2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（三）（新高考新题型专用）含答案解析

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

复数（选填题）

考情分析

年份题号知识点考点

①共轨复数的表示

2021年I卷2复数

②复数的乘法运算

①复数分式的化解

2021年n卷1复数

②标准形式对应点所在象限

①共轨复数的表示

2022年I卷2复数

②复数的乘法运算

2022年II卷2复数复数的乘法运算

①共轨复数的表示

2023年新高考12复数

②复数分式的化解

①标准形式对应点所在象限

2023年新高考21复数

②复数的乘法运算

近三年，复数在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是:

1、复数的概念（①虚部的探究②复数相等求参及范围问题③复数的几何意义象限问题④复数的模及其应

用）

2、复数的四则运算（①复数形式的加、减运算②复数模最值问题秒杀③复数形式的乘除法运算（分数形式

秒化解）④复数范围内解方程（结论））

题干的设置一般来说在上述的两项考点中选其一项。复数需要认真分析，明确复数是一类重要的运算

对象，即一对有序实数，复数有三种表达形式，复数与复平面内的点一对应，计算时注意虚部的正负以

及分式形式模长的快速求算，此类题目需要一定的基础和秒杀技巧便可轻松搞定。

高考预测

复数在2024新高考新题型中的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和核心方法为主,

复数在选填中偏重于多选，抽象复数需要设一个标准格式参与求算，考生可适当留意常见的复数乘积组合

形式，切记复数不能比较大小.

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

J/应试必备

一、虚部的探究

I：虚数单位，

数，叫做虚数单位，它的平方等于-1,即『=一1.

注意：7,是T的一个平方根，即方程，=-1的一个根，方程的另一个根是T；

II：复数的撷念

形如a+6i(a,6eR)的数叫复数，记作:z=a+bi(a,beR)；

其中：a叫复数的实部，6叫复数的虚部，，是虚数单位.

III：复数的分类(纯虚数及纯实数)

对于复数z=a+bi(a,beR)

若6=0,则a+6i为实数，若630,则a+6,为虚数，若a=0且6片0,则a+6,为纯虚数.

实数0=0)

分类如下：z=a+bi(a,beR)<\当a=0时为纯虚数

头’=1当aw0时为非纯虚数

II

IV：共粗复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不等于0的两个共

辗复数也叫做共辗虚数.通常记复数Z的共辗复数为相

形如：z=a+bi^>z=a-bi

二、复数相等求参及范围问题

I：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：

\a=c

a+bi=c+di^<

b=d

特另地U：a+bi=Qoa=b=0.

①根据复数。+方与c+由相等的定义，可知在a=c,b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有

a+bic+di(a>b,c,d&R).

②一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也

只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

II:复数相等问题的解题策略

①必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.

②根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题.

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

③如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.

三、复数的几何意义象限问题

复数的几何意义

I:复平面、实轴、虚轴：

如图所示，复数z=a+6i(a,beR)可用点Z(a,6)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做

复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

Q'..............."

:X

~0L

注意：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

H：复数集与复平面内点的对应关系

复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点与之对应；反过来，复平面内的每一个点，

有唯一的一个复数和它对应.

故2=a+沅=>\a,b)

四、复数的模及其应用

I：复数的模

设OZ=a+bi(a,bwR),则向量OZ的长度叫做复数z=a+6/,的模，记作|a+6i|.

\z\=\OZ|=A/G2+b2>0

II：计算模长的步骤：

第一步：根据题干已知条件将复数化为标准形式2=。+万

第二步：标出坐标形式(模长即为坐标到坐标原点的距离)

第三步：勾股定理

五：复数形式的加、减运算

I：复数的加法、减法运算法则：

设Zi=〃+6i,z2=c+di(a,b,c,dG7?),我们规定：

Zj+z2=(tz+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+d)i

z2-zx=(c-Q)+(d—b)i

注意：复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样.很明显，

两个复数的和(差)仍然是一个复数，复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减)的情形.

II：复数的加法运算律：

交换律：+z2=z2+Zj

结合律：(z1+z2)+Z3=4+(z2+z3)

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

技巧：两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加

法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).

