2024年高考数学考试易错题：不等式（新高考专用）（解析版）

专题03不等式

题型一：等式与不等式性质的应用易错点：忽略不等式变号的前提条件

题型二：有关一元二次不等式求解

气易错点：遗漏一元二次方法求解的约束条件

集问题

题型三：基本不等式最值问题外易错点：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性

易错点一：忽略不等式变号的前提条件(等式与不等式性质的应用)

1.比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0色>1（。，b〉0）或q<1（。，6<0）

bb

a=ba-b=0””0）

a<ba-b=0q<l（q,b〉0）或q〉1（。，b<0）

bb

2..等式的性质

(1)基本性质

性质性质内容

对称性a〉bob〈a；a<b=b>a

传递性a>b,b>cna>c；a<b,b〈cna〈c

可加性a>ba+c>b>c

可乘性

a>b9c>0^ac>be；a>b,c<0^>ac

同向a>c,c>d=>a+c>6+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN*an>bn

类型1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是

在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

类型2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的

单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法.

易错提醒：（1）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前

提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.

（2）不等式性质包括“充分条件（或者是必要条件）”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础.

例."0<a<6”是“1>L，的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由则工>：成立，充分性成立；

ab

由若〃=1,6=-1,显然0<。<6不成立，必要性不成立;

ab

所以“0<"6"是一>，的充分不必要条件.

ab

故选：A

变式1.已知a>6>0,则下列关系式正确的是（）

A.若。〉0,贝1B.若c>0,贝!!一

ab

C.若c>0且c>l,则D.若c<0,则同<国

【答案】A

【详解】A选项，因为c>0,故y=x。在（0,+司上单调递增，

因为a>b>0,所以优>6。，A正确；

B选项，因为a>b>0,所以0<上<1,因为。>0,所以一〈不，B错误;

abab

C选项，若0<c<l,则》=，在R上单调递减，

因为a>6>0,所以c"<cJC错误；

D选项，因为a>6>0,所以时>例，

因为c<0,则M>0,故国>花|,D错误.

故选：A

变式2.对于实数a,b,c,下列结论中正确的是（）

A.若a>6,则m2>6（;2B.若。>6>0,贝！J—

ab

C.若a<b<0,则一<—D.若a>b,—,贝!J06<0

baab

【答案】D

【详解】解：对于A：c=0时，不成立，A错误；

对于B：若。>6>0,贝B错误；

ab

对于C：令。=-2"=-1,代入不成立，C错误；

对于D：若a>6,—>—,贝!]a>0,b<0,则ab<0,D正确；

ab

故选：D.

变式3.已知。，ax均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,则於24<从。24

什,,20242024

B.若a<b,贝nU------<-—

ab

C.若办2必<笈2。24,贝（J"/,

D.若a<b,则办2必<6尤2。24

【答案】c

【详解】A,当"-2,6=1时，（-2严4>/。24,A错误;

B,当。=0时，----没意义，B错误；

a

C,由"2。24</23，知*4>0,所以。<人C正确;

D,当X=0时，冰2024<云2°24不成立，D错误.

故选：C

1.已知实数a,b,C,若a>b,则下列不等式成立的是（）

A."B.41<人1

【答案】C

【详解】选项A：因为。>6,取a=l,b=-l,则故A错误;

ab

选项B：<b3a<b，

与已知条件矛盾，故B不正确；

选项C：因为c2+2>0>一一>0

c2+2

所以故C正确；

C2+2C2+2

选项D：当c=0时，ac2—be2>故D不正确；

故选：C.

2.若b<a<0,则下列结论不正确的是（）

ab>a2

A.—abB.

C.孤〉版D.|a|+|6|>|a+6|

【答案】D

【详解】对于A,因为6<a<0,所以仍>0,所以2<三，即工<\,所以A正确，

ababab

对于B,因为6<a<0,所以所以B正确，

对于C,因为>=近在R上递增，b<a<0,所以无〉版，所以C正确，

对于D,若6=-2,a=-l,则同+同=3,b+司=/3|=3,贝！］同+同=卜+可，所以D错误,

故选：D

3.已知。>6,c>d,则下列不等式一定成立的是()

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.”ln(c-d)>61n(c-d)

【答案】C

【详解】对于A,令。=2,6=1,c=-2,d=-3,显然有a>b,c>d,而QC=-4<-3=bd,A错误;

对于B,由c〉d,知令a=-d,b=-e。,显然有而=-e，+"=-加"，B错误；

对于C,由a>b,c>d,得e">/>0,1>e1>0,因此e"七，>e",C正确；

对于D,若a>b,令c=2,d=l,有c>d,而aln(c-d)=0=ZHn(c-d),D错误.

