专题09 几何中的最值问题问题（原卷版）

专题09几何中的最值问题几何压轴题中的最值问题，是历年各地中考中的高频考点，其主要类型包括面积的最值问题、线段的最值问题、角度的最值问题，由于面积的最值问题在上一个专题中已有涉及，所以本主题主要探究的是线段的有关最值问题。解决线段的最值问题，从方法上来说主要有几何法和函数法两大方法：几何法：总的思路是对线段的最值问题进行转化，多数情况下当三点位于同一条直线上时，取得最值，理论依据主要是两点之间线段最短。再具体的考题中我们可以根据题目的图形、条件或者问题的问法等，再将最值问题进行细化，将问题抽象成我们常见的几种模型，从而使问题得到解决。例如抽象为：将军饮马模型、瓜豆原理、胡不归模型、费马点模型以及阿氏圆模型等。函数法：可以利用坐标法，将所求的线段长度用坐标的方式表示出来，之后利用最值模型求解。 （2022·辽宁沈阳·统考中考真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______；（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．（3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接，①若将绕点C逆时针旋转得到，连接，则的最大值______；②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．（1）由题意易得，，，然后可证，进而问题可求解；（2）由题意易得，，然后可证，进而问题可求证；（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得，则当A、C、D三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C作于点E，连接，过点B作于点F，然后可得点C、D、B、E四点共圆，则有，设，，则，，，进而根据勾股定理可进行方程求解．【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②．【详解】解：（1），理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，，∴，，故答案为：；（2）结论仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∴，；（3）①如图，由题意得：，，根据三角不等关系可知：，∴当A、C、D三点共线时取最大，∴，∵，，∴，的最大值为；②过点C作于点E，连接，过点B作于点F，如图所示：∴，∴点C、D、B、E四点共圆，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，设，，则，，，∴，，∴，，∴在和中，由勾股定理得：，整理得：①；在中，由勾股定理得：，整理得：②，联立①②得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴，过点E作于点M，∴，，∴，∴．本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题的关键．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【答案】(1)见解析(2)22.5°，(3)【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折叠得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴（3）如图，连接∵∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值为本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．(1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长．（1）证明出即可求解；（2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE．【答案】(1)见解析(2)①5；②或【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）①解：如图2-1，连接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中，．∴的最小值为5．②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N，∴．∴．设，则，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值为5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如图2-3，过点G作交BC于点H．∴．∴，由①知的最小值为5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的结论可得．设，则，∴，解得或．∵，，∴或．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．1．（2022·贵州遵义·统考二模）如图1，四边形ABCD为正方形，，为等腰直角三角形，E在BA的延长线上，点F在AD上，，．如图2，将绕点A顺时针旋转x度（）得到．(1)如图2，连接，，判断线段与线段之间的关系，并说明理由；(2)如图3，连接，若，求的最小值和最大值；(3)如图4，直线与直线交于点N，连接CN，若，求CN的长．2．（2022·陕西延安·统考二模）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，的长为半径的圆上；②B'M=______；拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．3．（2022·河南南阳·统考二模）如图①②，和均为直角三角形，，，，点C在边EF的延长线上，，射线EM与AD交于点M，（）．(1)如图①，当点B落在射线EF上时，EM与BA的延长线相交于点G，则______．(2)如图②，把绕点C逆时针旋转度（），的值是否保持不变？请仅就图②给出你的证明．(3)若，在绕点C旋转过程中，直接写出线段AD的最大值和最小值．4．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．(1)在线段BC上取一点T，使CE=CT，求证：FT=CG；(2)图中AB＝7，AE＝1．①点F在线段BC上，求EFG周长的最大值和最小值；②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N不能落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．5．（2022·河北唐山·统考二模）问题情境：在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．探究发现：（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则．△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．拓展延伸：（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．6．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；(3)如图4，延长BF