2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：平行四边形（京改版）（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

平行四边形（京改版）（解答题）1

一、解答题

1.（2024北京人大附中初二下期中）如图，四边形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,对角线8。平分

ZABC,过点A作3。的垂线AE,分别交BC,BD于点E,O,连接£）及

（1）求证：四边形ASED是菱形；

（2）连接CO,若AB=3,CE=2,求CO的长.

2.（2024北京西城初二下期中）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,对角线AC、8。相交于点0,

BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.

3.（2024北京房山初二下期中）如图，在uABCD中，对角线ACLOC,延长。C到点E,使CE=OC,连

接AE,交2C于点E连接3E.

（1）求证：四边形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的长.

4.（2024北京第一^t一中学初二下期中）如图，在正方形ABCZ）中，E是边上的一动点，点尸在边

BC的延长线上，且CF=AE,连接DE、DF.

备用图

⑴求证：DELDF；

（2）连接E/L取E/中点G,连接DG并延长交BC于77,连接BG.

①依题意，补全图形；

②求证：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示线段BG、形与AE之间的数量关系，并证明.

5.（2024北京人大附中朝阳学校初二下期中）如图，在VABC中，ZABC=9Q°,在边AC上截取

AD=AB,连接8D,过点A作于点E.已知AB=6,BC=8,如果歹是边BC的中点，连接

EF,求的长.

6.（2024北京育才学校初二下期中）如图，在DABCD中，点E、尸分别在2C,AD上，且BE=DF,

连接AE,CF.求证：AE//CF.

7.（2024北京第十三中学初二下期中）在平面直角坐标系xOy中，如果点A,C为某个菱形一组对角的顶

点，且点A,C在直线'=彳上，那么称该菱形为点A,C的“关联菱形”.例如，图1中的四边形ABCZ）为

点A,C的“关联菱形”.

已知点"（1,1）,点P（°M）.

①在点矶2,1),歹(1,3),G(T5)中，点能够成为点尸的“关联菱形”的顶点;

②当点P的“关联菱形”MNP。的面积为8时，求点N的坐标;

⑵已知直线N=-2x+6与无轴交于点A,与'轴交于点8,若线段ABV5,且点A是点尸的“关联菱

形''的顶点，直接写出。的取值范围.

8.(2024北京人大附中朝阳学校初二下期中)在平面直角坐标系中，对于点2与，%)，给出如下定

义：当点。(三，％)满足玉=＞「%时，称点。是点尸的等积点.已知点尸(1,2).

⑴在Q(3,6),Q(2,l),°式-1,-；)中，点P的等积点是.

(2)点。是P点的等积点，点C在V轴上，以0,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐

标，写出求解过程.

9.(2024北京八一学校初二下期中)已知：如图所示，在平行四边形ABC。中，对角线AC、8D相交于

点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、A3的中点.求证：

AGB

(1)BE±AC.

⑵EG=EF.

10.(2024北京日坛中学初二下期中)如图，在nABCD中，点"、N分别在边BC上，且

BM=DN,连接AM、CN.求证：AM//CN.

11.(2024北京广渠门中学初二下期中)如图，平行四边形中，点E,歹分别在边BC,AD上,

(1)求证：四边形AEC尸是矩形；

(2)连接所，若AB=4,ZABC=60°,BF平分/ABC,求AD的长.

12.(2024北京人大附中朝阳学校初二下期中)已知矩形A5CD,以A8为一边求作一个平行四边形

ABEF,使得该平行四边形的一个内角为30。，且面积为矩形面积的一半.

DC

A---------------------'B

(1)利用尺规作图作出符合题意的平行四边形ABEF(保留作图痕迹)；

(2)写出判定四边形ABE尸是平行四边形的依据是.

13.(2024北京海淀初二下期中)已知正方形ABC。中，点E是射线上一点，连接AE,作AE的垂直

平分线交直线C。于点交直线AB于点M交AE于点尸.

⑴如图1,当点E在正方形的边上时.

①依题意补全图形；

②求证：MN=AE；

(2)如图2,当点E在BC的延长线上时.连接3D并延长交的延长线于点P,连接PE.

