存在点F,使得B/1CD{

②直线B[F与直线BC所成角可能为30°

③平面48E与平面CDQG所成锐二面角的正切值为2a

④设正方体棱长为1,则过点瓦/，/的平面截正方体所得的截面面积最大为手

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知A/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

6=3,c=l,a=6cos5.

⑴求。的值：

(2)求证：A=2B；

⑶cos一m的值

16.(15分)如图1,在平面五边形/3CDE中，AEHBD,且。£=2,NEDB=6Q。,

CD=BC=5,cosZDCS=1,将△BCD沿AD折起，使点C到P的位置，且

EP=6,得到如图2所示的四棱锥尸-48DE.

⑴求证；依_1平面/8。£；

(2)若AE=1,求平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值.

17.(15分)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开

始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外

其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，

棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

时，游戏结束.记棋子跳到第〃格的概率为勺(〃=123,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)证明：数列{£-%}(〃=2,3,…,24)为等比数列.

18.(17分)焦点在x轴上的椭圆土+4=1的左顶点为M,/(%,“)，B(x2,y2),

4b2

6(x3,%)为椭圆上不同三点，且当团=2瓦时，直线也和直线MC的斜率之积为

~4'

⑴求b的值；

(2)若ACMB的面积为1,求x；+x：和—的值；

⑶在(2)的条件下，设的中点为。，求|8卜|幺目的最大值.

Y2V3r"

19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式：e，=l+x+t+土+…+土+…其中

2!3!n\

加=1X2X3X4X…x〃,e为自然对数的底数，e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.设

/(x)=£_£l,g(x)=£±£l)根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如

下问题.

(1)证明：ex>l+x；

(2)设xe(0,+co),证明：止!<g(x)；

⑶设尸(x)=g(x)-a]l+D，若x=0是尸(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

2024年高考考前逆袭卷(新高考新题型)02

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8(单选题)+3(多选题)+3(填

空题)+5(解答题)，其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、

数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如

本卷第19题。

第I卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的。

1.已知一组数据加，4,2,5,3的平均数为〃，且加，”是方程无2-4x+3=0的两根,

则这组数据的方差为()

A.10B.y/lQC.2D.V2

【答案】C

【详解】解：方程--4x+3=0,即(X-3)(X-1)=0,解得X=3或X=1,又这组数据

的其它值都大于1，

:.m=\,H=3,显然g(l+4+2+5+3)=3,符合题意.

所以-3)2+(4-3『+(2-3『+(5-3)2+(3-3)1=2.

故选：C.

2.P={ala=(-1,1)+m(l,2),m&R},。={瓦5=(1,-2)+"(2,3),〃e号是两个向量集合,

则pn。等于()

A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(-2,1)}D.{(-23,-13))

【答案】B

【详解】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，

在集合9中，花=(T+加,1+2m),

在集合。中，/=(1+2力,-2+3〃).

要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，

•••元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，

[-1+加=1+2〃[m=-12

・•]]om，解得]

[1+2加=-2+3〃.=7

此时£=/=(—13,-23).

故选：B.

3.在A45C中，内角/、B、C所对的边分别为〃、b、c,若/、B、。成等差数列，

3a、3b、3c成等比数列,则cos24cos8=()

1121

A.—B.—C.—D.一

2436

【答案】B

【详解】解：由A,B,C成等差数列，有25=/+C(1)

•.•4,B,。为A45C的内角，：.A+B+C=TI(2).

7T

由(1)(2)得8=1.

由3a,3b,3c成等比数列，得b=ac,

由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB

IT

把8=H、代入得，a2+c2-ac=acJ

TT

即(a-c)2=0,则。=。，从而/=C=8=],

,„111

cosAcosB=-x—=—,

224

故选：B.

4.在三棱锥S-ABC中，底面23C为边长为3的正三角形，侧棱S/L底面43C,若

三棱锥的外接球的体积为36%，则该三棱锥的体积为()

A.9也B.百色C.迪D.2772

22

【答案】C

【详解】如图，设外接球的球心为。•在三棱锥S-/BC中，底面48C是边长为3的正

三角形，侧棱山，底面N8C,三棱锥的外接球的体积为36万，.•.三棱锥的外接球的半

径R=05=3.

