2024届高考数学易错题《平面向量》含答案解析

高中

专题07平面向量

G易错点：注意零向量书写及三角形

题型一：平面向量线性运算

\与平行四边形适用前提

题型二：平面向量的基本定理

“易错点：忽略基底选取原则

及坐标表示

jg：平面向量的i握械,又易错点：忽懈量积不满足结合律

易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平

面向量线性运算）

i.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量在的大小，也就是向量方的长度，记作|万

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：6与任一向

量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

.

uA...①交换律

求两个向量b

加法•

-.Ad+b=b+a

和的运算a

②结合律

三角形法则平行四边形法则

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(a+b)+c=a+(b+c)

求值与B的

b/Y*

相反向量工的

减法a-b=a+(-b)

和的运算叫做色.

与B的差三角形法则

(1)

求实数力与2(/z5)=(2//)5

(2)当4>0时，质与行的方向相同；

数乘向量。的积的运(Z+=Aa+向

当2<0时，4G与G的方向相同；

算2(5+b)=Aa+Ab

当；1=0时，2a=0

共线向量定理

向量1伍R0)与3共线，当且仅当有唯一的一个实数力,使得一限

共线向量定理的主要应用：

⑴证明向量共线：对于非零向量2,b，若存在实数力,使。=焉，则方与彼共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使善=2次,则4B,C三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等

向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向

量表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类

项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

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高中

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象

移动混为一谈.

aa

(6)非零向量之与h的关系：H是2方向上的单位向量.

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可

以比较大小

易错提醒：(1)向量表达式中的零向量写成6,而不能写成o.

(2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所

在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向

量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三

角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：CM-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

■

下列计算正确的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

LILUUUU1ULIULUUUI

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA^O

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变式1:给出下列命题，其中正确的命题为（）

A.若而=而，则必有/与C重合，2与。重合，48与CD为同一线段

__»1__.2-、

B.AD=-AC+-AB,贝I]可知前=331）

utrar1uuriuuriuuir

C.若0为AABC的重心，则P0=]P/+,P8+§PC

D.非零向量Z,b,1满足Z与3,3与0"与Z都是共面向量，则Z,b,1必共面

__,21

变式2：如图所示，在平行四边形48CD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

（1）试用向量Z卷来表示丽，万7;

（2）/M交DV于。点，求的值.

变式3：如图所示，在矩形/BCD中，|就卜46，|万卜8,设就多，AB=a,BD=c，求

\a-b

uuur/rrx

1.已知£、B为不共线的向量，AB=a+5bBC=-2a+8b>CD=3\^a-bj,则（）

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,。三点共线D.B,C,。三点共线

2.如图，在平行四边形中，E是3c的中点，下是线段/£上靠近点/的三等分点,

则市等于（）

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B.-A8--2D

33

1一3一

cD.-AB--AD

-»34

3.在四边形NBCD中，若元=刀+15，贝！I（）

A.四边形48CD是平行四边形B.四边形/BCD是矩形

C.四边形/BCD是菱形D.四边形4BCD是正方形

4.已知/。，族分别为“3C的边8C,/C上的中线，设亚=£,而=丸则前=（）

r2-,4-

B.~a+~b

。J

2-4-2一।4一

C.D.--a~\~~b

5.如果,尾是平面。内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

①〃=鸡+”2（九〃£R）可以表示平面a内的所有向量；

②对于平面。内任一向量Z，使〃=鸡+侔2（九〃£R）的实数对（4〃）有无穷多个；

③若向量4,+4。2与4,+以2。2共线，则?二丛

A2〃2

④若实数入〃使得鸡+“=0,则;1=汹=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.给出下列各式：@AB+CA+BC>@AB-CD+Bl5-AC>@AD-Oi5+OA>④

NQ-MP+QP+MN,对这些式子进行化简，则其化简结果为。的式子的个数是（）

A.4B.3C.2D.I

7.已知平面向量"，b，5，下列结论中正确的是（）

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A.若〃〃石，则4=38.若日|=回，则4=3

C.若£〃九b//c＞贝尤〃"D.若|£+目=向+同，贝期〃加

8.设［与1是两个不共线的向量，AB=3ex+2^,CB=ket+e1,CD=3e^-2ke2,若/,B,

£）三点共线，则左的值为（）

49c38

A.——B.——C.——D.——

9483

9.在AO/5中，已知网=2,网=4,P是的垂直平分线/上的任一点，则亦荏=（）

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知抛物线C：/=4x的焦点为产，准线为/,点线段交抛物线C于点3,

