2024年北京某校初三（上）期中数学试题及答案

2024北京回民学校初三（上）期中

数学

一、选择题（每小题2分，共16分）

1.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术.剪

纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.若抛物线y=—/+公+1经过点（―2,3）,则6的值是（）

A.-1B.—2C.-3D.3

3.下列关于抛物线>=-d+2的说法正确的是（）

A.抛物线开口向上B.在对称轴的右侧，y随工的增大而增大

C.顶点坐标为（-1,2）D.当x=0,y有最大值是2

4..车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）

A.圆上各点到圆心的距离相等B.直径是圆中最长的弦

C.同弧所对的圆周角相等D.圆是中心对称图形

5.某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加,

第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为

%,根据题意得方程（）.

A.10（1+x）2=33.1B.10（l+x）+10（l+x）2=33.1

2

C.10+10（l+x）=33.1D.10+10（l+x）+10（l+尤）2=331

6.如图，EF,CD是。的两条直径，点A是劣弧的中点.若NCOF=32°,则NAOC的度数是

A

A.47°B.74°C,53°D.63°

7.小明将图案、，绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度设计出一个外轮廓为正六边形

的图案（如图），则々可以为（）

B.60°

C.90°D.120°

8.如图，抛物线y=af+6x+c与x轴交于点A（-1,0）,3（3,0）,交F轴的正半轴于点C,对称轴交抛物

线于点O,交了轴与点E,则下列结论：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+Qc^+bm（机为任意

实数）；④一元二次方程a?+6x+c+2=o有两个不相等的实数根；⑤若点尸为对称轴上的动点，则

PC|有最大值，最大值为JC2+9•其中正确的有（）

B.3个C.4个D.5个

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.在平面直角坐标系中，点/（-4,3）关于原点对称的点的坐标是.

10.一元二次方程一4=0的根是

11.。的半径为4cm,点尸到圆心O的距离为5cm,点尸与。的位置关系是

12.若一元二次方程2必—3x+c=0无解，则c的取值范围为

13.二次函数y=G：2_4x-7（aN0）的对称轴为x=l,则。的值是.

14.如图，四边形A3CD内接于。，E为。。延长线上的一点.若N3CE=62.则NBA。的度数是

15.马面裙（图1）叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.如图2,一条马面裙裙面可以近似

地看作扇环ABCD（AD和的圆心为点。），A,D分别为。3,0c的中点，OB=BC=12dm,则

该马面裙裙面的周长为dm.

()

图I图2

16.如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=2,尸是矩形上方一个动点.且满足NAPB=90°,连接

DP,则。P的最大值是.

三、解答题(共68分)

17.解一元二次方程：X2-4X+2=0.

18.已知二次函数y=-2/-4%+6.

(1)将y=-2x2-4x+6化成y=a(x-li)2+k的形式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得

图象与x轴的另一个交点的坐标.

19.如图，在平面直角坐标系中，A(2,5),5(4,5),C(6,3).M经过AS。三点.

A

OX

(1)在网格图中画出圆〃(包括圆心)，并且点M的坐标:

(2)判断M与y轴的位置关系：—.

20.已知抛物线y=—f+〃a+3经过点M(-2,3)

(1)求机的值，并求出此抛物线的顶点坐标；

(2)画出函数丁=一%2+〃a+3的图象

(3)当-3<x<0时，结合函数图象直接写y的取值范围.

21.如图，48是。的直径，BC是。的弦，直径。E过3c的中点厂.求证：AD=-BC.

2

D

B

22.已知关于x的一元二次方程%2-6mx+9m2-1=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根;

（2）设此方程的两个根分别为为，々，且王＜%.若％=2%—3,求加的值.

ABC的三个顶点的坐标分别为A（l,4）C（3,l）.

（1）画出ABC绕点。逆时针旋转90。后的△444；

（2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留n）.

24.如图，四边形ABCD内接于。O,BD是。O的直径，过点A作AELCD,交CD的延长线于点E,DA

平分NBDE.

（1）求证：AE是。O的切线;

(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求。O的半径.

25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3Q%+1与〉轴交于点4.