复数模最值问题秒杀

I：工具

如果复数Zj、Z2分别对应于向量丽、漉，那么以O耳、。鸟为两边作平行四边形。6织，对角线OS

表示的向量漏就是Z1+Z2的和所对应的向量.对角线g耳表示的向量函就是两个复数的差4-Z2所对应

的向量.

设复数4=。+加，z2=c+di,在复平面上所对应的向量为西、区，即西、区的坐标形式为

西=伍,6),西=(c,d).以西、区为邻边作平行四边形O4ZZ”则对角线OZ对应的向量是无，

由于应=西+区=(a,6)+(c,/)=(a+c,6+d),所以西和区的和就是与复数(。+c)+(6+d)，对

应的向量.

n秒杀：匕-z?|表示复平面内工,4对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面

内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

复数形式的乘除法运算(分数形式秒化解)

I：乘法运算法则：

设Z]=a+6i,z2=c+di(a,b,c,de7?)，我们规定：

4•z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,6GR).

(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bGR).

(l±z)2=±2z.

II：乘法运算律：

⑴交换律：^I(^2Z3)=(Z1Z2)Z3

(2)结合律：Zj(Z2+Z3)=Z1Z2+2^3

+zz

(3)分配律：Zj(z2+^3)=^^2i3

HI：分式形式秒化解：

z.a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

-__i

2222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+(7

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

口诀：分子分别为（竖x相加，交叉之差）

常用公式需记忆①！=-i；②3=i；③”=

i1-i1+z

IV：①两个复数代数形式乘法的解题步骤：

第一步：首先按多项式的乘法展开.

第二步：再将i?换成T.

第三步：然后再讲行复数的加、减运稹.

②两个复数代数形式的除法运算步骤

第一步：首先将除式写为分式.

第二步：再将分子、分母同乘以分母的共轨复数.

第三步：然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

复数范围内解方程（结论）

结论：当一元二次方程中A<0时，在复数范围内有两根且互为共物复数.

形如：ax2++c=0n在A<0前提下两根分别为然后利用韦达定理

&cm-ni

正规方法：已知一元二次方程根时，需要将根带入一元二次方程，利用复数相等求解参数

^真题回眸

1-1_

典例112023新高考1卷】已知z=-------,则z—z二（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

l-i(l-i)(l-i)-2i1.-1_

【解析】因为z==—1，所以即z-z=­i・

2+2i_2(l+i)(l-i)42

故选：A.

典例2【2023新高考全国II卷】在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

【解析】因为（1+30（3—i）=3+8i—3i，=6+8i,

1则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

i故选：A.

典例3【2022新高考全国I卷】若i(l-2)=1,则z+亍=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

।----------------------------------------------------------------------------------

ii

【解析】由题设有1—z=-=F=—i,故Z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l-i)=2,

11

i故选：D

’飞原4一12022-新高*荃曲1普】…理二艺)(匚茹=(一一一)-

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

1【解析】?2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i-6-2i,

!故选：D.

典例5【2021新高考全国I卷】已知z=2-i，则z(彳+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

预测1（2024•广东韶关•模拟预测）已知复数z/2,则下列命题正确的是（）

A.若㈤=卜|,则Z]=±z?B.若Z]=Z2,则匕闻=上『

ZZK

C.若句是非零复数，且；=，则4=z2D.若4是非零复数，则2]+二2°

Z1

预测2（2024•浙江杭州•模拟预测）已知关于x的方程/+比+1=0（-2</<2）的两根为4和Z2，则（）

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

A•Z]=Z[B.Z],Z]—1

C.㈤=|z2|D.&

Z2\Z2）

预测3（2024・河南信阳•模拟预测）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若（l+i）z=-i,则目=1

B.对任意复数4,z2,有匕闻=阂忆]

C.对任意复数Z],Z2,有Z/Z2=Z『Z2

D.在复平面内，若M={z||z-21V2},则集合M所构成区域的面积为6兀

预测4（2024・湖南•模拟预测）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数z=二，则z3o=_l

1-1

B.若则z；＞z；

C.若Zz^O,贝|2=工.

Z2Z]

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+匕-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

预测5（2024•黑龙江•模拟预测）已知复数z0=2+i和z,则下列命题是真命题的有（）

A.若2满足匕-20|=20+20，则其在复平面内对应点的轨迹是圆.