①直接写出NPE4的度数为；

②用等式表示线段PF,PM,五N之间的数量关系

14.（2024北京大兴初二下期中）如图，在口ABCD中，AE±BC,b,AD垂足分别为E,F.求证:

BE=DF.

15.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，3E平分/ABC交AD于E,

D尸平分/ADC交于尸.

求证：四边形£B㈤是平行四边形.

16.（2024北京汇文中学初二下期中）如图是由边长为1的小正方形构成的6x4的网格，点A、8均在格

⑴在图1中画出以A5为边且周长为8+2新的平行四边形AB。，且C点和。点均在格点上（画出一个即

可）；

（2）在图2中画出以AB为对角线的菱形尸，且点E和点尸均在格点上.

17.（2024北京海淀初二下期中）如图，在RCABC中，NACB=90。，点。是的中点，连接C。，过

点B作BE〃CD,过点C作CE〃AB,BE、GE相交于点E.

（1）求证：四边形CEB。是菱形；

（2）过点。作DFLCE于点E交CB于点G,若AB=10,CF=3,求DG的长.

18.（2024北京海淀初二下期中）己知：在△AOD中，ZAOD=90°.求作：菱形ABCD.

A

作法：

①延长AO,以点。为圆心，长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；

②延长。O,以点。为圆心，OD长为半径作弧，与。。的延长线交于点以

③连接ABICCO.

所以四边形A2CD即为所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：VAO=,D0=,

二四边形ABCD是平行四边形.

NAOD=90。，

AC.LBD.

二平行四边形是菱形.（i）（填推理的依据）.

19.（2024北京清华附中初二下期中）如图，VABC中，AB=BC,过A点作的平行线与/ABC的平

分线交于点。，连接co.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）连接AC与8。交于点。，过点。作DE1.3C交BC的延长线于E点，连接EO,若EO=2辨,

DE=4,求CE的长.

20.（2024北京十一实验中学初二下期中）在平面直角坐标系xOv中，已知线段。，P为线段。上任意一

点，已知图形。为图形M上任意一点，当尸，。两点间的距离最小时，将此时PQ的长度称为图形

M与线段。的近点距；当尸，。两点间的距离最大时，将此时PQ的长度称为图形加与线段。的远点距.

如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,-2),正方形ABCZ)的对称中心为原点0.

(1)线段A3与线段CD的近点距是,远点距是.

(2)如图2,直线y=-x+6与x轴，＞轴分别交于点E,F,则线段所和正方形ABCD的近点距是

，远点距是.

⑶直线y=x+Z^H0)与X轴，V轴分别交于点R,S,线段RS与正方形A2CD的近距点是2&，则6的值

(4)在平面直角坐标系中，有一个矩形GffiWN,若此矩形至少有一个顶点在以0为圆心1为半径的圆

上，其余各点可能在圆上或圆内，将正方形ABC。绕点。旋转一周，在旋转过程中，它与矩形的近

点距的最小值是,远点距的最大值是.

21.(2024北京第六十六中学初二下期中)如图1,将边长为1的正方形A2CD压扁为边长为1的菱形

图1图2

(1)请补全表格：

a30°45°60°90°120°135°150°

S1旦

2

(2)填空：由(1)可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着NA大小的变化而变化，不妨把

单位菱形的面积S记为S(e).例如：当夕=30。时，5=5(30。)=；；当2=135。时，

5=5(135°)=^.由表格可以归纳出S(180。-a)=S(_).

（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=3,ZAOB^a,试探究图中两个带阴影的三角

形面积是否相等，并说明理由.（注：可以利用（2）中的结论）

22.（2024北京第六十六中学初二下期中）按要求画出图形：

（1）在6x6的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形:

在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形；

在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、6、旧;

请你判断这个三角形一直角三角形（填“是”或“不是”）.

⑵如图3,已知点A（-3,1）,8为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且。4=03.

①直接写出点B的坐标为」

②画出以A、B,。及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形.

