2024年北京某中学高三（上）期中数学试题与答案

2024北京北师大二附中高三（上）期中

数学

本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，只收答题纸，不收试卷。

一、单选题（本大题共10小题，共40分）

1.设集合加=卜|，<2},N={x[-l<x<3},则MUN=（）

A.1x|-l<x<V2|B.{X|-1<X<2}C.{X|-V2<X<3|D.{X|-2<X<3}

2.曲线y=g/+i在点（_3,一8）处的切线斜率为（）

A.9B.5C.-8D.10

3.在复平面内，复数之外对应的点分别是（2,-3）,则包的模是（）

%

A.5B.V5C.2D.V2

兀（

4.已知直线x=—是函数/（x）=sincox+-：（0<。<8）图像的一条对称轴，则。的值为

6161

（）

A.3B.4C.2D.1

54

5.=0.4°,b=0.5°,c=log324,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

6.在△ABC中，AO为5。边上的中线，E为A。的中点.则丽=（）

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

7.在长方体A3CO-A场GR的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面

A为2平行的概率为（）

3535

A.—B.—C.—D.—

14142828

8.已知a,b都大于零且不等于1,则“108〃>1"是"（"1）（方-1）〉0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

Y_OYY

9.已知函数/(")二—'"在R上单调递增，则实数机的取值范围是()

x,x<m

A.m>lB.m>3

C.l<m<3D.机<1或

10.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中

成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，

DNA的数量X“与扩增次数〃满足lgX“=〃lg(l+p)+lgXo，其中夕为扩增效率，X。为DNA

的初始数量.已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩

增效率夕约为()

(参考数据:1O02«1.585,1002«0.631)

A.36.9%B.41.5%C.58.5%D.63.4%

二、填空题(本大题共5小题，共25分)

济的定义域为一

11.函数y=

12.已知等差数列｛%,｝的前〃项和为S,”为=1,§3=18,则§6=

13.在△ABC中，角的对边分别为a,b,c,b2=(a+c)2-6,B=—,则ZUBC的面

''3

积是.

2

log2(x+2x+,x>0

14.已知函数/(x)=|门V的值域是R,则实数。的最大值是

4--,x<0

I⑴

15.如图所示，在四棱锥P-A2JCD中，底面45co为正方形，小，底面45cD,

R4=AB=4.E,F,〃分别是棱08,BC,尸。的中点，对于平面EW截四棱锥尸-ABC。所得

的截面多边形，有以下三个结论：

①截面面积等于4石；

②截面是一个五边形；

③直线PC与截面所在平面EW无公共点.

其中，所有正确结论的序号是

三、解答题(共6题，共85分)

16.已知函数/(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x,

(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递减区间;

(2)当xe时，求“X)的最大值和最小值

17.在△ABC中，角aB,C的对边分别为a,"c,且.

在下面的三个条件中任选一个补充到上面的横线中，并给出下面问题的解答.

.(兀、1

①2a—力=2ccosB,②sinCH—=cosC+—,

k6J2

@m=(a-c,b-a),而=(a+c,»,mVn.

(1)求角C；

(2)若c=石，求△ABC周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.如图，在四棱锥尸-AbC。中，底面45CD为矩形，底

ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点.

⑴求证：PA〃平面EZW；

(2)求平面EZ阳与平面尸4。夹角(锐角)的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在一点尸，使直线Eb与平面ED5

所成角的正弦值为逅，若存在，求出求线段5厂的长；

3

若不存在，说明理由.

19.某市45两所中学的学生组队参加信息联赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，5中

学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训I.由于集训后队员水平相当,

从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.

(1)求4中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)设X表示A中学参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知3名男生的比赛成绩分别为76、80、84；3名女生的比赛成绩分别为77、«

(aeN*)、81；若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出。的取值

范围(不要求过程).

20.已知函数/(x)=2石(aeR且awO).

22

(1)当a=2当时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

(2)若。〉0,讨论函数“X)的单调性与单调区间；

(3)若y=/(x)有两个极值点天,々，证明：/(xJ+/(X2)<9Tna.