故选：C

4.若!<：<(),则下列不等式中正确的是()

ab

A.a<bB.同>同C.a+b>abD.—+-^->2

【答案】D

【详解】因为工<:<o,所以。<0)<0,则">0.

ab

所以皿<或<0即6<a<0,AB错误.

ab

因为6<Q<0,所以。+6<0,。6〉0,贝！JQ+6<QZ),C错误.

因为6<。<0,所以2>0,3>0

ab

则2+巴>2、口=2,D正确.

ab\ab

故选：D

5.若a、b、cGR,且a>6,则下列不等式一定成立的是()

2

A.a+c>b+cB.[a-b^c2>0C.ac>beD.------>0

a-b

【答案】B

【详解】因为。、b、CGR,且a>6,则〃一6〉0,c2>0,

由不等式的基本性质可得a+c>b+c,A错；(a-b)c2>0,B对；

当cvO时，ac<be,C错；---->0D错.

a-b?

故选：B.

6.下列命题中正确的是（）

A.若a>b,则分>加2B.若c<d,则巴〉乌

ca

C.若。>6,c>d,贝!Jo-ob-dD.若Q6〉0,a>b,贝（

ab

【答案】D

【详解】A选项，当c=0时，ac2=bc2,故A错误；

B选项，当。=1,6=0,c=-2,d=—l时，—=-^-,-7=0,故B错误;

c2dca

C选项，当。=1,6=0,c=l,d=0时，a-c=b-d,故C错误；

D选项，若ab〉0,a>b,则』-1二°〃<0,即故D正确.

ababab

故选：D.

7.设xeR,贝是“W〉x”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由|x|>x,可得x<0,

则x<l是x<0的必要不充分条件.

故选：B

8.已知“，6GR,P：a<b,q：。2>人（2。一6）,则夕是^的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】解：因为。，Z?eR,q：a1>b（2a-b）

22

BPa-lab+Z?>0,即（。一6）2>0,则Mb,

而。：a<b,

所以，夕是^的充分不必要条件，

故选：A.

9.下列四个选项能推出的有（）

ab

A.b>0>aB.a>O>b

C.0>a>bD.a>b>0

【答案】ACD

【详解】—<—o-——<0<=>ab（a—b）>0,

abab

对于A,当ZJ〉0〉Q时，ab<0,a-b<0,所以仍（〃一6）>0,所以A正确，

对于B,当Q>0>6时，ab<0,a-b>0,所以仍（。一6）<0,所以B错误，

对于C,当0〉。>6时，ab>0,a-b>0,所以〃Z?（Q—Z?）>0,所以C正确，

对于D,当a>6>0时，ab>0,a-b>0,所以必（〃一6）〉0,所以D正确,

故选：ACD.

10.已知a>b>l、«-&=\,则()

A.2一">B.a2b-ab2>a—b

C.a-b>3D.a2-b2>6

【答案】BCD

【详解】因为a>b,所以2">2J故2一。<2"，故A错误；

a2b—ab2=ab^a-b^>a-b,故B正确；

a—b=+VKj=\[a+\[b=+1>3,故C正确;

a2-b2=(6Z-ZJ)((7+ZJ)>3X2=6,故D正确.

故选：BCD.

11.已知实数a,6满足0<a<6,则下列不等式一定正确的是（）

A.T~b<1B.tana<tan/)

…aa+1

C.-<------D.b\na<a\nb

bb+1

【答案】AC

【详解】选项A,由0<。<6得。-6<0,2a~b<1>故A正确;

兀3兀_

选项B,取。=—,b=—,可得tana=l,tan/)=-l,不满足tana<tanb,故B错误;

44

aa+1a(6+l)-b(a+l)a—b

选项C,

6(6+1)6(6+1)'

0<a<b,所以Q—b<0,6+l>0,故6(b+])<0,

・六二'故c正确;

选项D,设函数/(x)=乎，x>0,则/(x)=T^

当xe(e,+8)时，r(x)<0,/(x)单调递减,

故时，/(。)〉/伍)，即电0>华",故blna>alnb,故D错误.

ab

故选：AC

易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件(有关一元二次不等式求解

集问题)

解一元二次不等式的步骤：

第一步：将二次项系数化为正数；

第二步：解相应的一元二次方程；

第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；

第四步：写出不等式的解集.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出

错；③结果未按要求写成集合.