（1）求抛物线的对称轴;

（2）点5是点4关于对称轴的对称点，求点5的坐标;

（3）己知点尸（0,2）,Q（a+l,l）,若线段P0与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值

范围.

26.利用以下素材解决问题.

十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家一一探秘桥洞形状”的数学活

动，某小组探究的一座拱桥如图1,图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽

问AB端点到拱顶点C距离AC=BC=10m,拱顶离水面的距离CD=5m

题

驱

动

■»B

图1图2

设

方案一：圆弧型方案二：抛物线型

方

案

任

务

设计成抛物线型，以4B所在直线为x轴，4B的

设计成圆弧型，求该圆弧所在圆

垂直平分线为》轴建立坐标系，求桥拱的函数

的半径.

表达式.

如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形MG”,测得E/=3.5m,

任EH=10m.请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁.

务EH

水面

FG/

27.在放A5C中,ZBCA=90°,CA^CB,点。是.ABC外一动点（点8,点。位于AC两侧）,

连接CO,AD.

D

图1图2图3

(1)如图1,点。是A3的中点，连接。C,0D,当△4。。为等边三角形时，,AOC的度数是

(2)如图2,连接5。，当NADC=135。时，探究线段5。，CD,D4之间的数量关系，并说明理

由；

(3)如图3,。是ABC的外接圆，点。在AC上，点E为A3上一点，连接CE,DE,当

AE=1,BE=7时，直接写出COE面积的最大值及此时线段8。的长.

28.在平面直角坐标系xOy中，。的半径为2.对于直线/和线段3C,给出如下定义：若将线段3C关

于直线/对称，可以得到。的弦C'分别是'C的对应点)，则称线段是以直线/为轴的

。的“关联线段例如，图1中线段是以直线/为轴的。的“关联线段

(1)如图2,点耳，G，B”C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.

①在线段BG，32c2，B3c3中,以直线小y=x+4为轴的。的“关联线段”是；

②在线段及G，52c2，53c3中，存在以直线4：y=T+b为轴的。的“关联线段”，求6的值；

(2)已知直线4：y=—氐+m(加＞0)交x轴于点/.在，ABC中，AB=6,BC=2,若线段是

以直线4为轴的。的“关联线段”，直接写出〃?的最大值与最小值，以及相应的AC的长.

参考答案

一、选择题（每小题2分，共16分）

1.【答案】B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.【答案】C

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把（-2,3）代入y=-必+bx+l后解方程求出6的值.

【详解】解：把（一2,3）代入y=-—+6X+1得，

3=-（-2）2-2Z?+l

解得8=-3

故选：C

3.【答案】D

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：1<0,

.,•抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意；

抛物线y=-必+2的对称轴为>轴，且抛物线的开口向下，

在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合

题意；

抛物线y=—f+2的顶点坐标为（0,2）,故C选项错误，不符合题意；

抛物线y=-必+2的顶点坐标为（0,2）,抛物线的开口向下，

.•.当x=0,,有最大值是2,故D选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

4.【答案】A

【分析】根据车轮的特点和功能进行解答.

【详解】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，

是利用了圆上各点到圆心的距离相等.

故选：A.

【点睛】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小.

5.【答案】D

【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方

程，此题得解.

【详解】解:依题意，得：10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

6.【答案】C

【分析】连接04,如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到N。。厂,再由同弧所对的圆心角相等及

等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案.

【详解】解：连接OA,如图所示：

A

ZEOD=ZCOF=32°,

■.ZDOF=180°-32°=148°,

点A是劣弧DF的中点，

二AD=AF>则NA。。=ZAOF=|NDOF=74°,

OD=OA,

故选：C.

【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三

角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决

问题的关键.

7.【答案】B

【分析】由题意依据每次旋转相同角度旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360。进行分析

即可得出答案.

【详解】解：因为每次旋转相同角度々，旋转了六次，

且旋转了六次刚好旋转了一周为360。，

所以每次旋转相同角度1=360+6=60°.

故选：B.

【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数.