过A作4EJ_BC,交BC于E,过球心。作OD_L平面48c于。，则De/E,且。是

△28C的重心，:.AD^-AE=-ylAB2-BE2=73,：,OD=J。/?-AD°=瓜；：0至！J

S4的距离为40=6，SA=OD+yjoS--AD2=276>:该三棱锥的体积

1

=—X2V6x

V^3-XSAXS1M\ABDC\^—x3x3xsin60°

3

5.有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二

极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示

不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种

A.10B.48C.60D.80

【答案】D

【详解】解：先选出三个孔来:

1）若任意选择三个孔，则有C73=35种选法

2）若三个孔相邻，则有5种选法

3）若只有二个孔相邻，

相邻孔为1、2两孔时,第三孔可以选4、5、6、7,有4种选法

相邻孔为2、3两孔时,第三孔可以选5、6、7,有3种选法

相邻孑L为3、4两孑L时,第三孔可以选1、6、7,有3种选法

相邻孔为4、5两孔时,第三孔可以选1、2、7,有3种选法

相邻孔为5、6两孔时,第三孔可以选1、2、3,有3种选法

相邻孔为6、7两孔时,第三孔可以选1、2、3、4,有4种选法

即共有4+3+3+3+3+4=20种选法

.•.选出三个不相邻的孔，有35-5-20=10种选法

对于已选定的三个孔，每个孔都有两种显示信号,

则这三个孔可显示的信号数为2x2x2=8种

・•・一共可以显示的信号数为8*10=80种

故选D

C

6.设0=［；,，b=log31,2+c=0,贝）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】D

【详解】a=则0<。<1；

6=-logs5,1=log33<log35<log39=2,贝|-2<b<-l；

。=一2°<0且一c=20<l,贝l|一l<c<0；

故6<c<a.

故选：D.

7.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，

到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬

勃发展的风口.Pe”品〃于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间t（单位:

h）与放电电流/（单位A）之间关系的经验公式C=其中"为尸eah〃常数，

为了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=20A时，

放电时间f=20h；当放电电流/=30A时,放电时间t=10h.则该蓄电池的Peukert常数n

大约为（）（参考数据：坨2。0.30,炮320.48）

458

A.-B.-C.—D.2

333

【答案】B

【详解】解：根据题意可得C=20〃・20,C=30w40,

.一工口“用20〃.201口口「2丫I

两式相比得------=I,即一二—，

30”[01<3）2

0.35

„=logl=log32=-^1-=怆2

所以门5KIg3-lg20.48-0.33.

故选：B.

22

8.过双曲线3■-4=l（〃〉0/>0）的右焦点厂作渐近线的垂线，设垂足为尸（尸为第

ab

一象限的点），延长尸P交抛物线「=2.5>0）于点。，其中该双曲线与抛物线有一个

—•1—■—.

共同的焦点，若。尸=彳（。尸+O。），则双曲线的离心率的平方为

A.V5B.立C.V5+1D.心上1

22

【答案】D

72

【详解】试题分柝。=与，渐近线方程y=±—X,因为刃，所以X产幺,

2ac

be—►1—►►

尸尸=\力+加=6,因为8=5（8+。。），所以尸为尸。中点，所以电=宁--。，

由抛物线定义得FQ=2bnxQ=2b-c,

2

因止匕2幺=c+2b—c=>Q?=be=/=（/一/）。？=/一/一1二0,又？〉1,所以

C

e2=^H,选D.