23.（2024北京第六十六中学初二下期中）在平面直角坐标系xQy中，对于P,。两点给出如下定义：若

点尸到两条坐标轴的距离之和等于点。到两条坐标轴的距离之和，则称尸，。两点为和谐点.例如，图1

中的尸，。两点即为和谐点.

y八

6-

5-

y八

P一4-

3-

：2--------------Q2-

：1-；1-

1I।_______।[」＞।।।।।।______111111A

-3-2-10123x-6-5-4-3-2^1j°_123456a:

-1-

一2-

图1-3-

-4-

-5-

—6-

（1）已知点A（3,—1）.

①在点石（7,0）,厂（l,l）,G（2,0）中，点A的和谐点是」

②若点2在y轴上，且A,B两点为和谐点，则点8的坐标是一；

（2）已知点C（3,0）,点0（0,-3）,连接C。，点M为线段CD上一点.

①经过点（凡。）且垂直于x轴的直线记作直线/,若在直线/上存在点N,使得M,N两点为和谐点，则”的

取值范围是二

②若点S（见0）,点T（〃?+2,0）,在以线段ST为斜边的等腰直角三角形的某条边上存在点K,使得M,K

两点为和谐点，则机的取值范围是

24.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，在菱形ABC。中，延长AD到点E,使=延长

CD到点E使Db=CD,连接AC、CE、EF、AF.

（1）求证：四边形AC所是矩形；

⑵若NB=60。，AB=1,求四边形ACE尸的周长.

25.（2024北京大峪中学初二下期中）对于平面直角坐标系xOy中的两点A和C,给出如下定义：若A,C

是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与x轴或y轴垂直，则称该矩形为点A,C的“对角矩

形如图1为A,C的“对角矩形''的示意图，已知点A（2,0）,C«,5）.

yjk

图1图2

⑴①当，=3时，在图2中画出点A,C的“对角矩形”，并直接写出它的面积S的值;

②若点A,C的“对角矩形”的面积是30,求r的值；

⑵若点3（0,1）,在线段A5上存在一点。，使得点C的“对角矩形”是正方形，请直接写出f的取值范

围.

26.（2024北京人大附中朝阳学校初二下期中）如图，在VABC中，AB=AC,,点、D,E,尸分别为BC,

AB,AC的中点.

（1）求证：四边形AED尸是菱形;

（2）若AB=6,BC=8,求菱形的面积.

27.（2024北京交大附中初二下期中）如图，平行四边形ABCD,E、尸两点在对角线2D上，且

BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.求证：四边形AECb是平行四边形.

28.（2024北京第十八中学初二下期中）如图，在VABC中,AB=AC,D,E分别是AB,BC的中点,

BF//DE,EF//DB.

（1）求证：四边形BDEF是菱形;

(2)连接CD,若3E=4,AC=2小,求CD的长.

29.（2024北京日坛中学初二下期中）如图，矩形ABCZ）中,AB=4,AD=3,将矩形ABC。沿对角线AC

折叠，使点8落在点E处，AE交C。于点?

（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形:

⑵求CF的长.

30.（2024北京广渠门中学初二下期中）在正方形ABCZ）中,点£为边上一个动点（点E不与点2,C

重合），连接AE,点尸在对角线AC的延长线上，连接所,使得ER=AE.作点厂关于直线BC的对称点

G,连接CG,EG.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ZBAE=AGEC-,

（3）用等式表示线段AC,CE,CG之间的数量关系，并证明.

31.（2024北京海淀初二下期中）VABC中，点。是边2C上一点（不与3、C组合），连结AD,若P是

AD的中点，则称点P为VABC中边2C的“有缘点”.其中，若力（久1，乃）、以西,%），则点P的坐标为

I2'2J"

已知A（1,4）,B（-3,0）,C（2,0）

八y八y

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

।i।।।_________11111A—i__i__i__i__i_____i__i__i__i__i>

-5-4-312345x-5-4-312345x

—2-—2-

-3--3-

-4--4-

-5--5-

备用图

⑴点£（一1,2）、lg，2、4。，2）中

是VABC中边3C的“有缘点”的有

⑵已知ADE尸中，EF±DE,ZEDF=60°,D[m,-1）,£（/n+4,-1）,点尸在x轴上方，若第二、四象限的角

平分线上存在边取的“有缘点”，求加的取值范围；

（3）4A4G中，a在X轴上，点A的横坐标为r,A与交y轴于点。（0,2）,8G交X轴于点”（1,0）,且

Q、M分别是4月、4G的中点，假设△ABC三边的“有缘点”组成图形G,若图形G的面积S满足：

1<S<2,直接写出r的值.