B.若z满足|z-z0|+|z-^卜4,则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆.

C.若z满足匕一。卜卜-吊=2,则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线.

D.若z满足|z+z°+*|=|z-W],则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线.

名师押题

押题1若句、Z2为复数，贝I]（）

A.R+z?卜日+闫

B.zx+z2=zx+z2

C.D.44=归卜，|

押题2已知由/2为复数，则（）

A.若Z[-Z2=z-务,则Z「Z2为实数

B.，―乌卜㈤忆一寸

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

C.若z；=马，则马=z；

D.若z；=£,则复数4在复平面内所对应的点位于坐标轴上

押题3已知非零复数4，z2,其共粗复数分别为H，则下列选项正确的是()

A2-2

A.Z]=Zi

B.+z2=+z2

C.若=则卜-1|的最小值为2

D.——----

Z2Z2

押题4若复数z满足zi=l-i,则下列命题正确的有()

A.z的虚部是一1B.\z\=y[2

C.z?=2D.z是方程，+2x+2=0的一个根

押题5设z=l-i,贝|()

A.zz=2B.2+0=0

C.|z|=zD.z—z=z—2

-・j]

L参考答案与解析

名校预测

预测1:答案BC

【详解】对于A项，若％=l+i,z2=V2i,显然满足BHz』，但4=±4,故A项错误；

22

对于B项，设Z[=a+砥eR),则z?=a-6i,zxz2=(a+bi)(a-bi)=a+b,故Zz?|="+/而匕『=/+/,

故B项正确；

对于C项，由Z；=Z[Z2可得:Z^-ZjZ2=z1(z1-z2)=0,因Z]是非零复数，故Z[-Z2=0,即Z]=Z2,故C

项正确；

对于D项，当〕i时，句是非零复数，但Zj+，=i+；=i-i=0,故D项错误.

故选：BC.

预测2：答案ABC

【详解】关于无的方程/+氏+1=0(-2</<2),

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

则A=/-4<0X=

不妨设+苧-t)4一》.

1

22

Zt=z2,故A正确；

由韦达定理可得ZK=1,故B正确;

㈤=阂=,故C正确;

•「乎2=1,

.Z]2：2t，4—*.F—2t\l4一—.

••—==Z]—-----1---------1=------------------1,

z2zxz2122J22

则[五]=3+①二3当七0时，至任R,止匕时五工(岂],故D错误.

Z2

2Z2z

V2)2{z2J

故选：ABC.

预测3：答案BC

-i-ix(l-i)-1-i

【详解】对A：由(l+i)z=-i,故2=币=(1+次一)='，

"J—，故A错误；

对B：设％=a+6i(G/ER)、z2=c+di(c,d£R),

贝生㈤=|(«+Z?i)(c+(7i)|=\ac—bd+(od+Z?c)i|=小(ac-bdj+(〃d+bc^

=yja2c2-2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2=Ja2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

2222222222222211

|zj-|z2|=y]a+b-Vc+d=^a+b^c+d^=y/ac+bd+ad+bc,

故,岗石讣㈤，故B正确；

对C：设Z1=o+6i£R)、z2=c+di(c,d£R),

有44=^a+b\)(c+d\)=ac-bd+{ad+bc)i,贝！)z14=ac-bd一(ad+rc)i,

z/z?=^a-b\)(c-d\)=ac-bd-iad+-c)i,故4,=4乌，故C正确；

对D：设z=x+yi(尤,yeR),则有(x-2『+/44,

集合/所构成区域为以（2,0）为圆心，半径为2的圆,

故S=nr2—4n,故D错误.

故选：BC.

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

预测4：答案AC

【详解】对于A,因为z=|ii=7r与J=i,

1-1（1-1）（1+1）

所以z3°=i3O=之做=i2=-l，故A正确；

对于B,令4=2i0=l,满足㈤但z；<z；,故B错误;

对于C,设马=Q+6i（a,6cR）,Z2=c+di（c,dER且不同时为0）,

4_a+bi_(«+bi)(c—di)_ac+bd+(be-ad)i

则

22

Z2c+di(c+di)(c-di)c+d

21222

=212^(.ac+bdy+ibc-ad)=22+b)(c+d)

ciacia

yja2+b2_4

故C正确;

y/c2+d2z2

对于D,设复数z=%+yi,则点

由|z+i|+|z-i|=2,得]/+（7+1）2+]伴+（/_1）2=2,

则点Z到点（0,-1）与点（0,1）的距离和为2,

故点Z的轨迹是线段，故D错误.