8.【答案】C

【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线x=l,则8=-2a；由函数

的图象可知，a<Q,c>0,再由Z?=-2a可知。>0；当x=l时，函数有最大值a+b+c得

a+b>am2+bm；由图象得一元二次方程tzx?+历；+。+2=0有两个不相等的实数根；根据三角形三连

关系可得IPA—PC区AC.

【详解】解：•••抛物线丁=以2+法+°与》轴交于点4（-1,0）,3（3,0）,

对称轴为直线工=二9=1,

2

b

：.-----=1,即b=-2a,

2a

2a+/?=0,故①正确；

・・,抛物线开口向下，

・・av0,

•9b=—2a>0,

・・,抛物线交》轴的正半轴，

c>0,

AZ?+2c>0,故②正确；

・・,对称轴为直线x=1,开口向下，

・・.x=l时，歹有最大值，最大值为a+b+c,

**•a+b+c>am+bm+c（加为任意实数），

即a+b2am2+bm,故③正确；

V抛物线开口向下，抛物线y=奴2+法+c与x轴交于点A（—1,0）,8（3,0）,

所以抛物线y=ax2+6x+c与直线y=-2有两个交点，如图,

所以，一元二次方程°/+/^+°+2=0有两个不相等的实数根，故④正确；

,­1对称轴交y轴的正半轴于点C,

AC(O,c),

由对称性可知PA=PB,

•­\PB-PC|=|PA-PC\<AC=7<9A2+(9C2=yjl+c2，故⑤不正确；

综上，正确的结论是①②③④，共4个，

故选：C.

二、填空题(每小题2分，共16分)

9【答案】(4,-3).

【分析】根据关于原点的对称点横坐标和纵坐标都变为原来的相反数，即可求解.

【详解】点/(-4,3)关于原点对称的点H的坐标是：(4,-3).

故答案为(4,-3).

【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

10.【答案】王=2,X2=-2

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成为解题的关键.

直接运用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-4=0,

(x-2)(x+2)=0,

x-2-0,x+2-0,

所以该方程的解为：玉=2,x2=-2.

故答案为：玉=2,x2=-2.

11.【答案】点P在。外

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d,圆的半径为％则当dr时，点在圆

外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此求解即可.

【详解】解：：。的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm,45,

点尸与。的位置关系是点尸在。外.

故答案为：点尸在。外.

9

12.【答案】c〉一

8

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到A=（-3『-4x2c<0,然后求出c的取值范围.

【详解】解：关于x的一元二次方程2x2—3x+c=0无解，

*.*a=2,b=—3,c—c,

—=/一4ac=（-3『-4x2c<0,

9

解得c〉—，

8

•9

c的取值范围是c〉一.

8

9

故答案为：c〉一.

8

【点睛】本题考查了一元二次方程*2+bx+c=0（存0）的根的判别式△=〃-4ac：当△>（）,方程有两个不相

等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.

13.【答案】2

【分析】由抛物线的对称轴列出方程-r=1,求出。的值即可.

2a

【详解】解：y=加-4x-7（a片0）的对称轴为x=,

2a

对称轴为1=1,

•-•---一i工，

2a

..a=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键.

14.【答案】62°

【分析】本题考查圆的内接四边形对角互补，掌握性质即可解题.

【详解】解：四边形A8CD内接于。，

ZBAD+ZBCD^180°,

NBCE=62，

:.ZBCD=US0,

ZBAD=62°,

故答案为：62°.

15.【答案】（6万+12）

【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解

题的关键.根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可.

【详解】解：OB=BC=12dm,OB=OC,

：.5OC为等边三角形，

ZBOC=60°,

•••点/为的中点，点。为。。的中点，

/.OA=AB=6dm,OD=CD=6dm,

,c60乃x6_,

AD=----------=27r(zdm),

180

60^x12

BC==4乃(dm),

180

该马面裙裙面的周长为A3+3C+DC+AD=6+4乃+6+2乃=（6万+12）dm,

故答案为：（6万+12）.

16.【答案】20+2

【分析】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定DP的最大值时点P

的位置是本题的关键.由NAPB=90°可知点P在以A8为直径的圆上，作辅助圆。，确定当P、0、D

共线时，PD最大,最大值即为。P'的长，先根据勾股定理计算。。的长，OP就是半径。8的长，可得

DP的长.