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

具体模型解题方案：

1、已知关于x的不等式+的解集为(神，")(其中如？>0),解关于X的不等式

ex2+bx+a>0•

由a/+6x+c>0的解集为（加，力），得:ad）2+6，+c>0的解集为（L,），即关于x的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集为d，

nm

已知关于X的不等式分2+bx+c>0的解集为（机，ri）,解关于X的不等式cx2+6x+a40.

由ax2+foc+c〉0的解集为（加，九），得:『+b—I-c<0的解集为（-8,—]U[—，+8）即关于x的不等

xxnm

式ex2+bx+a<0的解集为（-8,—]U[—，+8）.

nm

2、已知关于1的不等式办2+反+。>0的解集为（冽，九）（其中〃〉冽〉0）,解关于x的不等式

ex2-bx+a>0•

由ax2++c>0的解集为（加，〃），得:。（一了—c>0的解集为（，—）即关于x的不等式

xxmn

ex2-bx+a>0的角星集为（一~—».

mn

3.已知关于％的不等式ax2+岳:+c>0的解集为（冽，〃），解关于％的不等式c/一反+q«o.

由ax?+6x+c>0的解集为（冽，n）,得：〃（—『一台—^。工。的解集为（_8,-—]U[,+8）即关于1的

xxmn

不等式OX?一版+Q40的解集为（-8,---]U[—~，+8）,以此类推.

mn

4、已知关于X的一元二次不等式g2+取+°〉0的解集为R,则一定满足[>：；

[A<0

[tz<0

5、已知关于1的一元二次不等式+的解集为°,则一定满足八/八；

[A<0

6、已知关于x的一元二次不等式办2+加+C<（）的解集为R,则一定满足

[A<0

>0

7、已知关于丁的一元二次不等式"2+反+o<0的解集为0，则一定满足人,八.

[A<0

易错提醒：一元二次不等式

一元二次不等式a—+bx+c〉0（。70）,其中八=〃一4℃，看,工2是方程ax?+6x+c〉0（a，0）的

两个根，且X1<工2

（1）当。>0时，二次函数图象开口向上.

（2）①若A>0,解集为｛》|%>工2或.

②若△=0,解集为且xw—③若△<（）,解集为R.

（2）当。<0时，二次函数图象开口向下.

①若△>（）,解集为｛x.〈xc/｝②若△<（），解集为0。

例.若对于任意实数X,不等式（。-1卜2-2（叱1）》-4<0恒成立，则实数。可能是（）

A.-2B.0C.-4D.1

【答案】ABD

【详解】当。=1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；

f6Z—1<0

当awl时，要湎足｛._，

［A<0

而A=4（Q-1）2+16（tz-1）=4（Q_］（Q+》，

所以解得-3<a<1；

综上，实数4的取值范围是（-3,1］；

所以对比选项得，实数〃可能是-2,0,1.故选：ABD.

变式L已知关于x的不等式办2+所+°〉（）的解集为（_8,—2）D（3,+8）,则下列选项中正确的是（）

A.a<0B.不等式bx+c>0的解集是｛%|x<-6｝

C.a+b+c>QD.不等式巾2一反+。<0的解集为（一oo,—g）u（g,+8）

【答案】BD

【详解】不等式办2+6x+c>o的解集为（一8,—2）。（3,+8）,则-2,3是方程办2+6工+0=0的根，且〃>0,

bc

则——=l,-=-6,a>0,即6=-凡。=一6凡〃>0,A错误；

aa

不等式bx+c>0化为—ax-6a>0,解得x<-6,即不等式bx+c>0的解集是｛x|x<-6｝,B正确；

a+b+c=-6a<0,C错误；

不等式ex2—for+Q<0化为一Gax?+ax+a<0,6x2—x—1>0，解得'<一7或%>；7，

32

所以不等式of一反+a<o的解集为（-8,-1）5；,+8）,D正确.