21.设〃为正整数，集合4〃={。|。=(%以2，剧)刈”{0,1}，=1,2,对于

a=(a1,a2,--,an)eAn,设集合P(a)={/eN[0</<〃-1,。阴==1,2,…，〃一/}.

(1)^a=(O,l,O,O,l,O)=(0,1,0,0,1,0,1,0,04,0),写出集合P(a),尸(夕)；

(2)若a=(%,电，…，％)G4，且S/GP(a)满足S<〉令优=(%,曲，…，)GAr，求证:

t-se尸(优)；

(3)若，且尸(。)={51产2，,一五}(51<52<一<5,"即23),求证：

2sHiNSk+sk+2{k=1,2,2).

参考答案

一、单选题（本大题共10小题，共40分）

题号12345678910

答案cADCDACABc

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11.（0,2）

12.81

13.更

2

14.8

15.②③

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

3兀77r

16（13分）.（1）最小正周期兀，单调递减区间—+kK,—+kK,keZ；6分

OO_

（2）最大值血，最小值-1.7分

【详解】

（1）F（x）=（sinx+cos尤）2-2cos2x=1+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-（1+cos2x）=V2sin

正周期T=M=兀，由+丹+2版],左eZ得单调递减区间为xe擀+E,?+E],

24|_22」|_oo

keZ；

,__71/口_71713兀

（2）x由xe0,—i#2x--e,

故当='时，的最大值为a；当=-（时，的最小值为-L

17（14分）.

(l)f6分

(2)(273,373]7分

【详解】(1)选①

由正弦定理及2a—Z?=2ccosB,2sinA-sinB=2sinCcosB,

又sinA=sin(B+C)=sin8cosc+cosBsinC,2sinBcosC=sinB

1TT

,jsinBwO,/.cosC=-,又。£(0,乃),：.C=—

23

选②

sin(c+^|

由=cosC+-,—sinC+-cosC=cosC+-,

2222

EP^-sinC--cosC=—,sin|C-^7-11

2226~2

兀715TT

•・・。£(0,»),：.C——G

6仁哈。f

选③

'：m=(a-c,b-a),n=(a+c,b)m-Ln(a-c)-(a+c)+(b~a)-b=0,

化简得a2+b2-c2=ab,

lab2

jr

又・..。£(0,%),：.C=—

（2）由余弦定理得，a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

(a+6)2

又ab<当且仅当a时等号成立.

4

3

.­.3ab=(a+b)2-3<^a+b)2,.-.0<a+b<2y/3,当且仅当a=〃=括时等号成立.

a+Z?+cW2,\/3+y/s—3^/3.3^a+b>c,/.a+Z?+c>2c-2*\/3.

•.AABC周长的取值范围为（2后3强.

18(15分).

⑴证明见解析4分（2）如5分（3）存在；B尸的长为［或］

6分

624

【详解】（1）连接AC,交2。于点。，连接0E,

点E是尸C的中点，点。是4c的中点,

所以P4//OE,OEcEDB,PAcZEDB,

所以尸4〃平面EDB；

（2）如图，以向量次，DC,而为乐％z

轴的正方向建立空间直角坐标系,

即。(0,0,0),5(1,2,0),£(0,1,1),则丽=(1,2,0),诙=(0,1,1),

DBm=x+2y=0

设平面EDB的法向量沅=（x,y,z）,则一

DE•玩=y+z=0

令y=-1得尤=2,z=l,所以平面E£»B的法向量沅=（2,-1,1）,

平面PAD的一个法向量为n=（0,1,0）,

设平面EDB和平面PAD的夹角为6,

|m-n|1V6

则cos。=卜OS（庆,砌=

m\\n\一6，

所以平面EDB和平面PAD的夹角的余弦值为理;

Ab-

6

(3)由(2)知。(0,0,0),5(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),

丽=(1,1,一1),丽=(一1,一2,2),BF=ABP=(-2,-22,2/)(0<A<l),

EF=EB+BF=(1,1,-1)+(-2,-22,22)=(1-2,1-22,-1+22),

由（2）知平面EOB的法向量沅=（2,-1,1）,设直线M与平面包8的夹角为

则sina='os(EF,而，=邛

7(1-2)2+(1-22)2+(-1+2A)2x76

13

整理得8万_104+3=0,解得Xu,或

133Q

故当'时‘B",当彳二时，”

则昉的长为3;或Q.