32.（2024北京海淀初二下期中）正方形A3CZ）中，点尸是射线8。上一动点，连结AP,过尸作

PE±AP,交射线CD于连结AE.

(1)如图①，请补全图形：

(2)如图②，当点E在C。的延长线上时，试确定线段3P与CE之间的数量关系，并说明理由：

(3)如图③，当点P在3。的延长线上，若AB=3,DPf,直接写出四边形ADPE的面积.

33.(2024北京朝阳初二下期中)下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30。角的平行四边形”的尺

规作图过程.

已知：矩形ABCD.

求作：平行四边形AGHD,使/G4D=30。.

作法：如图，

①分别以48为圆心，以大于;A8长为半径，在A8两侧作弧，分别交于点E,F；

②作直线研；

③以点A为圆心，以A8长为半径作弧，交直线族于点G,连接AG；

④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H,连接则四边形AGHD即为所求作的平

行四边形.

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)NBAG的大小为；

(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是.

34.(2024北京西城初二下期中)如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm,BC=10cm,/B=60。，点G

是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与2C的延长线交于点尸，连接CE,DF.

(1)求证：四边形CEL于是平行四边形.

请补全证明过程：

,点G是CD的中点，

①=.

四边形ABCD是平行四边形，

:.BC//AD（依据：②）.

③Z=N_________.

又r/FGC=/EGD,

:.^FCG^EDG（ASA）.

CF=DE.

又•：CF〃DE,

，四边形是平行四边形（依据：④）.

（2）直接写出：当初二⑤cm时，四边形CEDF是菱形;

当AE=®cm时，四边形CEO尸是矩形.

参考答案

1.（1）证明见解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先证明AB=AD,再由等腰三角形的性质得05=0。，然后证△<?班经△OZM（ASA）,得

OE=OA,则四边形至瓦>是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圆,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CO.

【详解】（1）证明：・・,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

•；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

:.△OBE%ODA（AS0,

/.OE=OA,

四边形ABED是平行四边形，

5L-.-AB=AD,

,平行四边形A5ED为菱形；

（2）解：：四边形ABED为菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.•.在RtZXBCD中，根据勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=痴,

VBO=DO,△BCD为直角三角形,

CO=LBD=L屈.

22

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题

的关键.

2.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，通过证明三角形全等

可以等到AO=CO,再由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.

【详解】证明：

AZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

又：OB=OD,

：.AOAB^OCD(AAS),

：.OA=OC,

四边形ABC。是平行四边形.

3.(1)证明见解析

(2)373

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性

质、平行四边形的性质是解题的关键.

(1)利用平行四边形的性质得到AB=C2AB||CD,得到CE〃AB,再禾狮CE=DC得至UCE=M,则四

边形ABEC是平行四边形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可证明四边形ABEC是矩形.

(2)证明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90°,利用勾股定理即可得到答案.

【详解】(1)证明：在DMCD中，AB=CD,AB\\CD,

CE//AB,

CE=DC,

：.CE=AB,

・・・四边形ABEC是平行四边形.

AC.LDC,

：.NACE=90。，

・・・四边形ABEC是矩形.