故选：BD

变式2.已知命题夕：关于1的不等式/_2办-〃〉0的解集为R,那么命题夕的一个必要不充分条件是（）

12

A.-\<a<——B.——<67<0

23

C.-1<«<0D.a>-\

【答案】CD

【详解】命题0：关于x的不等式尤2一2办-a>0的解集为R，

贝！I△=4/+4a<0，解得-l<a<0

又（-1,0）[-1,0],（-1,0）[-1,+⑹，

故选：CD.

变式3.下列叙述不正确的是（）

A.—<2的解是

x2

B.“0VmV4”是“〃7X2+TWX+120”的充要条件

C.已知xeR,则“x>0”是卡-1<1"的必要不充分条件

D.函数/（尤）=苫2+二]的最小值是26-2

【答案】AD

【详解】选项A：工<2的解是或x<0,故A不正确；

X2

一、、[冽>0、

选项B：由歹=加工+冽x+1得A=加2一4加，mx2+mx+1>0恒成立则12/八或冽=0，解得04加《4,

\m-44m<0

所以“0«加《4”是“加工2++1>0”的充要条件,故B正确；

选项C：由,一1|<1得—l<x—1<1,解得0<x<2,所以“工〉0”是“卜一1|<1"的必要不充分条件，故C正确;

选项D：由均值不等式得尤2+2+——22、「2>^^=26,当且仅当，+2=4~；时等号成立，此

x2+1V）X2+2X2+2

时x无实数解，所以〃同二一+了七的最小值大于2百—2,故D不正确；故选：AD

1.已知办2+云+°>0的解集是（-2,3）,则下列说法正确的是（）

A.不等式ex2+bx+a<0的解集是

1OQ

B.一^+6的最小值是:

36+43

6+4

C.若m--m>口_有解,贝！|〃？的取值范围是〃1<-1或机>2

7b+3

D.当c=2时，f(x)=3ax2+6bx,xe瓦棚的值域是,则%的取值范围是[2,4]

【答案】ABD

【详解】因办2+法+°>0的解集是(-2,3),则-2,3是关于工的方程办2+法+°=0的二根，且"0,

hc

于是得——=1,—二-6,BPZ)=-a,c=-6a,a<0,

aa

对于A,不等式of+6x+Q<o化为：6x24-x—1<0,解得-5VA正确;

“he7c12,12I-八4J~12-4*

又寸于B,b>0f------Fb=------1—(3b+4)—之2j---------(3b+4)—=-，

36+436+433V36+4332

1212

当且仅当丁^二彳(36+4),即6=彳时取“=，，，B正确；

3匕+433

对于c…,令际="5则借=~在/(后+◎上单调递增,

6+446+44111+三或心⑵1+

即有而r耳,因病一心而r有解，则疗-心耳，解得加力-万*c

不正确；

对于D,当c=2时，b=-a=^,则/(x)=3"2+66x=--+2x=-(x-l)2+1,f(x)max=/(I)=1,

依题意，nA<l<n2,由〃x)=-3得，》=一1或x=3,因/⑴在[%,%]上的最小值为3

从而得名=-1」〈丐43或-IV441,丐=3,因此D正确.

故选：ABD

2.已知集合么=*|》<-2,或尤>2},B={X\X2-2X-3>Q},则/()

——

A.(°°,1]U(2,+oo)B.(-°°,1]U(2,+oo)

C.(-00,-2)u[1,4-00)D.(-00,-2)U[3,+00)

【答案】A

【详解1由8={x]一—2%—3=(x+1)(%-3)>0}={%|x<-1x>3},

所以4UB=(—巩―l]U(2,+8).

故选：A

3.已知集合屈=卜,2-3x+240},N={x|3i<l},则()

A.{x[0<x<2}B.|x|l<x<3}

C.[x\x<2^D.{x|x<3j

【答案】C

【详解】由/-3尤+240,解得14xW2,所以M={x|14尤42},

因为3'1<1=3°，得x-l<0,所以"={尤|尤<1},

故MuN={x|尤V2}.

故选:C.

