2024-2025学年重庆市高二年级上册10月月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求.）

1.已知直线4过点"OH）且与直线/2：2x+N-4=0平行，则直线4的一般式方程为（

）

A2x+y+9=0B2x+y-9=0

「x+2y+9=0nx+2y-9=0

2.已知空间向量”（2,2,T）,%=（4,0,3）,则向量B在向量Z上的投影向量是（）

5]_5

A.9（4,0,3）B.5（4,0,3}C,9⑵2,-1）D.

]_

3（2,2,-1）

3.如图所示，在平行六面体"Be。-4402中，M为4G与5a的交点，若

48=原/。=3,/4=弓则丽等于（）

-a+-b+c

B.22

——a——b+c--a+~b+c

C.22

4.已知空间三点0（0,0,0）,A（\,右，2）,8（百，-1,2）,则以。/,为邻边的平行四

边形的面积为（）

A.8B,4C,D.4乖1

5.已知8（-3,—2）,尸（1,1）,直线/过点瓦且与线段4P相交,则直线/的斜

率先的取值范围是（）

A.弥-4或%4

--<k<-

B.54

313

k<--k<——k>-

C4或k24D.5或4

6.在棱长为3的正四面体N8C。中，AM=2MB,CN=2ND,则（）

A2B.加D,2^2

7.如图所示，在正方体力BCD—，9C。中，棱长为1,E,尸分别是8C,CD上的点，且

2E=CF=a（0<a<l）,则。E与2户的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.与。值有

关

8.已知二面角C-48-D的大小为120。，CAVAB,DB1AB,AB=BD=4,AC=2,M,N分别为

直线BC,ND上两个动点，则最小值为（）

3733754V|475

A.5B.5c.5D.5

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9,直线/：x+6y+i=°,则（）

5兀

A.点仁"）在/上

B./的倾斜角为6

D./的方向向量为S,）

C./的图象不过第一象限

10.下列结论正确的是（）

A,两个不同的平面以尸的法向量分别是"=（2,2,T）,v=（—3,4,2）,则a"

B,直线/的方向向量"=（0'3，0）,平面a的法向量"=0,0,2）,则///I

C若在=（2,T-4）,就=（4,2,0）,万=（0,一4,一8）,则点尸在平面电。内

D,若a+3）+c，c+a是空间的一组基底，则向量见瓦。也是空间一组基底

11.如图，在多面体48coES中，S4,平面/BCD,四边形NBC。是正方形，且0E〃

SA,£4=48=2£>£=2,〃，双分别是线段8°,58的中点，。是线段℃上的一个动点

（含端点0，。），则下列说法正确的是（）

A.存在点0,使得NQLS8

B,存在点°,使得异面直线N。与"所成的角为60°

2

C.三棱锥°—体积的最大值是§

D.当点。自。向0处运动时，二面角N-MQ-"的平面角先变小后变大

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知点'Si）'©"'。则直线Z5的倾斜角是.

13.如图，在四棱锥尸一/3。£>中，平面尸CQ,平面N8CQ,底面48CQ是矩形，

AB=2BC=6,尸C,PD,PC=P。，点0是CD的中点，点£为线段形上靠近§的三

等分点，则点E到直线4°的距离为

p

A

AC=141,BC=6,C=-

14.如图，在V4BC中，4,过NC的中点M的动直线/与线段

4B交于点N,将&AMN沿直线I向上翻折至"'MN,使得点其在平面BCMN内的射影

H落在线段8C上，则斜线4M与平面BCMN所成角的正弦值的最大值为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.己知直线/过点口2,2）.

（1）若直线/与3》一＞+6=°垂直，求直线’的方程；

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线’的方程.

16.已知空间中三点（，，）,（，'）,（，，）.

⑴若A,B,C三点共线，求机+〃的值；

（2）若布，8c的夹角是钝角，求加+”的取值范围.

UUUUUU

17.如图，在四棱锥P-中，底面/Be。为直角梯形，且AD=2BC,

已知侧棱4?1平面4BCD,设点E为棱尸D的中点.

(1)证明：CE//平面/BP；

⑵若AB=AP=AD=2,求点尸到平面BCE的距离.