【详解】解：：NAPB=90°,

.•.点尸在以AB为直径的圆上,

取的中点为。，画半圆，如图，连接。尸，连接。。并延长交圆于P,

•.•在△。尸。中，OP+OD>PD,

.•.当尸、O、。共线时，DP的长最大，最大值即为。P'的长,

.四边形A3CD是矩形，AB=4,BC=2,

：.ZDAO=90°,AD=BC=2,AO=OB=-AB=2

2

•>-OD=yJoA2+AD2=2V2，

•*-DP=OD+OP=OD+OB=26+2,

故答案为：20+2.

三、解答题（共68分）

17.【答案】七=2+血，Z=2—0

【分析】先找出a,b及c的值，再代入求根公式/=一0土进行计算即可.

2a

【详解】解：a=l,b=-4,c=2

△=/-4ac=（-4）2-4xlx2=8〉0

所以，方程有两个不相等的实数根

—b+\!b2—4ac4+2>/22+

"―2a—2—―—

/=2+-^2,%=2--\[^2

【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出

a,b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解.

18.【答案】（1）y=—2（x+l）+8

（2）将抛物线丁=-2必-4%+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图

象与x轴的另一个交点的坐标为（4,0）

【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数图象的平移，掌握配方法的方法是解答的关键.

（1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可；

（2）根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点，进而可得另一个交点坐标.

【小问1详解】

解：由y=-2x2-4x+6得y=-2（^x2+2x+l-l）+6=-2（x+l）~+8；

【小问2详解】

解：当y=0时，由—2（x+l）2+8=0解得石=1,x2=-3,

则抛物线y=-2x2—4x+6与x轴的交点坐标为（1,0）,（-3,0）,

.,・将抛物线y=-2/一4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与

x轴的另一个交点的坐标为（4,0）.

19.【答案】（1）见解析，（3,2）

（2）相交

【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；

(1)作A3、的垂直平分线交于点M,则M为圆心，的长为半径的圆即为所求；

(2)确定圆的半径及圆心M到y轴的距离即可判断；

【小问1详解】

解:连接A3、BC,分别作A3、的垂直平分线交于点M,以M为圆心，肱1的长为半径的圆即

为所求，如图所示：

【小问2详解】

MA=7(3-2)2+(2-5)2=V10,

即：M的半径r=J市，

点”到丁轴的距离d=3,

•：3〈回,

M与>轴相交，

故答案为：相交.

20.【答案】(1)m=-2,顶点坐标为(—1,4)

(2)图见解析(3)0<y<4

【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特征,

根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键.

(1)将已知点代入函数解析式中求得加值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解；

(2)利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可；

(3)根据所画的图象即可解答.

【小问1详解】

解：把Af(-2,3)代入丁=-%2+/总+3得，-4-2m+3=3,

解得m=-2,

y——x~—2x+3=—(x+l)~+4,

二抛物线的顶点坐标为(-1，4)；

【小问2详解】

解：列表：

X・・・-3-2-101・・・

・・・・・・

y03430

描点、连线，如图:

【小问3详解】

解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4,

,当x=0时，y=3,当x=-3时，y=。，

...当—3<x<0时，>的取值范围是0<y<4.

21.【答案】见解析

【分析】连接OC,根据等腰三角形性质得出OE_LBC,根据垂径定理求出3石=。石=L3。，求出

2

ADBE，即可得出答案.

【详解】证明：连接。C,

OELBC,

过。，

Z.BE=CE=-BC,

2

•：ZDOA=ZBOE,

**•ADBE，

/.AD=-BC.

2

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，熟练掌握相关定理

是解题关键.

22.【答案】（1）见解析（2）2

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出A=4〉0,即可证明结论成立;

（2）首先求出国=3m—1,x2=3m+l,然后根据9=2七一3得到3相+1=2（3相—1）—3,然后求解即

可.

本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当A〉0时，方程

有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根.