过点8作/的垂线，垂足为“，若拓=3丽，贝！I（）

A.|而河B.网=4

C.西=3|西D.网=4瓯

11.下列各式中结果为零向量的为（

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+RD-CDD.OA+OC+lO+CO

易错点二:忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）

1.平面向量基本定理和性质

（1）共线向量基本定理

如果。=必（力€尺），贝！U//B;反之，如果3/区且3x0，则一定存在唯一的实数人

使）=25.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

（2）平面向量基本定理

如果I和易是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量2,都

存在唯一的一对实数4,使得可，我们把不共线向量I叫做表示这一平

面内所有向量的一组基底，记为忖2｝,41+4易叫做向量己关于基底｛♦，晟｝的分解式.

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注意：由平面向量基本定理可知：只要向量•与最不共线，平面内的任一向量不都可

以分解成形如2=4,+%2?2的形式，并且这样的分解是唯一的.4,+%2?2叫做9，色的一

个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，

也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若■=4,+4©=4,+44，则4=4，1=4・

推论2：若2=4,+%2,2=G，则4=%2=0.

（3）线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△45C中，若点。是边上的点，且丽=丸皮（八-1）,则向量

+

AD=ABAAC.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能

1+A

有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.

B

（4）三点共线定理

平面内三点B,C央线的充要条件是：存在实数4,，使双=2刀+〃砺，其中

4+〃=1,。为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A.B、。三点共线

o存在唯一的实数2,AC=A.AB;

o存在唯一的实数4,]^OC=OA+AAB;

o存在唯一的实数2,使得云=（1-㈤刀+2砺；

=存在2+〃=1,WOC=WA+juOB.

（5）中线向量定理

-.1—►_.一

如图所示，在△48C中，若点。走边8C的中点，则中线向量/。=5（48+NC）,反

之亦正确.

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2.平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与天轴，/轴正半轴方向相同的两个单位向量]作为基底,

那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量有且只有一对实数x，>使

a=xi+yi,我们把有序实数对(x,»)叫做向量。的坐标，记作，=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)「=二婴=、向量次、「士、点A(x,y).

(3)设Nb=(x2,y2),贝!Ja+B=(X]+%)，a-b=(xx-x2,yt-y2),

即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若N=(x,y),%为实数，则=即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘

原来向量的相应坐标.

(4)设N(XQI),3(%,%),则在=砺-厉=(%-%,M-%),即一个向量的坐标等

于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.

3.平面向量的直角坐标运算

=22

①已知点/(X]，乂),B(X],y2),贝[]AB=(x2—xx,力—必)，I|1(x?—xj+(%—yj

②已知为=(再,必),b=(x2,y2),则@士B=(再±%,必土％),25=(Ax1,Aj1),

a-b=x[x2+y1y2,\a|=J尤;.

0

a//bX]%-%%=°，aVb<=>\x2+必%=

向量共线(平行)的坐标表示

1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量3共线的向量时,

可设所求向量为2d(AeR),然后结合其他条件列出关于力的方程，求出力的值后代入2m

即可得到所求的向量.

2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若

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，=(匹,%)，b=(x2,y2),则的充要条件是X1%=超必”解题比较方便.

3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于刀与式共线.

4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程,

再利用三角恒等变换求解.

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性

组合，再进行向量的运算.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运

用线段中点的向量表达式.

向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.

两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

易错提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这

一组基底表示出来.