故选：AC.

预测5：答案AB

【详解】设2=苫+贝（尤,yeR）,由Z。=2+i可得％=2-i；

对于A,若z满足|z_z°卜z°+[=2+i+2T=4,即可得卜_2+（夕_1川=4,所以+（尸=]6,

因此其在复平面内对应点的轨迹表示以（2,1）为圆心，半径为4的圆，即A正确；

对于B,若2满足匕一。|+卜-引=4,在复平面内表示点（x,y）到（2,1）与（2,-1）的距离之和为4,

又因为（2,1）与（2厂1）之间的距离为2<4,根据椭圆定义可得其在复平面内对应点的轨迹是椭圆，即B正确;

对于C,若z满足卜-%|-卜-吊=2,在复平面内表示点伍回到（2,1）与（2,-1）的距离之差为2,

又因为（2,1）与仅,-1）之间的距离为2=2,不满足双曲线定义，即C错误；

对于D,若z满足卜+Zo+ZoHz—z0|,可化为|z+4|='_Zo|,

在复平面内表示点（x/）到（-4,0）与仅,7）的距离相等，其在复平面内对应点的轨迹是直线，即D错误；

故选：AB

名师押题

押题1:答案BD

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

【详解】对于A选项，取4=l—i,z2=l+i,则4+Z2=2,ZJ+z2=2,

所以，Z]=l+i,z2=1—i,所以，同二,卜,

所以，卜1|+卜2卜2加,匕+22卜2,故卜1+Z2卜同+周，A错;

对于B选项，设Z]=a+6i,z2=c+di(^a,b,c,dGR),

贝ij4+z2=(〃+c)+(b+d)i,4+Z2=(a+c)-(6+d)i,

zx=a-b\,z2=c-di,贝！j4+z2=(Q+6)-(c+d)i,所以，Z]+Z2=Z]+Z2，B对；

对于C选项，不妨取Z1=l+i,n=2,则z；=(l+i『=2i,㈤=行，|zf=2,

所以，z；wR「，故〃(及EN*),C错；

对于D选项，设4=a+历(a,6£R),则q="bi,所以，|zj=|^|=+62,

所以，马4=(a+历)(〃一历)=，=|zj.同,D对.

故选：BD.

押题2:答案ABD

【详解】设Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d£R),Z]—z?=zx-z^ozx—zx=z2—z2<=>2bi=2di=b=d,故

412="C为实数,故A正确；|z；—汜卜上仁―Z2)|=闫忆―zj=|z|IZ2—z|,故B正确；

令4=l—i,Z2=2i,故z；=52，但耳wz；,故C错误；

若Z；=ij2,则(q+历)2=(4一”)2,故。6=0,即4=0或6=0,故D正确.

故选：ABD

押题3:答案BD

【详解】设Z]=〃+6i,z2=c+di^a,b,c,dGR),

2222

对A,z：=a+2abi-b,2；=^a-bi^=a-2abi-b,

当。力至少一个为0时，z；=J,当。力均不等于0,故A错误；

对B,马+z2=(〃+c)+(b+d)i,贝lj4+Z2=(〃+c)—伍+d)i,

而4+z2=〃一/+c—di=(Q+C)-9+d)i,故4+z2=4+z2,故B正确；

对C,若"+1|=1，即|(c+l)+同=1,即J(c+1)2+屋=1,

即(c+iy+/=i,则(c,〃)在复平面上表示的是以(TO)为圆心，半径r=i的圆，

122Tl的几何意义表示为点(c，d)到点(1,0)的距离，显然(1+1)2+。2=4>1,

则点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离d=2,

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

则点(1,0)与圆上点距离的最小值为〃—=2-1=1,故C错误;

对立上ZJa+bi(a+bi)(c+di)ac-bd+(ad+bc)i

Z[c+t/ic?+d~c-+d~

—=,故D正确;

Z2Z2

故选：BD.