18.如图1,在中，BM1BC,A,D分别为边MB,MC的中点，且

BC=AM=2,将△M4O沿ZQ折起到△尸4。的位置，使尸N_L4B,如图2,连接心,

PC

(1)求证：平面4SCO；

(2)若£为尸C的中点，求直线QE与平面所成角的正弦值；

PG

—=2(0<2<1)

(3)线段产°上一动点G满足尸C，判断是否存在彳，使二面角

回

G-/D一尸的正弦值为10,若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样

本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种.设/(石/J,8(%,必)，则欧几里得距离

。(08)=比—/+(—2)2；曼哈顿距离或48)=阮一引+|必一刃，余弦距离

e(48)=l—cos(48),其中cos(48)=cos〈O4O8〉(。为坐标原点).

(1)若4T2),155人求A,8之间的曼哈顿距离d(42)和余弦距离e(4§)；

⑵若点N(2,1),d"N)=l,求e(MN)的最大值；

(3)已知点P,。是直线/：/-1=仪％-1)上的两动点，问是否存在直线/使得

d(0，0)若存在，求出所有满足条件的直线/的方程，若不存在，请说明

理由.

2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求.）

1.已知直线4过点'（26）且与直线/2：2x+y-4=0平行，则直线4的一般式方程为（

）

人2%+»+9=0B2x+y-9=0

Cx+2y+9=0Dx+2y—9=0

【正确答案】B

【分析】根据题意，得到勺=—2,结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】直线,2的斜截式方程为＞=—2X+4,则其斜率为—2,

因为直线4过点"G’5）,且与直线,2平行，所以q=—2,

则直线k的点斜式方程为广5=-2（“-2）,即为2x+y-9=0.

故选：B.

2.已知空间向量”（2,2,T）,'=（4,0,3）,则向量B在向量々上的投影向量是（）

5]_5

A.9（4,0,3）B.5（4,0,3}C.9（2,2,-1）D.

1

3（2,2,-1）

【正确答案】C

【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.

b'aa2x4+0-3-5

.«=-(2,2,-l)

—>—>212+22+(-1)2

【详解】向量区在向量z上的投影向量为Ml

故选：C

3.如图所示，在平行六面体4ss—//iGA中，/为4G与3也的交点，若

AB=5,AD=b,AAX=c

—a+一力+?

B.22

--a--b+c--a+-b+c

22D.22

【正确答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.

【详解】因为〃为4a与8a的交点，

]

BM=BB1+B^M=AAi+-BD=AAi+-（AD-AB）

所以22

1—.1—-—■11-

=——AB+-AD+AA,=——a+-b+c

22122

故选：D.

4.已知空间三点。（0,0,0）,/（I,6,2）,2（右，-1,2）,则以。/,02为邻边的平行四

边形的面积为（）

A.8B,4C,8也D.，出

【正确答案】D

【分析】先求出OH的长度和夹角，再用面积公式求出△048的面积进而求得四边形

的面积.

【详解】因为。(0,0,0),A(l,百，2),3(5-1,2),

所以CM=J(1一0)2+即一01+(2-0)2=2亚OB=^(y3-0J+(-1-0)2+(2-0)2=2①

OA=(1，V32),OB=(^3-1,2),

——1XV3+V3X(-1)+2X2

cosOA,OB=--------L'/-----

2V2X2V22

sinOA,OB=——

所以2

2S=2X-X2V2X2V2X—=4A/3

以。4。8为邻边的平行四边形的面积为22

故选：D.

5.已知，(2厂3),，(-3,—2),尸(1,1),直线/过点-且与线段/尸相交,则直线/的斜

率人的取值范围是()

173

k>-——<k<—

A.无W-4或4B.54

3,1,3

k<--k<——k>—

C.4或左24D.5或4

【正确答案】B

【分析】画出图形，数形结合得到演户2须“，求出心。左切，得到答案.

【详解】如图所示：由题意得，所求直线I的斜率k满足-《BA,

即一3—25且1+34,所以54.

故选：B.

6.在棱长为3的正四面体N8C。中，AM=2MB,CN=2ND,则（）

A.2B.&C.aD,2后

【正确答案】B

----—►-77；—►\MN\

【分析】将"N用/8、4C、4。表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得II.

—►2—►

___.__.AM=—AB

【详解】因为=所以，3,

__.1—►2__►

——,——.AM_Ar—y(Af)—AN=—AC+—AD

又因为CN=2ND,则"AC-2(AD所以，33

-----——■-1——.2——•2—•

MN=AN-AM=-AC+-AD——AB

所以，333

AB-AC=AB-AD=AC-AD=32cos600=-

由空间向量的数量积可得2

—►—►w

\MN\=-\AC+2AD-2AB\+2AD-2AB}

因此,3邳M

■2►2►2*■►►►►►/

1+4AD+4AB'-4ABAC-8AB-AD+4AC-AD

故选：B.