19(14分).

（端3分

3

（2）分布列见解析，期望为;8分

(3){〃173<〃<85,awN*}3分

【详解】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.

C3：c31

参赛学生全部从8中学中抽取（等价于幺中学没有学生入选代表队）的概率为C为C=会.

C6c61UU

199

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-肃=荒

（2）根据题意得，X的可能取值为0,1,2,3.

「003；；

贝l]P(X=0)=**C-C9

C：一20'

C2cl91

P(X=2)=〒=与，P(X=3)=

或20

所以X的分布列为:

X0123

1991

P

20202020

1QO13

因此，X的数学期望E(X)=OX南+1X布+2X痴+3*指=

^\J乙V/乙V/2

(3)3名男生的比赛成绩分别为76,80,84,平均值为80,方差为(一一+°一+4?,

33

3名女生的比赛成绩为77,a(aeN*),81,平均值为"产，

所以32177一丁卜„；

即32x9>(73-4+(2a-158)2+(85-a)?=(73-a)?+4(a-79)2+(85-4，

代入检验，可知。最小为74,最大84,故73<a<85,aeN*

即。的取值范围{a173<a<85,aeN*}.

20(15分).

(I)x+y-2后-1=0；5分

(ID详见解析；4分

(III)证明见解析.6分

【详解】由题可知：函数“X)的定义域为(0,+8)

(I)因为a=2g时，/(x)=2A/3X—2^3In%——x2+--,所以广(x)=2G―?出_了,

/'X

那么:⑴=-1,/⑴=2/，

所以曲线>=〃尤)在。/⑴)处的切线方程为：y-2V3=-(x-l),

即x+y-21=0；

(II)因为尸(x)=2/_二一尤=x+2打刀_由一d+2括x-a=0可得：

XX

①当A=12—4a>0,ae(。,3),时，有无］=y/3+J3-a,x2—y/3—J3-a,［两足>x?>。，xG(0,)

和xe(X1,+co)时f'(x)<Q,

即函数y=〃尤)在仅,和(Q+5意,+可上为减函数；

xe(马，玉)时，/'(尤)>。，即函数y=/(x)在(省一行工'，段+上为增函数;

②当时，A<0,尸(“40恒成立，所以函数y=〃x)在(0,+8)为减函数.

综上可知：

当0<a<3时，函数y=/(x)在(。,6-j3-a)和(百+j3-a,+co)上为减函数,

在-j3-a,M+j3-a)上为增函数;

当时,函数y=〃x)在(0,+8)上为减函数;

(III)因为>=〃尤)有两个极值点4、%,

则,⑴=+2瓜一/=0有两个正木艮4、”,贝I」有A=12-4a>0,且%+%=26,刊=">0,

即as(0,3),

所以/(/)+/(%)=26(/+/)-aln(%]%2)-；(兀；+%2)+1二-4InQ+Q+7

若要/(^i)+/(x2)<9-Indt,艮|]要〃ln〃一ln〃一〃+2>。，

构造函数g(x)=xlnx-x-lnjc+2,贝I]g,(.x)=lnx--,

易知y=g'(尤)在(。，3)上为增函数,

且g<l)=T<0,^(2)=ln2-1>0,

所以存在x0e(1,2)使/(%)=0即Inx0=；,

且当xe(l,%)时g，(尤)<0,函数y=g(x)单调递减；

当尤e(%,2)时,g[x)>0,函数>=g(x)单调递增.

所以函数y=g(x)在(1,2)上有最小值为