押题4：答案ABD

【详解】zi=1-inz=-l-i,贝故A,B正确；

z2=(-l-i)2=2i,故C错误；

而(-l-iy+2(-l-i)+2=0成立，故D正确.

故选：ABD.

押题5:答案AB

【详解】由z=l-i可得三=l+i，

所以匚=(l+i)(l-i)=l-i2=2,即A正确；

可得z+W=l-i+(l+i)i=l-i+i+i2=0,即B正确；

222222

|Z|=1+(-1)=2,z=(l+i)=l+2i+i=2i,显然，=二错误，即C错误;

z-z=l-i-(l+i)=-2i,jfu__2=l+i-2=-1+i=-1-i>所以D错误.

故选：AB

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

函数与导数（选填题）

,考情分析

年份题号知识点考点

7函数与导数函数切线问题

2021年I卷

15函数与导数函数最值问题

8函数函数奇偶性

①抽象函数

2021年II卷14函数与导数

②函数奇偶性

16函数与导数函数切线问题

①三次函数的极值问题

②三次函数的零点问题

10函数与导数

③三次函数的切线问题

2022年I卷

④三次函数的对称中心问题

①抽象函数问题

12函数与导数

②函数的奇偶性

8函数抽象函数问题

2022年II卷

14函数与导数函数切线问题

2023年新高考111函数抽象函数问题

6函数与导数已知函数单调性求参数问题

2023年新高考2

11函数与导数函数极值问题

近三年，函数在选填中占据两个位置，考查的考点一般来说是：

1、函数的单调性与奇偶性（①抽象函数具体化②常见的结论（函数性质）包括③根据函数奇偶性的规律④判

定抽象函数的奇偶性⑤函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题）

2、函数的对称性与周期性（①函数周期性的妙解②分段函数的类周期性③函数对称性的妙解④不同函数的

对称性）

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

3、嵌套函数与零点问题(①函数嵌套原理求函数解析式.②函数嵌套中的不动点与稳定点问题③导函数求解

集或比较大小)

4、导数构造新函数求解集或比较大小(①正规方法②秒杀技巧)

题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项或两项。函数与导数题目中首先分类找迤类型选择

小技巧，另外考生们要想灵活应用小技巧则需在有限的时间内同类型题多做几遍，考场中便可轻松搞定。

高考预测

从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的难点，其中导数构造和分段函数零点问题及抽象函

数考查比较频繁.抽象函数一般以多选题的形式考察，导数构造和分段函数零点问题则以单选题的形式考察,

因小结论偏多，试题灵活，考生在考场中以不变应万变.

I应试必备

一、抽象函数具体化

使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数

的内容延伸和实例化.

解题步骤：

第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；

常见函数模型包括：

I：若/(加〃)=/(加)/(〃)，可认为函数为幕函数=(a的范围或数值需要其他条件确定)；

II：若f(mn)=f(m)+/(〃)，可认为函数为对数函数/(x)=log“x(a的范围或数值需要其他条件确定)；

III：若/(加+〃)=/(加)/(〃)，可认为函数为指数函数/(》)=优(a的范围或数值需要其他条件确定)；

IV：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)，可认为函数为正比例函数="或/々”力⑴

V：若/(加+〃)=，可认为函数为正切函数/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),可认为是余弦函数/(x)=cosx.

VII：若/(〃+〃)=/(加)+/(〃)+加，可认为函数为一次函数/(x)=自+6或=#⑴一加

第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.

结论法(函数性质法)

使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.

解题步骤：

第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.

常见的结论(函数性质)包括：

(1)/(X)与/(》)+。单调性相同.(。为常数)

(2)当左>0时，/(x)与妙'(x)具有相同的单调性；当左<0时，/(x)与夕'(x)具有相反的单调性(3)当

/(x)恒不等于零时，/(x)与/二其有相反的单调性.

/(X)

(4)当/(x)、g(x)在。上都是增(减)函数时，则/(x)+g(x)在£)上是增(减)函数.

⑸当/(x)、g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，/(x)g(x)在。上是增(减)函数；当/(X)、

g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，/(x)g(x)在。上是减(增)函数.

(6)设歹=/(x),xe。为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域。上也是严格增(减)函

数.

(7)奇(或偶)函数的单调性：

由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.