4.已知函数/（x）=/+ax+6,若不等式|〃刈42在xe[l,5]上恒成立，则满足要求的有序数对（°为）有（

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】B

【详解】由题意若不等式|/（到V2在xe[1,5]上恒成立，

-2</(1)<2卜2Vl+a+6V2,(1)

()

则必须满足-24/(3)42,gpJ-2<9+3a+/)<2,2

-2</(5)<2[-2<25+5a+Z?<2,(3)

-2<-l-a-Z?<2,(l)

两式相加得-4<8+2a<4^>-6<a<-2,(4),

-2<9+3a+b<2,(2)

-2<-9-3a-b<2,(2)

再由，两式相力口得一4^16+2a<4=>—10<a<—6,(5),

-2<25+5a+b<2,(3)

-2<-5+&<2,(l)

结合(4),(5)两式可知。=-6,代入不等式组得，-24-9+人2,6),

-2V-5+642,(3)

解得6=7,

经检验，当a=-6,b=7时，=%2-6无+7=(x-3)~-2,

有[/("L/⑴=/(5"2,[/(X)L=〃3)=-2,满足,(尤)52在x«l,5]上恒成立,

综上所述：满足要求的有序数对（a，b）为：（-6,7）,共一个.

故选：B.

5.设集合4={%卜+1)(%-4)<0},5={x|2x+a<0},且4cB=卜|一1<x<3},贝1]。=()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

a

【详解】A=1x|-l<x<4j,B=xx<一~

丁ZcB={x|-l<x<3},=3,a=—6,

故选：D.

6.若两个正实数x,y满足4x+y=2盯，且不等式x+有解，则实数小的取值范围是（）

A.-1<m<2B.m<-2或m>1

C.-2<m<1D.m<-l^m>2

【答案】D

4xv12

【详解】根据题意，两个正实数X,y满足4x+y=2孙，变形可得丁+六=1,即丁+—=1,

'2xy2xy2xy

当且仅当4x=y=4时等号成立，则x+4的最小值为2,

若不等式X+冽2一加有解，贝U/一加〉2,可得根<一1或冽>2,

即实数心的取值范围是（-叫T）U（2,+s）.

故选：D.

7.“不等式"2+2"_1<0恒成立，，的一个充分不必要条件是（）

A.-14a<0B.aVOC.-1<。（0D.—1<。<0

【答案】D

【详解】当。=0时，T<0恒成立，

a<0

当aW0时，则解得—1<a<0,

4。2+4。<0

综上所述，不等式办2+2办一1<0恒成立时，-l<tz<0,

所以选项中“不等式"2+2办-1<0恒成立”的一个充分不必要条件是T<a<0.

故选：D.

8.已知当x〉0时，不等式：Y—加+i6>o恒成立，则实数机的取值范围是（）

A.（-8,8）B.（一。用C.（一叫8）D.（8,+oo）

【答案】C

【详解】当%>0时，由f一加x+16>0得加<XH，

X

因x>0,i^x+—>2jxx—=8,当且仅当苫=更即x=4时等号成立，

XVXX

因当x>0时，恒成立，得加<8,

X

故选：C

9.已知集合/={x|a2-“<x<2,xeZ}中恰有两个元素，则。的取值范围为（）

A.[0,1]B.（0,1）C.（1,2）D.[L2]

【答案】B

[详解]由集合/={x|/_a<x<2,xeZ}中恰有两个元素，^-l<a2-a<Q,

解得ae（0,1）.

故选：B.

10.不等式x2+4x-21V0的解集为（）

A.（-oo,-7]u[3,+oo）B.[-7,3]

C.（-00,-3]u[7,+oo）D.[-3,7]

【答案】B

【详解】易知方程一十4尤—21=0可化为（x+7）（x-3）=0,方程的两根为七=-7,%=3；

所以不等式/+4苫-2”0的解集为17,3].

故选：B.

11.若不等式2f+法+（;<0的解集是（。，4）,函数/（尤）=2f+，x+c的对称轴是（）

3

A.x=2B.x=4C.x='D.x=一

2

【答案】A

【详解】解：・・•不等式2必+云+°<0的解集是（0,4）,

**•%=0和1=4是方程2—+Z?x+c=0的两个根，

=0+4,6=-8,

2

函数/（x）=2x2+bx+c的对称轴是％=—g=2.

故选：A.

易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问

题）

1.几个重要的不等式

2

(1)a>0(a>0(a>0)9|aI>0(ae7?).