7.如图所示，在正方体/BCD-中，棱长为1,E,尸分别是2C,CD上的点，且

BE=CF=a（O<a<l）,则。石与夕尸的位置关系是（）

B.垂直C.相交D.与。值有

关

【正确答案】B

【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出0'£1*=0,即可求解

【详解】建立如图所示空间直角坐标系.

则。〈0,0,1),E(l-a,l,0\"(1,1,1),F(0,l-«,0)；

:.D'E-B'F=(1-a)x(-1)+1x(-a)+(-1)x(-1)=a-l-a+l=0

:.D'E±B'F

故选：B

本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题

8.已知二面角C-AB-D的大小为120°,CA1AB,DBVAB,AB=BD=4,AC=2,M,N分别为

直线3C,上两个动点，则性加1最小值为（）

3V33754M4出

A.5B.5C.5D.5

【正确答案】D

【分析】将二面角C—4s-£＞放到长方体中，根据二面角的定义得到NC4F=120。，根据

几何知识得到最小值为异面直线8C,NO的距离，然后将异面直线8C,NQ的距离

转化为直线BC到平面ADE的距离，即点C到平面ADE的距离，最后利用等体积求点

C到平面4DE的距离即可.

如图，将二面角。―48—£＞放到长方体中，取CE=AD=4,过点£作斯上面480交

面N皿于点尸，

由题意可知尸，CAVABt所以NC4尸为二面角C—N8一0的平面角，即

ZCAF=120°

因为M,N分别为直线BC,ND上的两个动点，所以最小值为异面直线5C,

幺。的距离，

由题意知CE//8D,CE=BD,所以四边形为平行四边形，CB//DE；

因为。Eu平面4DE,平面4DE,所以C5北平面4DE,则异面直线BC,40的

距离可转化为直线8c到平面NOE的距离，即点C到平面NOE的距离，

设点C到平面4DE的距离为d,则VC-ADE=VD-CAE,3"一§,"CAEAB,

在直角三角形CN〃中，^CAH=180°-120°=60°,CA=2,所以？£4=1,

CH=EF=也AF=3AE=小?+(G)=2G

，，，

直角梯形4sQp中，J42+1=JF7,AD=\IA2+42=46,

£>£=,/1+17=2A/5

因为幺。2+2后2=。后2,AE2+DE2=AD2,所以G4L4E,AEIDE,

5△ALCa,c£=-X2X2A/3=2V3S.DE=-x2A/3x2A/5=2^/15

，，

.一S.dB2也x4_4亚

S-ADE27155

故选：D.

方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化

为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9,直线/：x+Gy+i=°,则（）

5兀

B.I的倾斜角为6

C.1的图象不过第一象限

【正确答案】BC

【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线/的斜率，可得出直线’的倾斜

角，可判断B选项；作出直线/的图象可判断C选项；求出直线/的方向向量，可判断D选

项.

【详解】对于A选项，,,.一2+⑹+1”,所以,点（一2,百）不在/上

,A错；

7V35兀

k--------

对于B选项，直线/的斜率为3,故/的倾斜角为6,B对；

C⑻

u,---

对于C选项，直线/交X轴于点（—1'°）,交歹轴于点13A如下图所示：

y

岛+1=0

由图可知，直线/不过第一象限，c对；

对于D选项，直线’的一个方向向量为伊厂1),而向量/厂1)与这里G6)不共线，D

错.

故选：BC.

10.下列结论正确的是()

A.两个不同的平面火尸的法向量分别是M=(2?，T)#=(-3,42),则a,,

B,直线/的方向向量"=(°'3，°),平面a的法向量M=0，°，2),则///&

C若益=(2T-4)，k=(4,2,0),Q=(0,-4,-8),则点尸在平面招。内

D.若a+H+gc+a是空间的一组基底，则向量内瓦C也是空间一组基底

【正确答案】ACD

【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A,根据直线与平面的关系判断B,根据空间中共

面基本定理判断C,由空间向量基本定理判断D.

［详解］因为3,4,2)=-6+8-2=0,所以a”,故A正确；

因为直线’的方向向量平面a的法向量"=(L°，2),

不能确定直线是否在平面内，故B不正确；

因为方=(0,—4,—8)=2(2,-1,-4)-(4,2,0)=2几—A,

所以万，AB,/C共面，即点尸在平面4BC内，故c正确；

若°+反刃+gC+a是空间的一组基底，

―)

则对空间任意一个向量d,存在唯一的实数组(X//),

使得才=x(a-^-b)+y(b+c)+z(c+5)

所以°,8c也是空间一组基底，故D正确.