(8)周期函数的单调性：

若/(x)是周期为T的函数，且/(x)在单调递增或单调递减，则/(x)在(。+左T,6+k7j(keZ)上单

调递增或单调递减.

根据函数奇偶性的规律判定

使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；

第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.

常见的结论包括：

(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函

数.

(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.

常见基本函数的奇偶性：

(1)一次函数^=自+6优彳0)，当6=0时，是奇函数，当6w0时，是非奇非偶函数.

(2)二次函数y=a/+bx+c(aw0),当b=0时，是偶函数；当6w0时，是非奇非偶函数.

(3)反比例函数y=±(k大0,x主0)是奇函数.

X

(4)指数函数y=/(a>0且aw1)是非奇非偶函数

(5)对数函数y=logflx(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函数.

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

(6)三角函数^=sinx(xeR)是奇函数，y=cosx(xe&)是偶函数，y—tanxxwk7i-\—,kGZI是奇函

数.

(7)常值函数/(x)=a,当awO时，是偶函数，当。=0时，既是奇函数又是偶函数.

特殊函数的奇偶性：

奇函数：两指两对

/X1\

:加](xw0),

⑴/(x)=M-r~.=m+/(x)=m—----=m——(mGR)

[ax+lJax+V7

\a-17

⑵函数/(x)=±[ax-a~x)=±1Qx

⑶/(x)==logjl+/(x)=log/^—=logjl_--1

\x-mj\x-m)\x+m)\x+mJ

22

⑷函数/(x)=logfl((mx)+1+mx)，函数f(x)=loga((mx)+1-mx

tz2A+1

⑸函数/3=

a2x±\

考点：形如①已知/(+奇函数,则"口部肃;：)=。

②已知/(+奇函数+*则1段仁湍;

偶函数：

xxmx

⑴函数/(x)=+[a+a-)⑵函数/(x)=logfl(a+1)-皇

⑶函数/卜|)类型的一切函数.

判定抽象函数的奇偶性

使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向；

I：若/(加〃)=/(加)/(〃)，可认为函数为幕函数/(x)=x°(a的范围或数值需要其他条件确定)；

II：若f{mn}=f(rn)+/(〃)，可认为函数为对数函数/(x)=log。x(a的范围或数值需要其他条件确定);

III：若/(加+〃)=/(加)/(〃)，可认为函数为指数函数/(》)=优(4的范围或数值需要其他条件确定)；

IV：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)，可认为函数为正比例函数="或/々”力⑴

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

V：若/(加+〃)=(仪,可认为函数为正切函数/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),可认为是余弦函数/(x)=cosx.

VII：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)+加，可认为函数为一次函数/(x)=自+6或/(x)=#⑴一加

第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出/(X)与/(-X)的关系；

第三步：得出结论.

函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题

技巧总结

结论1：奇函数单调性不改变，若函数/(x)为定义在R上的奇函数时

①若x»0时，/(x)为单调递增，则x<0时，/(x)为也为单调递增，即/(加)+/(〃)>0=加+〃>0.

②若xNO时，/(x)为单调递减，则x<0时，/(x)为也为单调递减，即/(加)+/(〃)>0n加+〃<0.

结论2：奇函数单调性不改变，若定义在R上函数/(x)关于点。力)对称时

①若时，/(x)为单调递增，则x<a时，/(x)为也为单调递增，即/(加)+/(〃)>26=>加+〃>2a.

②若xNa时，/(x)为单调递减，则x<a时，/(x)为也为单调递减，即/(加)+/(“)>26=>加+〃<2。.

结论3：偶函数单调性改变，若函数/(x)为定义在R上的偶函数时

①若xNO时，/(x)为单调递增，则x<0时，/(x)为单调递减，

即/(冽)>/(〃)n帆>时,/(%)+/(-X)>2f(m)=>|x|>w.

②若x»0时，/(x)为单调递减，则x<0时，/(x)为单调递增，

即/(加)>/(«)nM<\n\,/(%)+/(-x)>2/(冽)=>\x\<m.

结论4：偶函数单调性改变，若定义在R上函数/(x)关于直线x=a对称时

①若x2a时，/(x)为单调递增，则x<a时，/(x)为单调递减，

即f(m)>|加一a|>|〃一4,f(a+x)+f(a-x)>2>m.