⑵解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

VCF=3,四边形ABEC是矩形，

ABC=2CF=6,/BEC=9伊,

在RUBCE中，BE=^BC2-CE2=762-32=373；

4.(1)证明见解析

(2)①作图见解析；②证明见解析；③BG2+HG2=4AE2,证明见解析

【分析】(1)证AADE丝ACDb(SAS),得ZADE=/CDF,再证NED产=90。，即可得出结论;

(2)①依题意，补全图形即可；

②由直角三角形斜边上的中线性质得。G=工即，BG=-EF,即可得出结论；

22

③先证ADEF是等腰直角三角形，得NDEG=45°,再证。GLE尸，DG=^EF=EG,

BG=-EF=EG=FG,得NG。尸=45°,/EDG=/DEG=45°,Z.GBF=Z.GFB,然后证

2

ACDH^ACDF（ASA）,得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：,•・四边形A3CL（是正方形，

:.AD=CD,ZA=NB=NBCD=ZADC=90。,

:.ZDCF=90°,

又♦.•A£=CF,

.-.△ADE^ACDF（SAS）,

\?ADE2CDF,

ZADE+ZCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即ZEDF=90°,

:.DE.LDF；

（2）解：①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由(1)可知，ADE尸和ABEF都是直角三角形,

,.•G是E尸的中点，

:.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BGr+HG1=4AE2,

证明如下：

由(1)可知，AADE^ACZ)F(SAS),DELDF,

:.DE=DF,

.•aDEF是等腰直角三角形，

.."EG=45°,

•••G为£尸的中点，

：.DGLEF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

:.NEGD=NHGF=NDGF=9Q°,ZGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,/GBF=/GFB,

•;NEGB=45。,

NGBF=NGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+ACDH=90°,

NHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

X•.­ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

.-.ACDH^ACDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中，由勾股定理得GF2+HGr=HF2,

-.-HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2AEf,

.-.BG2+HG2=4AE2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定

与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三

角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

5.2

【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线等知识，利用勾股定理求出

AC=SJAB2+BC2=V62+82=10.再求出OC=AC-乂>=10-6=4,根据等腰三角形的三线合一得到

BE=ED,又由尸是边BC的中点得到所为△BCD的中位线，即可得到答案.

【详解】解：在VABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,

贝UAC=ylAB2+BC2=>/62+82=10，

AT)=AB=6,

DC=AC-AD=10-6=4,

'：AD=AB,AE±BD,

：.BE=ED,

是边BC的中点,

E尸为△BCD的中位线，

/.EF=-CD=-x4=2.

22

6.证明见解析.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，先证明四边形AECT是平行四边形，再根据平行四边形的

性质即可，灵活运用平行四边形的性质和判定是本题的关键.

【详解】证明：：四边形ABC。是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

,/BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

VAD//BC,即有A尸〃CE,

四边形AECF是平行四边形，

AE//CF.

7.⑴①P和G；②点N的坐标为(0,4)或(4,0)；

(2)-75-l<a<75-1,且"-1,1

【分析】(1)①根据“关联菱形”的定义即可求解；

②由菱形的性质结合勾股定理，利用两点间距离公式建立方程求解即可；

(2)由题意可得A、,。1,8(0,6),于是得到=昨5,求得-2布Wb<2下,设点尸的“关联

菱形”的顶点在直线>=-％+。上，要使“关联菱形”存在，则点A不在直线y=-x+4和y=x上，以此可

得，b^O,4,设PAf的中点为。，则。［等，等求得点M,P的“关联菱形”的顶点在直线

y=-x+a+l上，再将点代入得到以此即可得.的取值范围.

由菱形的对角线互相垂直平分可知，能够成为点尸的“关联菱形”的顶点在线段PM的垂直平分线上,

点£(2,1),

EM=J(2-l)2+(l-l)2=1,EP=J(2-3)2+(l-3)2=75,1/5,

.•.点E(2,l)不符合题意;