【小问1详解】

证明：依题意，得△=(-6〃z)2-4(9〃[2-1)=36"?2-36〃/+4=4〉0,

•••此方程有两个不相等的实数根;

【小问2详解】

解：x2-6iwc+9m2-1=0>

(x-3/n)2=1,

解得x=3m+l,

'：xl<x2,

x[=3m-1,x2=3m+1,

3m+1=2(3m-1)-3,

m=2.

23.【答案】（1）图见解析

(2)2兀

【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积:

（1）依据旋转变换的性质画出图形即可;

（2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积=扇形OCG的面积一扇形。3片的面积，由此计算

即可.

【小问1详解】

【小问2详解】

由勾股定理，得:。3="了=J5,0C=J3r寻=而，

线段扫过的面积为：—x(VTo)2--X(V2)2=2K.

3601/360'/

24.【答案】(1)证明见解析；(2)5.

【分析】(1)连接0A,根据等边对等角得出=进而得出/O4D=NEZX4,证得EC,

从而证得即可证得/E是。。的切线；

(2)过点。作。尸，CD,垂足为点尸.从而证得四边形/。信是矩形，得出。尸=/E=4c加，根据垂径定

理得出。尸=LCD=3C%,在Rt^OD尸中，根据勾股定理即可求得。。的半径.

2

(1)证明：连结O/.

'：OA=OD,

：.NODA=/OAD.

•:DA平分NBDE,

：.ZODA=ZEDA.

；./OAD=/EDA,

J.EC//OA.

\'AE±CD,

：.OA±AE.

丁点/在。。上，

.••/E是。。的切线.

(2)解：过点。作CD,垂足为点尸.

,/ZOAE=ZAED=/OFD=90°,

四边形/O也是矩形.

OF—AE—4cm.

又：。尸_LCD,

1

.,.DF——CD=3cm.

2

在RtZ\OZ)尸中，。。=府5+DF2=5cm,

即。。的半径为5cm.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理

的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

3

25.【答案】（1）x=5；（2）点2的坐标为（3,1）；（3）—14。＜0或。22

【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；

（2）先求出点/的坐标，再求出其对称性即可求解；

（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解.

一3〃3

【详解】解：（1）由抛物线y=3改+1,可知％=------=—.

2a2

3

・••抛物线的对称轴为直线％二—.

2

（2）:抛物线丁=以2—3奴+1与〉轴交于点

令x=0,y=l

.♦.点/的坐标为（0,1）.

3

•点B是点A关于直线x=—的对称点，

2

点3的坐标为（3,1）.

（3）•.•点Z（0」），点8（3,1）,点尸（0,2）,点0（a+l,l）,

.••点尸在点/的上方，点。在直线y=l上.

①当。＞0时，a+l＞l,点。在点N的右侧.

（i）如图1,当。+1＜3,即。＜2时，点。在点8的左侧，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线没有公共点；

（ii）如图2,当。+123,即。22时，点0在点8的右侧，或与点8重合,

结合函数图象，可知线段尸0与抛物线恰有一个公共点

②当。<0时，点。在点8的左侧.

(i)如图3,当0Wa+l<l,即一l<aV0时，点。在点/的右侧，或与点/重合,

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线恰有一个公共点；

(ii)如图4,当a+lVO,即a<T时，点0在点力的左侧，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线没有公共点.

综上所述，。的取值范围是一1<a<0或。22.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求

解.

一、1,

26.【答案】任务一：方案一■、10m；方案二、y=—记汇+5

任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船能顺利通过

【分析】任务一：方案一，设圆心为。，连接。4、OB、OC,根据AC=3C=10,得AC=5C，结合

CDLAB,知直线CD过点。，根据CD=工AC,得/CAD=30°,得ZACD=60°,得OAC是等边三

2

角形，得。4=10；方案二，根据顶点C坐标为(0,5),设桥拱的函数解析式为y=ad+5,将

川5石,0)代入即可求解；

任务二：方案一，连接。E,设交。C于/，根据矩形性质得E"〃尸G,得OCLEH,得E/=5,

结合半径为10得至4。/=5g，得"=3.66>3.5,即可判断；方案二，当〃点的横坐标为5时，

y®4.67>3.5,即可判断.

【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O,连接。4OB、OC.