(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，

如平行、相似等。

三9

例.已知向量2=(2,1),6-(-3,1),则()

A.若工=［恪,-当，则B.向量Z在向量■上的投影向量为

C.£与15的夹角余弦值为与D.^+b)Ha

变式1.下列说法中错误的为()

A.已知:=(1,2),2=(1,1)且°与2+4的夹角为锐角，则实数％的取值范围是

B.向量1=(2,-3),E='，-；!不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量b，满足忖＜W且々与3同向，贝工

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D.非零向量Z和.，满足同=W=-q,贝匕与Z+g的夹角为30°

变式2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若4=（再,凹）,]=（%2，%），且[与力共线，则，=g"

B.若Q=（%],必）,6=（々,歹2），且七外工工2%,则Q与，不共线

C.若4,B,。三点共线.则向量/，旋，&都是共线向量

D.若向量a=（1,2）,/?=（-2,〃）,且，//],则〃=—4

变式3.已知晟晟是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）

A.若实数冽，n{Jmex+ne2=6,贝！］加=及=0

B.平面内任意一个向量2都可以表示成万=冽,十加6，其中冽，〃为实数

C.对于加，〃ER,加,不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量2,存在两对以上实数加，n,使1=加,+〃。2

1.在梯形中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分别是的中点，AC与BD交

于“，设酢=1,AD=bf则下列结论正确的是（）

—►1—1

A.AC=—a+bB.BC=——G+b

22

—»1_2-一►1一-

C.BM=——a+—bD.EF=——a+h

334

2.己知点4（1,2）,8（3,x）,向量a=（2-％，-1）,AB//a,则（）

A.1=2+夜时商与万方向相同

B.x=2-行时，刀与£方向相同

C.%=2-时方与方方向相反

D.x=2+后时，万与£方向相反

3.已知点4（1,2）,5（3,%）,向量行=（2-兀一1）,下〃原则（）

A.x=3时方与々方向相同

B.x=2-6■，时方与£方向相同

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C.X=3时万与£方向相反

D.》=2+后,时刀与£方向相反

4.如果弓,当是平面。内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是()

A.弱+(2,〃eR)可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a内任一向量入使彳=力耳+4目的实数对(4〃)有无穷个

C.若向量4耳+〃同与&4+4&共线，则有且只有一个实数彳，使得

=2(4.+)

D.若存在实数九M使得府1+4当=。，则％=〃=0

5.已知平面内平行四边形的三个顶点-2,1),5(-1,3),C(3,4),则第四个顶点。的坐标为

()

A.(-2,2)B.(4,6)

C.(-6,0)D.(2,-2)

6.已知椭圆£：三+/=1的左、右焦点分别为片，B，过下顶点/和右焦点心的直线与£

交于另一点5,8耳与y轴交于点尸，则()

A.AFtlAF2B.\BF2\=^

C.Zk/B片的内切圆半径为孝D.4F\P-3PB=0

7.设0<6<兀，非零向量a=(sin2acosP),b=(cos0,1),贝！1().

A.若tang=；,贝!B-若W彳'则a=

C.存在0,使2a=bD.若Q〃B,贝!Jtan8=5

8.已知向量Z=(2,-1)2二仇2),则下列结论正确的是()

A.若〃〃石，则加=一4B.若之工石，则加=1

C.^\2a-b\=\a+b\,则加=1D.若|"+可=即则加=-4

9.如图，在“3C中，3。=12,£>,£是8。的三等分点，贝I]()

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33

.2—►

B.若布.刀=0，则存在羽上的投影向量为§4®

C.若万•就=9，贝!I75•荏=40

.------------2----2

D.右AD-AE=4,AB+AC=88

10.已知F=（l,2）范=（4/）,则下列叙述正确的是（）

A.若5〃3,则/=8B.若万］B，则,=2

C.归-4的最小值为5D.若向量3与向量3的夹角为钝角，贝卜＜-2

11.已知空间向量Z=（b-1,2）,则下列说法正确的是（）

A.卜卜卡

B.向量［与向量3=（2,2,-4）共线

C.向量［关于x轴对称的向量为（1,1,-2）

D.向量Z关于天。平面对称的向量为（一1,1,-2）

易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应

用）

1.平面向量的数量积。

（I）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与b,我们把数量IaII"cos。叫做“与6的数量积（或内积），

记作。即。.b=|"|出|cos。，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：MIcosO叫做向量。在6方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数;

当。为钝角时，它是负数；当。为直角时，它是0.

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②。♦〃的几何意义：数量积4・A等于〃的长度M与〃在〃方向上射影I"cose的乘积.