点尸(L3),

FM=J(l-l)2+(3-l)2=2,FP=^(1-3)2+(3-3)2=2,2=2,

.•.点E(2,l)符合题意；

点G(-l,5),

GM=^(-1-1)2+(5-1)2=2A/5,GP=^(-l-3)2+(5-3)2=2>/5,275=275,

.•.点G(T,5)符合题意；

故满足该条件点为歹和G；

故答案为：尸和G；

②如图，设尸河的中点为则”(2,2),过点H作尸河的垂线交坐标轴分别为/、J,HK_L尤轴于点K,

..HK=OK=2,

：.ZHOJ=45°=ZHJO,

AJ（4,0）,

设直线IJ的解析式为y=kx+blf

2k+t\—2k=-l

,解得

4k+t\=04=2

；•直线U的解析式为y=-x+4,

MH=7(2-1)2+(2-I)2=&,

依题意，点。，N在直线y=-x+4上,

.:煎M,P的"关联菱形”MNPQ的面积为8,

•••SAMHN=^S„MNPQ=^MH-HN=2,即!-夜•HN=2,

/.HN=2^2,

设+4）,

HN2=(r-2)2+(-/+4-2)2=(2V2)2,

解得:?i=0,f2=4,

；.N(0,4)或(4,0)；

(2)解：•直线y=-2x+6与x轴交于点A,与'轴交于点B,

B(0,b),

■■■AB=+(0叫2=g网,

■：AB<5,

•••鸟b区5,

-2A/5<^<2A/5,

设点M,P的“关联菱形”的顶点在直线，=-》+。上，

当直线过点M(LD时，则y=-x+2,

・••点A［，。)是点Af,P的“关联菱形”的顶点，

0=--+2,

2

解得：6=4,此时无法构成菱形，

当Z,=0时，40,0)在直线y=x上，此时也无法构成菱形，

-2sf5<b<2y［5,且6片0,b#4,

设尸M的中点为。，则Q［与一，三一｝

mia+1a+1

贝1!刀一=一一~+c>

解得：c—a+1,

点尸的“关联菱形”的顶点在直线y=-x+a+i上，

•・•点是点”,尸的“关联菱形”的顶点，

...—=〃+1,

2

b1

tz——1.

2

-2s/5<b<2y/5,且6片0,4,

-A/5-1<a<V5—1,且。力-1,awl.

【点睛】本题主要考查函数中的新定义问题、菱形的性质、两点间的距离公式、两直线垂直在函数中的应

用，熟练掌握菱形的性质，利用菱形的对角线互相垂直平分正确设出“关联菱形”的顶点所在直线的解析式

是解题关键.

8.(1)。2和Q

⑵10,1或(0,一3

【分析】本题是四边形综合题，考查了图形与坐标、平行四边形的判定、新定义问题的求解，正确理解新

定义和应用平行四边形的性质是解题的关键.

(1)根据定义通过计算即可得出答案；

(2)设Q(x,y),则x=2y,即〉=^x，可知点。在直线y=：尤上，且。(x,；x),根据平行四边形的性质

得gx=2,求出x的值再求出点C的坐标即可.

【详解】(1)解：•.•1X3N2X6,

，2(3,6)不是尸(1,2)的等积点；

•.Tx2=2xl,

.•.。式2,1)是尸(1,2)的等积点；

•.-1x(-1)=2x(-1),

.•.。3(-1，-；)是「(1，2)的等积点，

故答案为：和。3；

•••点Q(x，y)是点尸(1,2)的等积点,

:.x=2y,

•・・点C在y轴上，以。，P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，点。在X轴下方，P。IIQC,

PO=QC,

设直线PC的解析式为：y=^x+b,

3

把P(l,2)代入，可得：b=g

3

一"=5，

3

•・•点c的坐标为(0,5).

当点。在x轴上方，PO//QC,PQ//OC,PQ'=OC,

把Q'(Lw)代入y=可得：m=~,

13

oC=PQ：=2--=-,

•••点C的坐标为(0,-1

综上，点c的坐标为［01］或•

9.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形

的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键.

(1)由已知条件易证03=3C,再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EF=GE.

【详解】(1)证明：•.,四边形A3CD是平行四边形，

:.AD=BC,OD=OB,

•：BD=2AD,

OB=BC,

「.△BCO是等腰三角形，

•・,E是OC的中点，

.\BE±AC.

(2)证明：由(1)知N3E4=90。,

「.△ABE是直角三角形，

••,G是A3的中点，

:.GE=-AB,

2

:E、尸分别是OC,8的中点，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

10.见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的判定与

性质成为解题的关键.

根据平行四边形的性质可得3C=AD,BC//AD,再结合=DN可得C0=4V,易证四边形AMCV是

平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论.

【详解】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

ABC=AD,BC//AD,

'：BM=DN,

:.CM=AN,

CM//AN,

二四边形AWCN是平行四边形，

：.AM//CN.