•：AC=BC=10,

•*-AC=BC•

•：CDVAB,

：.ZADC=9Q°,AB=BD=-AB,直线CD过点。.

2

,/CD=5,

：.CD=-AC.

2

ZC4D=30°.

/.ZACD=90°-ACAD=60°.

'：OA=OC,

：.OAC是等边三角形.

/.04=AC=10.

故半径为10m.

方案二，

•••顶点C坐标为（0,5）,

.•.设桥拱的函数解析式为y=ax2+5.

;AD=BD=AC2-CD2=5百，

5（573,0）.

代入得0=75。+5.

解得a=-----.

15

1

故函数解析式为丁=--一9+5.

任务二：

方案一，

如图，连接。E,设EH交0C于I.

由上知OE=10,

矩形EFGH中，EH//FG,

OCLEH.

EI=-EH=5.

2

•••01=^OE3-EI2=5百•

•/0D=-0C=5,

2

：.DI=01—OD=5V3-5-3.66>3.5.

故货船能顺利通过.

EH

/>|<J'''IXE，

4右----------LR1/

Y\Dg*/A

7；//AFD\GBX

O

方案二，

如图，'：EI=HI=-EH=5,

2

横坐标为5.

.*.y=x5+5~4.67>3.5.

15

故货船能顺利通过.

【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用.熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，

弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解

直角三角形，矩形性质，是解题关键.

27.【答案】(1)135°

(2)BD=42CD+DA>理由见解析

(3)CDE面积的面积最大值为4,此时，如何

5

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得NCOA=90°,CO=OA,再由等边三角形的性质得OD=Q4,

ZODA=ZDOA=60°,然后求出NODC=75。，即可求解；

(2)过点C作CHLCD交A。的延长线于点H,ACH^BCD(SAS)M.CHsABCD(SAS),

得BD=AH=HD+DA=血CD+AD；

(3)连接。C,由勾股定理得CE=5,过点。作ONLCE于N,延长CW交圆。于点D,此时点。

到CE的距离最大，ACDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出。可二三，则DN=OD—ON=—,

55

即可求解三角形CDS的面积最大值，最后用勾股定理借助(2)的结论求出A。，即可求出50.

【小问1详解】

解：ZBC4=90。，BC=AC,点。是A3的中点，

ZCOA=90°,CO=-AB=OA,

2

AOD是等边三角形，

OD=OA,ZODA=NDOA=60°,

OC=OD,ZCOD=ZCOA-ZDOA=90°-60°=30°,

ZODC=1(1800-ZCOD)=gx(180。—30。)=75。，

ZADC=ZODC+ZODA=750+60°=135。，

故答案为：135°；

【小问2详解】

解：线段8。，CD,D4之间的数量关系为：BD=柩CD+DA，理由如下:

过点C作，8交AD的延长线于点H,如图2所示：

贝IZCDH=1800-ZADC=180°-135°=45°,

:./\DCH是等腰直角三角形，

CH=CD,HD=6CD，

ZBCA=90°,

ZACH=ZBCD,

:.AACH^BCD(SAS),

BD=AH=HD+DA=42CD+AD；

【小问3详解】

解：连接。C,如图3所示：

图3

ZBCA=90°,BC=AC,

.'AC3是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

。是.ABC的外接圆，

二。是A3的中点，

OC1AB,OC=OA=1AB=^（AE+BE）=|-x（l+7）=4,

■.OE=OA-AE=4-1=3,

在RfZXCOE中，由勾股定理得：CE=d0C2+OE?="+32=5,

CE是定值，

.・•点。到CE的距离最大时，COE面积的面积最大，

AB是。的直径，

过点。作ONLCE于N,延长。N与。的交点恰好是点。时，点。到CE的距离最大，CDE面积

的面积最大，

S^-OCOE=-CEON,

nOCEF22

「、，OCOE4x312

ON=----------=------=—,

CE55

OD=OC=4,

122

:.DN=OD-ON=4——=—,

55

此时，在直角CN。中，CN70c2—ON。=.2—《）2=?,

在直角△CND中，CD=JcM+DN。=+（|）2=苧,

在直角△A3。