2

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i〉l+i

C.若z=（l+2i）2,则复数Z对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足|z-2i|=3,则二在复平面内对应的点的轨迹为圆

【答案】AD

【详解】A：i+i?+『+i,=i-1一i+i=。，本选项正确；

B：因为两个复数不能比较大小，所以本选项不正确；

C：因为z=（l+2i『=l+4i-4=-3+4i,

所以复数Z对应的点位于第二象限，因此本选项不正确；

D：因为|z-2i|=3,

所以z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为（o,2）,半径为3的圆，因此本选项正确，

故选：AD

10.设直线系M：xcosO+（y-2）疝0=1（04"2万），则下面四个命题正确的是（）

A.点（0,2）到M中的所有直线的距离恒为定值

B.存在定点尸不在M中的任意一条直线上

C.对于任意整数”（"23）,存在正“边形，其所有边均在M中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

【答案】ABC

【详解】点（0,2）到M中的直线xcose+（y-2）sine=l（0（ew2i）的距离设为“，则

d=/JT,=1为定值,故直线系M：工（：05，+（了-2）而，=1（04。42%）表示圆

Vcos0+sin26

/+（>-2）2=1的切线的集合.

显然选项A正确；P（0,2）一定不在初中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所

有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数存在正〃边形，其所

有边均在M中的直线上，C选项正确；

如图所示，M中的直线所能围成的正三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如

△ADE,此类三角形面积均相等，另一种是在圆的同一侧，如AA2C,这类三角形面积

也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.

故选：ABC

11.定义在R上的偶函数满足〃尤-3）=〃5-X），当xe[O,l]时，〃尤）=X2.设函

数g（x）=log5|x-l|,则下列结论正确的是（）

A./（x）的图象关于直线x=l对称

717

B.的图象在x=£处的切线方程为y=f+?

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+f（2024）=2

D.〃x）的图象与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为10

【答案】ACD

【详解】对于A,因为〃x）为偶函数，故/（x-3）=/（5-x）=〃x-5）,

故f（x）=f（x+2）,所以-x）=/（x+2）,故〃x）的图象关于直线x=l对称，

故A正确.

对于B,由A中分析可得/（无）是周期函数且周期为2,

故当xe[3,4]时，4-xe[0,1],故/（x）=/（x-4）=/（4-x）=（4-，

故当xe（3,4）时:/，（x）=2（x-4）,故/'[£|=一1,

故切线方程为：尸一,-]+/弓]=-》+',故B错误.

对于c,由y(x)是周期函数且周期为2可得：

7(2021)+/(2022)+/(2023)+/(2024)=2/(0)+2/(1)=2,

故C正确.

对于D,因为g(2-x)=log5|l-x|=g(x),故g(x)的图象关于x=l对称，

而g⑹=1,g(-4)=l且x>l时g(x)=log5(x-l),此时g(x)在(1,+8)上为增函数,

故〃x),g(x)图象如图所示：

由图可得的图象与g(x)的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10.

故选：ACD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={2<%<3},集合3={川2加<%<1-机},命题?：XGA,命题4：

xeB,若。是9的充分条件，则实数机的取值范围是.

【答案】m<-2

【详解】命题命题由。是的充分条件，得/5即

{x[l<x<3}q|x|2m<x<1-mj

\-m>2m

因此<2加,解得加W—2,

1-m>3

所以实数加的取值范围是加2.

故答案为：m<-2

13.已知多项式(％+3)(X—I)4=4+Cl^X+&/+%*'+，贝”

出+/+。4+。5=.

【答案】8

【详解】含》的项为：X.C：.(-1)4+3.C^X.(-1)3=-11X,故〃

令x=0,即3=4，

令X=1,即0=%+4+%+。3+。4+。5，；,。2++。4+。5=8.

故答案为：8.

14.正方体43。。-4巴。12中，£是棱。2的中点，尸在侧面CDDG上运动，且满足

BpH平面4BE.以下命题正确的有.

①侧面CDDG上存在点F,使得BF±CD,

②直线BF与直线BC所成角可能为30°

③平面4BE与平面CDD©所成锐二面角的正切值为2行

④设正方体棱长为1,则过点的平面截正方体所得的截面面积最大为当

【答案】①③

取C.中点M,CG中点N,连接B\M,B\N,MN,

则易证得4N〃4£，MN〃48,且B、NCMN=N,

B、N,MNu平面B\MN,4区/du平面48E,

从而平面片儿W〃平面48E,

所以点F的运动轨迹为线段.