11.(1)详见解析

⑵6

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线

的定义，熟练以上知识点是解题的关键.

(1)根据已知条件先证明四边形AEC尸为平行四边形，再根据//政=90。即可得证；

(2)由成平分，ABC,可求得AB=AF,在RtZWE中，ZABC=60°,则44£=30。，根据含30度角

的直角三角形的性质，求得BE,由已知3E=DR进而即可求得AD.

【详解】(1)证明：・.・平行四边形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

5L-.-BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

■.■EC//AF,EC=AF

四边形AEB为平行四边形，

又•.•/AEC=90。，

四边形AECT是矩形.

(2)解：•.I尸平分—ABC,

:.ZABF=NFBC,

・・・BC\\AD,

.\ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

,\AF=AB=4,

在RtzMBE中，

ZAEB=90°fZABE=6Q°fAB=4,

.\ZBAE=30°,

BE=2,

:.FD=BE=2,

:.AD=AF+FD=6.

12.⑴见解析

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.

（1）先作线段AD的垂直平分线/,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交直线/于点凡再以点尸为圆

心，A8的长为半径画弧，交直线/于点E,连接。F,BE即可；

（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解决问题即可.

【详解】（1）解：先作线段AD的垂直平分线/,以点A为圆心，AO的长为半径画弧，交直线/于点孔

再以点尸为圆心，的长为半径画弧，交直线/于点E,连接

可得=且EF〃的，AAD尸为等边三角形，

则四边形ABE尸为平行四边形，NBAF=90°-60°=30°.

则平行四边形4汨F即为所求.

（2）解：由（1）可知，EF=AB,EF\\AB,

.••四边形为平行四边形.

判定依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

13.（1）①见解析；②见解析

⑵①45°；®FN=PF+PM

【分析】（1）①根据题意画图即可；

②证明四边形是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,证明AABE丝ANHM（ASA）,得出

=即可；

(2)①过尸作尸7,AB交BA延长线于T,过E作EKLPT于K,证明四边形5EKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，证明RGAPT0R^PEK(HL),得出NAPT=NPEK,证明VAPE是等腰直角三角

形，得出NAEP=45。；

②根据VAPE是等腰直角三角形，PF±AE,得出AF=EF=PF,求出

AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MFf根据跖V=2H/+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,即可得出结论.

【详解】(1)①解：补全图形如下：

②证明：过N作NHLCD于〃，

：.ZNHM=90°,

四边形ABCD是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.ZCHN=ZB=ZC=90°,

・•・四边形5cHN是矩形，

:,NH=BC,ZANH=NBNH=90。,

:・NH=AB,

9：NM±AE,

：.ZAFN=9Q°,

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

・•・ZBAE=ZHNMf

在和中，

/BAE=NHNM

<AB=MH,

ZB=ZNHM

・・・小ABE、NHM(AS0,

：.AE=MN；

(2)解：①过尸作PT,AB交84延长线于T,过£作双，。丁于K,如图:

N

,/四边形ABC。是正方形，

：.ZABD=45°,

・・・△5PT是等腰直角三角形，

BT=PT,

・.•Z.TBE=ZBTK=Z.TKE=90°,

・•・四边形5EKT是矩形，

:・BT=EK,NK=90。，

:.PT=EK,

。尸是AE1的垂直平分线，

AP=EP,

：.RtAAPT^RtAPE^（HL）,

:.ZAPT=ZPEK,

・.•ZPEK+ZEPK=90°,

ZAPT+ZEPK=90°,

：.ZAPE=90°,

・・・VAPE是等腰直角三角形，

・・・NAEP=45。；

故答案为：45°；

②由①可知，VAPE是等腰直角三角形，

PF工AE,

:.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2（PM+MF）=2PM+2MF,

同（1）可得AE=MN,

：.MN=2PM+2MF,

：.MN-MF=2PM+MF={PM+MF）+PM=PF+PM,

即7W=。产+9.

N

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定

和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出图形，熟练掌握相关的判定和性质.