（2）基本不等式：如果则2痴（当且仅当“a=b”时取

特例：«>0,«+->2;-+->2（a,6同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+〃？>（沟通两和a+b与两平方和/+〃的不等关系式）

2

②abW匕C（沟通两积ab与两平方和/+〃的不等关系式）

2

③（沟通两积ab与两和a+6的不等关系式）

④重要不等式串：—

ab

调和平均值<几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

2.均值定理

已知x,歹eR+.

（1）如果x+y=S（定值），则中〈[*==（当且仅当“》=广时取“=”）.即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果9=尸（定值），则x+y»2肉=2再（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：mx+—>2y[mn（m>Q,n>0）,当且仅当x=1/2时等号成立；

xVm

模型二：mx+n=m(x-a)+n+ma>2y/~mn+ma(m>0,n>0),当且仅当x-a=时等号成立；

x-ax-a\m

x11/八八、r~

模型三：占+加+广-'°)，当且仅当x=、代时等号成立；

ax।D十YQ

X

2

转用Irm/、—,mx+n-mxn,八八〃、止口e止n1生口卡

模型四：x(n-mx)=---------<—•(--------------)x2=——(m>0n,«>0,0<%<—),当且仅当、二——时等号成

mm241nm2m

立.

易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突)

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如y=x+@(a〉0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解.

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足

使用基本不等式条件的可通过“变形，，来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个

数，“1”的代换法等.

x-1

例.函数>=logflx+tz+2(。>0且的图象恒过定点(左，若加+〃=/?—左且冽〉0,n>0,贝|2十,

mn

的最小值为()

95

A.9B.8C.-D.一

22

【答案】B

【详解】函数歹=logaX+a"T+2（a〉0且awl）的图象恒过定点（1,3）,所以用+〃=3-1=2,

2|<—+->|=（m+«）（-+-）=10+—1>10+3/9=16,

n）mnmn

（、〃

;.229+1上卜16,.•9.二+1、28,当且仅当9把=m竺，即〃=1、加=3；等号成立

\mnJmnmn22

故选：B.

变式1.已知。>0）>0,2a+b=ab,则上+上的最小值为（）

a-1b-2

A.4B.6C.D.

【答案】D

【详解】由。>0,6〉0,2a+6=ab,a=>0,即6>2,易矢口a>l,

b-2

g、i2Qb2a-2、、-,

以----1-------=--------Fa=3H------+a-123+工£.(—=3+3/2,

Q—1b—2ci—1Q—1

当且仅当°=亚+1时等号成立，此时6=2+夜，

所以乌+工的最小值为3+20―

a-\b-2

故选：D

变式2.已知命题p：在“8C中，若sin/>sin8,则/>6；q：若a>0,则（1+。）。+》24,则下列命

题为真命题的是（）

A.PB.pjqc.力人qD.可人-

【答案】A

【详解】命题0：在AA8C中，若sin/>sin8,由正弦定理得a>b,所以/>B,为真命题，

当a>0,对于（l+a）[l-（—]=2+aH—>2+2.a■—=4,当且仅当a=1时等号成立，

Va）aVa

所以命题9：若a>0,则（1+。）（1+，）24,为真命题，

a

所以2八9为真命题，?人-14假命题，△夕假命题，，△-11假命题，

故选：A.

变式3.设x>0,y>0,加=2厂+浊宇则加有（）

■V-/I

A.最小值3B.最大值3

C.最小值：+后D.最大值j+

22

【答案】B

【详解】x>0,V〉0,2y[2xy=2x-y[2y<x2+2y2,

故卡等工至宏产3当且仅当户岳时成立，

AD错误，B正确；

当x=0.5/=1时，2X0,52+2^-X0.5+1216+三"土血<二应，错误.

m==c

0.25+11.25552

故选：B.

苣9

__]2

1.已知“3C,点。在线段3C上（不包括端点），向量加=+y就，—+一的最小值为（）

xy

A.2>/2B.2V2+2

C.2V2+3D.273+2

【答案】C

【详解】28C,点。在线段8C上（不包括端点），

故存在力,使得丽=/1贰，即赤-四=4%-/□瓦即Z5=x就+。-彳）荏,

因为向量=+>就，所以y=4,x=l-;I,

可得x+V=1,

x>0,y>0,由基本不等式得

12112、/>.._y2x_\y2x_/r-_

xy\xy)xy\xy

当且仅当y=VL:,即y=2-应,x=&-l