2.数量积的运算律

已知向量。、b、C和实数4,贝Ij：

①ab=ba；

②(Z«)-b=Z(a•b)=a,(Ab)；

@(a+b)c=ac+bc.

3.数量积的性质

设。、〃都是非零向量，《是与〃方向相同的单位向量，。是"与《的夹角，贝I

①es=a«=|a|cose.②热_L〃=a〃=0.

③当。与力同向时，a-b=\a\\b\；当〃与〃反向时，ab=-\a||/>|.

特别地，〃•〃二|级『或|a|=Ja•a.

a.b

@cos6，=-777(l«ll*>0).⑤.

4.数量积的坐标运算

已知非零向量。=(%，乂)，b=(x2,y2),0为向量4、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a|=y/aa\a\=yjx2+y2

数量积ab=\a||A|cosab=xlx2+yty2

cos-1二+产

夹角

Jx；+＞；-7X2+£

的充要

ab=0再超+必％=0

条件

a//b的充要

a=ZAC〃w0)网超+必%=0

条件

|Q•一与

\a-b\<\a\\b\(当且斥2+yty2|W

1«1161

仅当。〃b时等号成立)

的关系

1.平面向量数量积的类型及求法:

(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a-b=HMIcos。；二是坐标公

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式a•/)=%]X2+yxy2.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关

公式进行化简.

2.平面向量数量积主要有两个应用：

(1)求夹角的大小：若。，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosO=广3

(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.

(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于

0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

3.向量与平面几何综合问题的解法与步骤：

(1)向量与平面几何综合问题的解法

①坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相

应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

②基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来

进行求解.

(2)用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转

化为向量问题；

②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系.

4.利用向量求解三角函数问题的一般思路：

(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角

三角函数关系式及三角函数中常用公式求解.

(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角.

(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向

量的相关运算把问题转化为三角函数问题.

(4)解三角形.利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角

形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.

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5.用向量法解决实际问题的步骤如下：

第一步：抽象出实际问题中的向量，转化为数学问题；

第二步：建立以向量为主体的数学模型；

第三步：利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；

第四步：用数学模型中的数据求解问题.

6.常见的向量表示形式：

（1）重心.若点G是△48C的重心，则臣+豆+虎=0或而=；（莎+而+京）（其

中产为平面内任意一点）.反之，若由+砺+无=0，则点G是△48C的重心.

（2）垂心.若〃是的垂心，则必.瓦=丽.衣=麻.用.反之，若

HAHB=HBHC=HCHA^则点〃是△A8C的垂心.

（3）内心.若点/是△NBC的内心，贝/反^・历+|海卜后1=0.反之，若

\~BC\JA+\CA\-1B+\~AB\4C=Q,则点/是△NBC的内心.

（4）外心.若点。是△/8C的外心，贝U（E+历）•函=（无+^>Q=（无+E）•就=0

或|方H砺H云八反之，若|方H砺H反I，则点。是△4sc的外心.

题型：平面向量的模及其应用的类型与解题策略：

（1）求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式|”|=病=后］，或坐标公式

|a1=p+y1的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解.

（2）求模的最值或取值范围.解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值

或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取

值范围.

（3）由向量的模求夹角.对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.

易错提醒：（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且成了国初行

（2）当值/。时，由鼠3=0不能推出不一定是零向量，这是因为任一与3垂直的非零向量不

都有ab=0-

当时，且限日=）々时，也不能推出一定有3=5,当B是与7垂直的非零向量，己是

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另一与1垂直的非零向量时，有//=鼠/=0,但Bwd.

（3）数量积不满足结合律，即他/》片指力历，这是因为伍而兄是一个与己共线的向量，

而（几0）,是一个与3共线的向量，而万与己不一定共线，所以他而前不一定等于（九己）1，

即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当限3>0且之。焉（4>0）（或限3<0，且

aAb0））.