14.见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得

到=ZB=ZD,ZAEB=ZCFD=90°,进而证明“LBE丝ACD/TAAS),然后利用全等三角形的

对应边相等可得结论.

【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD,ZB=ZD,

'：AELBC,CF±AD,

：.ZAEB=/CFD=90。,

在△ABE和VCD/中，

NB=ND

<NAEB=ZFD,

AB=CD

：.AABE名ACDF(AAS),

BE=DF.

15.见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，先根据平行四边形的性质

得出NAEB=NCBE,结合角平分线的定义以及角的等量代换，得出乙4BE=NA£3等角对等边，则

AS=AE,同理B=CD根据一组对边平行且相等的四边形，证明是平行四边形，即可作答.

【详解】证明：在平行四边形ABCD中，

贝AB=CD,

：.ZAEB=ZCBE,

又BE平分NABC,

：.ZABE=ZEBC,

ZABE=ZAEB,

即

同理CF=CD,

又AB=CD,

：.CF^AE,

BF=DE,

'：AD//BC,

四边形EBFD是平行四边形.

16.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判断，菱形的判定，勾股定理:

(1)由AB=CE>=4,则AO=8C=石，结合网格的特点作图即可；

(2)根据网格的特点，结合?1£=圮=河=8尸作图即可.

【详解】(1)解：如图1所示：四边形ABCD即为所求；

图1

(2)解：如图2所示，四边形AE防即为所求.

【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练

掌握其判定及性质是解题的关键.

(1)利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论；

(2)利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性质及SAS可得AOCG/AECG,进而可

得DG=GE,根据尸G2+E/2=欧72即可求解；

【详解】(1)证明：•：BE//CD,CE//AB,

.,•四边形CEBD是平行四边形，

在Rt^ABC中，ZACB=90°,且点。是AB的中点，

;.CD=BD^-AB,

2

，四边形CEBD是菱形.

(2)解：•.-AB=10,

:.CD=-AB=5,

2

•;DFLCE,

.•.ZDFC=90°,

在Rt/XCD尸中，CF=3,

:.DF=\/CD2-CF2=4'

:四边形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,ZDCG=ZECG,

:.EF=CE-CF=2,

在△DCG与AECG中，

'CD=CE

"ZDCG=NECG,

CG=CG

..ALJCG丝AECG(SAS),

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

.■.(4-DG)2+22=Z)G2,

DG=~,

2

故DG的长为g.

2

18.⑴见详解

(2)见详解

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)根据要求作出图形；

(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可.

【详解】(1)解：如图，菱形ABC。即为所求；

A

(2)证明：VAO=OC,DO^OB,

，四边形ABCD是平行四边形.

ZAOD^9Q0,

：.AC.LBD.

，平行四边形ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).

故答案为：OC,OB,对角线垂直的平行四边形是菱形.

19.(1)证明见解析

(2)3

【分析】(1)由角平分线的定义和平行线的性质可得加D=可得"=AD=3C,由菱形的判定

可证四边形A2CD是菱形；

(2)由勾股定理求得BE”》“。？=8,设CE=x，则CD=8—x,在Rt^CDE中，

CD2=CE2+DE2，代入数据解答即可得解.

【详解】(1)解：证明：Q3D平分/ABC,

:.ZABD=ZDBC,

■.■AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,S.AB^BC,

:.AD=BC,且AD〃3C,

四边形ABC。是平行四边形，且AB=3C,

四边形ABC。是菱形；

(2)解：'：BO=DO,DEA.BC,

:.OE=-BD=2y[5,

2

BD=4A/5,

BE=NBD。-DE。=J(4灼2-42=8,

设CE=x,贝118c=5E_CE=8_x,

:.CD=BC=8-x,

在RtaCDE中，CD2=CE2+DE2,

(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

;.CE的长为3.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键.

20.(1)4,472

(2)72，2A/17

⑶±8

(4)1,272+1

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数的性质，近点距与远点距的定义等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

(1)线段AB与线段C。的近点距是正方形的边长，远点距是正方形的对角线.

(2)如图2中，连接AC,延长AC交于Af.解直角三角形求出AM,AE,AF,CN