取的中点尸，因为△瓦是等腰三角形，所以片尸，“N,又因为MN〃cn，所

以8尸，C2,故①正确;

设正方体的棱长为。，当点尸与点M或点N重合时，直线耳尸与直线BC所成角最大,

—<-^==tan30°

此时tan/q4尸=所以②错误;

2石

平面与〃平面48E,取尸为的中点,

则MN,GRMN1B1F,：./BFCi即为平面片的与平面CDDG所成的锐二面角，

tan/Bg=舞=2也,所以③正确；

因为当尸为G£与"N的交点时，截面为菱形ZGGE(G为3A的交点)，

此时，GE=4i,&C=6则面积为L亚x百=",故④错误.

22

故答案为：①③

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知A48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

6=3,。=1,a=6cos5.

⑴求。的值：

(2)求证：A=2B；

⑶cos一曰的值

【答案】(1)26(2)证明见解析(3)友口5

6

【详解】(1)由a=6cos3及余弦定理，得1=6"+厂一.，

2ac

因为b=3,c=l,所以/=12,a=2百.

(2)由Q=6cosB及b=3,得a=2bcosB,

由正弦定理得sinZ=2sinBcosB=sin2B,

因为0＜力＜兀，所以/=25或/+23=兀.

若幺+25=兀，则5=C,与题设矛盾，因此4=2瓦

(3)由(I)得cos5=q=拽=@,因为0＜8＜兀，

663

—2

所以sinB—V1cosB—A11——―，

V93

2^2i

所以sin28=2sin8cos5=-----,cos25=2cos2B-\=——，

33

所以cos215一=cosf2B-^\=cos2Bcos+sin25sin.

另解：因为cosA=b*°——L=一1,sin/=J]-cos?4=Jl-工=?垃,

2bc3V93

所以cos2,一三j=cos[28-=cos/cos《+sin/sinE

(I")V32V212V2-V3

=——X-------1--------X—=----------------.

I3)2326

16.（15分）如图1,在平面五边形NBCDE中，AEHBD,且。E=2,AEDB=60°,

CD=BC=47,cosZ£）C5=1,将AgCD沿AD折起，使点C到P的位置，且

EP=y/3,得到如图2所示的四棱锥尸-48ZJE.

⑴求证；PE_L平面4&DE；

⑵若AE=\,求平面P4B与平面PBD所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）交

4

【详解】（1）证明：在“SC中，CD=BC=近,cos/DCB=3,

由余弦定理可得+CC>2-2BC.COcosZZJC8=7+7-2X々XaX*=4,

7

所以BO=2,

又因为DE=2,NEDS=60。，所以△ADE为正三角形,

设8。的中点为尸，连接E尸,尸尸，可得瓦），斯，

又由CD=8C,可得ND_L尸尸，且所，尸尸u平面尸£户，EFCPF=F,

所以8。工平面尸£尸，因为尸£u平面尸EF,所以2OJ.PE,

在APED中，可得PF=YPB?一BF^=展，

在△5DE中，可得EF=」ED?-DF。=百，

又因为£尸=括，可得E尸2+£p2=尸尸2,所以尸£_L£7?,

因为EF,50u平面,且EFcBD=F,所以尸£_L平面4BDE.

(2)解：因为所以/EJ.EF,

又由PEL平面ABDE,且/£,Mu平面/RDE,所以PE工AE,PE工EF,

以£为原点，以E4E£EP所在的直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，可得A(l,0,0),3(1,6,0),F(0,瓜0),尸(0,0,5,

则AB=(0,=(-1,0,73),丽=(-1,-73,V3),丽=(-1,0,0),

—n,,AB=-x/Sy,=0

设平面尸4g的法向量为々=(再,M，zJ,贝"______厂

ncAP=-xl+>J3zi=0

取再=。§\可得必=0,Z]=l,所以〃]=1),

川n•BP--x-6%+G22=0

设平面尸8。的法向量为0=Z2),x2

nx-BF--x2=0

取力=1，可得%=°/2=1,所以%=(0,1,1),

设平面尸”8与平面尸助所成的角为凡由图象可得。为锐角,

EZ,I——IW闻1V2

11

I«>2|2a4

所以平面尸与平面尸8。所成锐二面角的余弦值为XZ.