②若时，/(x)为单调递减，则x<a时，/(x)为单调递增，

即/(m)>/(??)=>|m-4z|<|n-4z|,f(a+x)+f(a-x)>2f(m)|x-a|<m.

二、函数周期性的妙解

技巧总结

类型一：抽象函数的周期性

使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期

解题步骤：

第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；

常见的结论包括：

结论1：若对于非零常数加和任意实数x,等式/(x+加)=-/(x)恒成立，则/(x)是周期函数，且2加是

它的一个周期.

证明：f(x+2m)=f[x+m+m)=-f{x+m)=/(x)/.T=2m

也可理解为：平移加个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的

距离为2加，.二7二？加

结论2：定义在7?上的函数/(X),对任意的XER,若有/(x+a)=/(x+b)(其中a)为常数，a手b),

则函数/(x)是周期函数，是函数的一个周期.

证明：f(x-a+a)-f(x-a+b)^/(x)=f(x+b-a)T=

口诀：同号差(周期)异号加(对称轴)n只研究x前的正负.

结论3：定义在H上的函数/(%),对任意的xeA,若有/(x+a)=—/(x+b)(其中为常数，a*b),

则函数/(x)是周期函数，2|a-目是函数的一个周期.

证明：/(x+a)=-/(x+6)先向左平移a个单位得/(.X-a+a)=-f(x-a+b)

=>/(x)=—/(x+，—a)令，—a=m'=/(x)=—/(x+加。如同结论1

结论4：定义在R上的函数/(x),对任意的xeR,若有/(x+a)=--—，(或/(x+a)=)(其中

/(x)/(x)

a为常数，a/0),则函数/(x)是周期函数，2同是函数的一个周期.

小+。)=±合，]

证明:f(x+2a)=f(x+a+a)=±/(x)：.T=2\a\

/(x+a)

结论5:定义在R上的函数/(x),对任意的xeA,有/(a+x)=/(a—x)且/0+x)=/0-x),

(其中a,b是常数，awb)则函数y=/(x)是周期函数，斗。—可是函数的一个周期.

另一种题干出现的信息：①若〉=/(x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则等价于/(a+x)=f(a-x)

且/0+x)=f(b-x),则y=/(x)为周期函数且7=斗。—6|.

②若歹=/(x)为偶函数且图象关于直线x=a对称，则歹=/(x)为周期函数且7=2同

证明：/(a+x)=/(a—x)向左平移a个单位，f(x-a+a)=f(a-[x-a])

=>/(x)=/(2a—x),同理=>/(x)=f(2b-x),=>f(2a-x)-f(2b-x)

利用口诀：同号差(周期)异号加(对称轴)n只研究x前的正负.秒出周期

结论6:若定义在R上的函数歹=/(x)对任意实数xe尺，恒有/(x)=f(a+x)+f(x-a)成立(aw0),则

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略(新高考新题型专用)含答案解析

/(x)是周期函数，且6时是它的一个周期.

证明：由函数/(x)=f(a+x)+f(x+a)-f(x+2a)+f(x)

=>/(x)=f(x+2a)+f(x)+f(x-a)=-f(x+2a),向右平移a个单位得

/(x)=-f[x+3a)=>/(x+3a+3a)=-/(x+3a)=/(x)/.T=6时

口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很easy.

1+/G)

结论7:若对于非零常数m和任意实数x,等式/(%+加)=成立，则/(x)是周期函数，且4加是

1-/W

它的一个周期.

1J+/(x)

„on、l+/(x)c、1+/(x+m)1—/(x)1

证明：/(x+m)=---------=4>/(x+2m)=----------------

1-/Wl-/(x+m)「I12M/(x)

f(x+2m)=---1如同结论4,/(x+2"+2向=-温丽=/(x)T=4m

Ax)

结论8:若对于非零常数加和任意实数x,等式/(x+加)=；］；；；成立,则/(x)是周期函数，且2加是

它的一个周期.

11-/(X)

证明：/(x+掰)=-------=>/(x+2m)=---------------=——：—J.(=fix)

l+/(x)l+/(x+m)i卜r/(x)八，

l+/(x)

/.T=2m

1

结论9:若对于非零常数加和任意实数x