故选：ACD.

11.如图，在多面体/8COES中，S4L平面N8CD,四边形Z5CD是正方形，支DE//

SA,&4="8=20£=2,/川分别是线段8。,53的中点，。是线段。C上的一个动点

（含端点°，c）,则下列说法正确的是（）

A,存在点°,使得N。,S3

B.存在点°,使得异面直线N。与"所成的角为60°

2

C,三棱锥Q一体积的最大值是§

D.当点。自。向0处运动时，二面角N-MQ-N的平面角先变小后变大

【正确答案】ACD

【分析】以N为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A选项；向量法求

异面直线所成的角判断选项B；由%-由二心-"，求体积最大值判断C选项；向量法求

二面角余弦值的变化情况判断选项D.

【详解】S/工平面4BCD,四边形4BC。是正方形，

以/为坐标原点，"民"QMS正方向为x,y,2轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

z」

E

x

由S4=48=2DE=2,

^（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,Z>（0,2,0）,E（0,2,1）,5（0,0,2）,iV（l,0,1）,M（2,1,0）

对于A,假设存在点。（加20）（°"加"2）,使得NQ1S5,

则而=（能—1,2,—1）,又忌=（2,0,—2）,

NQ-SB=2（m-1）+2=0^解得：m=0,

即点。与。重合时，NQ工SB,A选项正确；

对于B,假设存在点°（加,2,0）（0<m<2）^使得异面直线NQ与SA所成的角为60°,

•••NQ=(mSA=(0,0,-2)

f

一「迎•网

II1\_

■.cosNQ,S4卜।।I,=、—

11w-M+52

,方程无解;

二不存在点0,使得异面直线皿与"所成的角为60°,B选项错误;

对于C,连接N0，NM，/N；

滑DQ=m(0<m<2)

・s—c_cc_cm

•Q&AMQ一^uABCD口"BMQ&QCM^AADQ万,

•・・当相=0,即点。与点。重合时，S*取得最大值2；

d=—S/4=1

又点N到平面AMQ的距离2

=[X2><1=2

伍-的）max=（^N-AMQ）max33「啡而下施

DD,C选项正确；

HD,由上分析知：而=（根-LA1）,丽1）,

m.NQ=（m-l^x+2y—z=0

<

若加=（x/,z）是面NW0的法向量，则[应•NM=x+y-2=0

令X=l,则成=（1,2—加,3—掰），

而面/他的法向量为=（0，°，1）,

一一m-n3-m

cos私n=।-rp-j-二-/

所以,1+（2—机y+（3—机）2,令/=3—加e[l,3[

由。从。到C的过程，机由小变大，贝”由大变小，即，由小变大,

所以cos应再先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，

故二面角先变小后变大，D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知点'（"'I）'®®。则直线AB的倾斜角是

兀

【正确答案】6

【分析】根据已知两点的坐标求得直线48的斜率，即可求得答案.

【详解】由于“（肉）5（3斤），

3-1

k=---------二—

故直线4S的斜率为3^3-733

因为直线的倾斜角范围为[0]),

兀

故直线48的倾斜角是％,

兀

故?

13.如图，在四棱锥P—4s皿中，平面尸平面NBC。，底面Z5CQ是矩形，

4B=2BC=6,尸C,尸。，尸C=P。，点0是co的中点，点£为线段心上靠近8的三

等分点，则点E到直线的距离为.

【分析】说明°尸两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空

间距离的向量求法，即可求得答案.

【详解】取N8的中点为。，连接尸°，°°'，幺£,因为尸°=°2°为°。的中点，所以

P01CD9

又平面尸CD_L平面4SCD,平面尸CDPl平面45C。=CD,POu平面尸CD,

所以PO平面A8CO,00七平面28。。，所以尸0,0。，

又底面4sCD是矩形，点。是C。的中点，A8的中点为所以

以点。为原点，尸所在直线分别为x，％z轴建立空间直角坐标系如图所示，

ZA

PC—_LCD=a

由PC,PQ,尸C二尸D,CD=6得2

所以2（3,—3,0）,8（3,3,0）,尸（0,0,3）,

—•2—•2

PE=-PB=-(3,3,-3)

点E为线段网上靠近2的三等分点，则33

则EG?」)，所以m=(—1，5，1),.=(-3,3,0),

AOAE18_^3^

则|函=必"。=后,西§/，

因此点E到直线4°的距离

故3

AC=2y/2,BC=6,C=-

14.如图，在V4BC中，4,过NC的中点M的动直线/与线段

AB交于点N,将AAMN沿直线I向上翻折至"MN,使得点其在平面BCMN内的射影

a落在线段BC上，则斜线4M与平面5cMN所成角的正弦值的最大值为.