三

例.下列说法中错误的是（）

A.单位向量都相等

B.向量羽与丽是共线向量，则点/、B、C、。必在同一条直线上

c.两个非零向量痴，若他+昨忖|-向，则3与B共线且反向

D.已知向量》=（4,3-机）,彼=（1,加），若万与B的夹角为锐角，则T<»?<4

变式1.给出下列命题，其中正确的有（）

A.已知向量则a-®+c）+c.e-a）="c

B.若向量Z3共线,则向量Z］所在直线平行或重合

c.已知向量则向量23与任何向量都不构成空间的一个基底

D.45,M,N为空间四点,若既两，丽构成空间的一个基底，则48,M,N共面

变式2.设♦高均为单位向量，对任意的实数t有自+g扇H口+面恒成立，贝I（）

A.1与1的夹角为60。B.\e}+^\=^~

C.|%一句的最小值为/D.|«2+%（q-4）1的最小值为上

变式3.已知抛物线1=4歹的焦点为少，M（4,%）在抛物线上，延长“交抛物线于点N,

抛物线准线与V轴交于点。，则下列叙述正确的是（）

A.\MF\=6B.点N的坐标为,1,；）

高中16

高中

——►―►9

CQM"D.在“轴上存在点R,使得"节为钝角

1.如图，在三棱柱45。-4月。中，M,N分别是45,4G上的点，且曲/=24河，

C、N=2B、N.设~AB=a，AC=b，AAX=c若ABAC=90°,NBAA]=ZCAA,=60°,

AB=AC=A4=1,贝Ij()

A.MN=—a+—b+—c

333

C.福_1%

2.设工友工是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.6-tz=6B.•b)・c=a•(b•c)

B)=|Z|2_|加2

C.a-b=a-LbD.

3.（多选）下列各命题中，正确的命题为（）

A.y/a-a=\a\B.m(Aa)•b=(mX)a-b(m^GR)

C.a^b+c）=（b+c）-aD.a2b=b2a

4.给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若直线/的方向向量为工=（1。3）,平面。的法向量为3=1-2,0,|1,则直线///a

—■1—•1—-1—.

B.若对空间中任意一点。，^OP^-OA+-OB+-OC,则尸、A、B、C四点共面

442

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量2=（9,4,-4）,K=（1,2,2）,则£在B上的投影向量为（1,2,2）

高中17

高中

5.设向量1=（左,2）,6=（1,-1）,则下列叙述错误的是（）

A.若左＜-2时，则方与B的夹角为钝角B.同的最小值为2

C.与B共线的单位向量只有一个为拳，-彳D.若囱=2⑸，则上=2后或-2后

I22

6.设厂为抛物线C：/=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于4,2两点，则（）

A.\AB\=nB.OAOB=——

1116

C.yAyB=-3D.xAxB=3

7.已知向量a=（2,l）］=（l,-l）,c=（加-2,-”），其中私”均为正数，且（a/）〃c,下列说

法正确的是（）

A.々与B的夹角为钝角

B.向量々在3方向上的投影为。

C.2m+n=4

D.小〃的最大值为2

8.已知“3C所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是（）

A.若网=网=|因，则点。是OBC的外心

B.^NA+NB+NC=0,则点N是2BC的重心

C.若互5.诟=而・斤=京.苏，则点P是AA8C的垂心

（益就1—■ABAC1

D.若『+产『BC=0,且二•万方=弓，则”3C为直角三角形

［网对阳陷2

9.如图，在平行六面体/BCD-44GA中，4c与BD交于O点、,且

ZBAD=ZBAA}=Z.DAAX=60°,AB=AD=4,=5.则下列结论正确的有（）

高中18

高中

A.AC.1BDB.BCX-AXC=9

C.BD.=V§5D.OB,^-AB--AD-AA,

1221

10.(多选)下列说法中正确的是()

A.若非零向量斓满足口咽叩-耳，则Z与£+5的夹角为30。

B.若Z石＞0，则Z花的夹角为锐角

C.若乐•刀=运・%+而•就+而・瓦，则4N2C一定是直角三角形

D.”8C的外接圆的圆心为。，半径为1,若在+%=2粉，S.\O4\=\CA\,则向量

说在向量数方向上的投影数量为:3

11.下列说法中正确的是()

A.若。是内一点，且次.无=次.反=发.砺，则。为“8C的垂心

B.若。是“3C内一点，S.BC-(OB+OC)=AC-(04+OC)=AB-(04+03)=0,则O

为的外心