4

17.(15分)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开

始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外

其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，

棋子向前跳1格若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格

时，游戏结束.记棋子跳到第"格的概率为夕(〃=123,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望；

⑵证明：数列花-=2,3,…,24)为等比数列.

【答案】(1)分布列见解析；期望E(X)=g；(2)证明见解析；

【详解】(1)根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2；

贝”(X=0)=||=5,P(X=1)=詈=K=|，尸(X=2)=|5_3_

-10

可得X的分布列如下：

X012

133

P

10510

期望值为矶X)=0x\+lx|+2乂.=,

(2)依题意，当3V-V23时，棋子跳到第〃格有两种可能：

第一种，棋子先跳到第2格，再摸出两球颜色不同;

第二种，棋子先跳到第n-l格，再摸出两球颜色相同;

C©3

又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为

5

摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为丁

3?

因此可得

373

所以月-只T=-只一2+M/一只-=一只一一只/)，

p_p3

因此可得J1二一£,

与一1一%—2?

即数列仍-匕T}(〃=2,3,…,24)是公比为一|的等比数列.

22

18.(17分)焦点在x轴上的椭圆亍+}=1的左顶点为M,，(国,弘)，B(x2,y2),

C(W，%)为椭圆上不同三点，且当痂=4瓦时，直线"3和直线MC的斜率之积为

~4'

⑴求6的值；

⑵若ACMB的面积为1,求x；+x；和疗+义的值；

(3)在(2)的条件下，设48的中点为D,求|。必|工回的最大值.

【答案】⑴6=1⑵#+x；=4,才+£=1；(3)|

【详解】(1)因为漏=4无，所以。,8,C三点共线，则必有点8和点C关于点。对称,

所以%=-%,X?=F,设直线MB和直线MC的斜率分别为kMB,kMC,

因为点M为椭圆的左顶点，所以M(-2,0),

,歹2-0%二%一0二%

所以a=T^\=

%2一（-2）%2+2$一(—2)七+2，

所以L•^MC=.^.9

X,十乙十乙4

一£

所以

（%2+2）（2—%2）4

所以卷+乂=1,所以〃=i,即6=±1；

(2)设过48两点的直线为/,

当直线/的斜率不存在时，4吕两点关于1对称，所以々=为，%=-%，

2

因为/(占,必)在椭圆上，所以"+式=1,又S@B=1,

12]

所以5M12Ml=1,即同闻=1,结合才+疗=]可得h=&,闻=7^,

此时x；+x；=4,必2+)=i,所以弓+々=生

%+%

当直线/的斜率存在时，设其方程为歹=H+加，加w0,

y=kx+m

联立,,肖去丁得（1+4左2）%2+8.x+4m2一4=0,

----1-V=1

[4J

2

其中A二（8•『一40+4左2）（4加2-4）=16（4左2-m+l）〉0①,

二匚-8km4m2-4

所以…

所以|AB\=，]+42J（X]+工2）2_4%工2=Jl+』2•42+1

\m\

因为O到直线/的距离d二乙+

J1+左2

月不以邑38=?“a-d=l,

所以;而.生*郎*./=1,整理的4—用+1=。，符合①式,

-8km）22

28m-8

止匕时入；+%；=（再+x2）-2XX=・小

121+41+4左2

22

%2+；=1』+1一三=2-1=1；

1244

（3）因为=4（X]；"[+）]+（七-/丁+（M-%）2

=2（x；+x；+y：+£）=10,

由z।।।।4|0D「+|4B『

所以2|0。卜|/@V-J_LJ_L=5,

即\OD\-\AB\<|,当且仅当2|。。|=|^|=V5时等号成立,

此时AOAB为直角三角形且ZAOB为直角，

xx(AXj+机)(仇+加)=(1+女2)M%2+冽化(再+%2)+加2

故OA