2亚

【正确答案】5

【分析】首先求出V48C中边48,3角的正弦与余弦值，以底面点8为空间原点建系（如

图1）,设点“（"Z）,由〃（羽°，°）,得H（x,O,z）,求出4C"坐标，由

/?=幺/=4W得出羽2满足的关系式，从而可得2的范围也即4H的范围，翻折过程

a,—a,。］「°A\

中可得W44',设I2人"JU,4人由向量的数量积为o从而得出X关于

。的表达式，求得》的范围，再由线面角的正弦值得出结论.

C=-,/\ABC

【详解】4中，根据余弦定理，

____________________________AC_AB

AB=VAC2+BC2-ZAC-BC-cosC=2^5,根据正弦定理sirtSsinC,得

sinS=-cosB=

5,由知5<C,则5,

如图1,以底面点5为空间原点建系，根据底面几何关系，得点“（4,2,0）,C（6,0,0）,设点

"（x〃，z）,点©的投影”（羽0,0）在二轴上,即H（X,0,Z）,M（5,1,0）,由

MC=AM=,根据两点间距离公式，

可得J（6-5）2+（0—1）2=^/（x-5）2+（0-1）2+z2,整理为（x-5）2+z2=1_

图1

如图2,在翻折过程中△羽的A'MN,作于点E,则

并且从EAA'E=E,AE,A'Eu平面A'AE,

所以MN_L平面u平面HZE,

所以跖VJ.44',即儿W-44'=0,其中ZZ=(x_4,_2,z)

a,，。,。］MN=\（2-5,—tz-1,0

又动点N在线段45上，设I2人所以I2aG[0,4)

_,__k(x-4)(6z-5)-2|—(2-1|=0,x=5+——e|2,—

由JW,4H=0,得U)a-5I5.

22fo,_AHGIo,_

又因为(x—5)+z=1,对应的z的取值为I5」，即I5」，

由已知斜线4M与平面BCMN所成角是/HMH,

NH

smZArMH=------G

所以A'M°泊

.M-42

故斜线4"与平面8cMN所成角的正弦值的最大值为5

275

故5

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.己知直线/过点口2,2）.

（1）若直线/与3x—>+6=°垂直，求直线’的方程;

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线’的方程.

【正确答案】⑴》+3^-8=0；

(2)…或…=0

【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线/的斜率，再由点斜式写出方程；

（2）分别讨论截距为o、不为o,其中不为o时可设为、+>+机=°,代入点尸，即可求得

参数m

【小问1详解】

直线3x—>+6=°的斜率为3,则直线/的斜率为3,则直线/的方程为

"2=T（x-2）,即X+3,8=0；

【小问2详解】

当截距为0时，直线/的方程为歹="；

当截距不为0时，直线/设为x+V+m=°,代入尸(2,2)解得加=一4,故直线/的方程为

x+j-4=0

综上，直线/的方程为y=x或x+y_4=0

16.已知空间中三点(，，),(，，),(，，).

(1)若A,B,°三点共线，求加+〃的值；

(2)若刀，3C的夹角是钝角，求根+〃的取值范围.

【正确答案】(1)-1；

m--\

<

(2)加+“<13且［〃=0不同时成立.

【分析】(1)由向量的坐标表示确定刀、CB,再由三点共线，存在XeR使方=4而，

进而求出加、”，即可得结果.

(2)由向量夹角的坐标表示求COS</B,8C>,再根据钝角可得

2(m-3)+2(«-l)-18<0；讨论<〉=乃的情况，即可求切+〃范围.

【小问1详解】

由题设-赤=(2,1—3),又A,2,C三点共线，

3—m=244=2

<2=4(1—〃)<m——\

所以存在XeR使方=2而，gpH=-3A,可得|〃=0,

所以加+〃=—1

【小问2详解】

由元=(-2〃-1,3),

由(1)知：当(4B,BC>=%时,有根+〃=_［；

2(ffl-3)+2(/?-l)-18

cos<AB,BC>=­

而“MCI/0+(优—3)2.J13+(〃-1)2,又存，前的夹角是钝

角,

所以2(加—3)+2(〃-1)—18=2(加+“)-26<0,可得加+〃<13.

<

综上，阳+〃<13且［〃=0不同时成立.

ULMUUUU

17.如图，在四棱锥P—4sCD中，底面N2CD为直角梯形，且=2BC,

已知侧棱4?1平面/BCD,设点E为棱的中点.

（1）证明：CE//平面/Bp

（2）若4s=4P==2,求点P到平面BCE的距离.

275

【正确答案】（1）见解析（2）5

【分析】（1）设/为口的中点，连接5F,跖，利用中位线的性质证明四边形E1C是平

行四边形，则可得CE”平面48P.

（2）点A为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面5CE的法向量万=（0/，2）,

利用点到平面的距离公式即可.

【小问1详解】

设尸为口的中点，连接BF,EF,

:.EF//AD,EF=-AD

是。。的中点，2,

——•——■RC=—AD

-：日

AD=2BC,AD/IBC,.FL2，

:.EF//BC,EF=BC

•••四边形"3C是平行四边形，：.CEIIBF,

又：5尸u平面/5尸,CE仁平面4BP

CE//平面48月.

【小问2详解】

由于侧棱平面ZBC。，4B,ADU面4BCD,

AP1AB,APLADvABVAD,则以点A为坐标原点，以,力5,/P所在的直线

为x轴,N轴,z轴建立如图空间直角坐标系，

，P(0,0,2),8(0,2,0),C(l,2,0)；£(1,0,1)；

.-.5C=(1,0,0)；7=(0,—2,1)PS=(0,2,-2)

设平面BCE的法向量"=（M/z）

n-BC=0x=0

<

则有〔".CE=°,即—2y+z=0

令y=1,则万=（0」,2）,

\PB-n\2旧

d-

:•点尸到平面5CE的距离\PB\-\n\"I

18.如图1,在中，BMLBC,A,D分别为边MB,MC的中点，且

BC=4M=2,将△3。沿ZQ折起到△PZO的位置，使尸Z_L48,如图2,连接9,

PC

图1

(1)求证：平面48cD；

(2)若E为尸0的中点，求直线与平面所成角的正弦值;

PG

—=2（0<2<1）

(3)线段0C上一动点G满足PC,判断是否存在几，使二面角

VTo

G-/O一尸的正弦值为10,若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

V3

(2)3

（3）存在,

【分析】（1）由中位线和垂直关系得到P/工40,PAA.AB,从而得到线面垂直;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；

2=-

(3)求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出4,得到答案.

【小问1详解】

因为A,O分别为儿必，的中点，所以8c.

因为8W8C,所以所以尸

又PA上AB,ABcAD=A,力民ZDu平面AgC。，

所以平面48cB

【小问2详解】

因为PALAD,ZDAB=90°,所以/尸，AB,4D两两垂直.

以A为坐标原点，4B,AD,AP所在直线分别为x,力z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系/一盯z,

依题意有4(。，。，0),0(0,1,0),(,，)，

则》=(22-2),瓦=(1,0,1),丽=(-2,1,0),丽=(-2,0,2)

设平面PBD的法向量〃=a，加4),

BD-n=(一2,1,0)(再,必/1)=一2x1+弘=0

<__

则有〔8P拓=(—2,0,2)(再，h,Z])=-2%1+2马=0

令必=2,得玉=1,4=1,所以“=(1,2,1)是平面心。的一个法向量.

/耘DE-n(1,0,1).(1,2,1)2出

cos{DE,n)=7==1——='-----——)，=——产=——

\DE\-\n\Vl+lxVl+4+lV2xV63

因为I门।,

所以直线DE与平面尸AD所成角的正弦值为3.

【小问3详解】

假设存在几，使二面角G-ND一尸的正弦值为10,

3丽

即使二面角G-/D-尸的余弦值为1°.

由(2)得PG=4PC=(22,22,—2X)(0<4<1)

所以G(24,242-2X),石=(0,1,0),AG^(22,22,2-22)

易得平面产的一个法向量为々=00°).

设平面4DG的法向量％=(%小，),

AD-n2=(O,l,O)-(x2,j2,z2)=j2=0

<______

AG-n2=(22,22,2-22)-(x2,y2,z2)=22x2+22%+(2-22)z2=0

解得%=0,令=2,得工2=几一1,

则〃2=(2—1，°，")是平面406的一个法向量.

Vw

由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为10,

35

故二面角G-ND-尸的余弦值为10,

coWU」晨可