2024-2025学年重庆某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆十一中教育集团高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线1过P(b+c,6),Q(a+c,a)(a力6)两点，则直线1的斜率为()

Aa+b

BTC.1D.-1

A。a+D

2.若平面a的法向量为?1=(4,-4,一2),方向向量为(x,2,l)的直线Z与平面a垂直，则实数无=()

A.4B.-4C.2D.-2

3.圆心为且过原点的圆的一般方程是()

A.x2+y2+2x—2y+1=0B,x2+y2—2x+2y+1=0

C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2—2x+2y=0

4.椭圆号+言=1和岑+^=k(k>0)具有(

azb2azb2')

A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴

5.如图，三棱锥。一48C中，OA=a,OB=b,芯=2,点N为BC中点，点M满

足府=2耐，则丽=()

1—1-»

A-2a-3b~3C

B.一字+罗+后

C.-|«+^+?

D.-a--o+-c

6.若圆Cl：%2+y2=4与圆C2：(%-a)2+(%+a)2=1有公切线，则实数a的范围是()

A.[-笔争B.(-8,—争U吟,+8)

C.(-00,-1]U[1,+00)D.[-14]

7.已知椭圆C:言+2=l(a>b>0)的左、右焦点分别为鼻,尸2，点P在椭圆。上，若离心率e=隔，

则椭圆C的离心率的取值范围为()

A.(0,A/2-l)B.(0,争C.争)D.[A/2-1,1)

2

8.已知好+M='+%=16(x1,x2,y1,y26R),且1冷+月丫2=0,则代数式(亚+x2)+O1+y*2卡■

产的最小值为()

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A.4避

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知直线八：ax+y+1=0,直线2%+ay-1=0,则下列说法正确的是()

A.若，i〃，2，则。-1或a=-1

B.若h1b，则。=。

C.直线A过定点(0,-1)

D.若直线L与坐标轴围成的三角形的面积为《贝必=1

io.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一y

种，其方程为(x2+y2)3=/y2,则下列说法正确的是()厂、

A,四叶草曲线有四条对称轴

B.设P为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P作两坐标轴的垂线，则两/

垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为：

C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为白

D.四叶草曲线的面积小于?

11.已知正方体力BCD-AiBiCi历棱长为1,动点M满足俞=尤荏+y前+zA,

AA.(x,y,zeR),则()

A.当％=y=0,z=拊，则三棱锥M-4BD的体积为击

B.当％=y=1,z=5时，直线AMJ,平面/隹。

C.当％=y=-,z=l时，直线AM〃平面MB。

77

D.当;c+y+z=1且AM=5时，点M的轨迹长度为各

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.两平行线=：%+2y-l=。与L：2x+4y+3=0之间的距离为

13.在四棱锥P-4BCD中，底面力BCD是正方形，侧面PAD1底面2BCD,且△PAD

是正三角形，E是PC的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值是.

14.已知P,Q为椭圆f|+哈=1上的动点，直线PQ与圆M：Q—2)2+y2=i相切，

切点4恰为线段PQ的中点，当直线PQ斜率存在时点4的横坐标为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

已知AABC的顶点坐标分别为4(一2,4),B(-1,3),C(2,6).

(1)求边4B的垂直平分线的勺方程；

(2)求三角形力BC的外接圆方程.

16.(本小题15分)

在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AABC为等腰直角三角形，AB1AC,AB=AC,AAr=2AB,点M在侧棱C

Ci上，且满足由=［西.

(1)求证：BM14C；

(2)求直线与平面48M所成的角的正弦值.

17.(本小题15分)

己知椭圆E：g+^=l(a>b>0)的长轴长为2避，且点M(也争在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线y=kx+并与椭圆E相交于不同的两点P和Q,当|PQ|=G时，求实数k的值.

18.(本小题17分)

如图1所示的图形中，四边形4BCD为菱形，/.BAD=60°,△24。和△BCQ均为直角三角形，

/.PDA=^QCB=90°,PD=AD=2CQ=2,现沿4。和BC将△PAD和△BCQ进行翻折，使

PD〃QC(PD,QC在平面力BCD同侧)，如图2(或图3)

(1)证明：BQ〃平面PAD；

(2)如图2,若PD，平面2BCD,求点Q到平面PBD距离；

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(3)如图3,若二面角P-AD-B为120。时，判断平面PBQ与平面PBD是否垂直？并说明理由.

19.(本小题17分)

已知椭圆已:+哙=1(6>0)的焦点在x轴，离心率e=冬点P在直线x=2上.

(1)求实数b的值；

(2)设尸是椭圆E的右焦点，若Q是椭圆E上一点，且满足而•而=0,设直线PQ和直线OQ(O为坐标原点)的

斜率分别为七，k2,证明：k1-k2=-|；

(3)若点P的纵坐标为看过P作直线/交椭圆E于不同的两点M和N,在线段MN上取点H(异于M,N两点)满足

鼠弱=晶胃，证明：点”在定直线上.

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参考答案

l.c

2.D

3.0

4.2

5.B

6.B

7.0

8.D

9.BC

1Q.ABD

11.ACD

12岑

13.]

14里

15.解:(1)因为4(—2,4),5(-1,3),可得力B的中点D(—|,今，

屈=(1,—1),由点法式方程可得A8的中垂线1的方程为：lx(x+§+(—l)(y—今=0,

整理可得：x-y+5=0；

(2)BC的中点E(翡),丽=(3,3),

由点法式方程可得BC的中垂线方程为3(x-》+3(y-|)=0,

整理可得：x+y-5=0,

联立｛：Zo，解得％-0,y=5,

即AABC的外接圆的圆心为(0,5),

半径r=&0—2产+(6—5)2=非,

所以原点方程为：%2+(y-5)2=5.

16.解：(1)证明：由题得，以力为坐标原点，以荏，AC,嬴方向分别为小y、z轴的正方向，建立空间直

角坐标系，

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如图所示,

设4B=2,则B(2,0,0),M(0,2,l),4(0,0,4),C(0,2,0),

丽=(-2,2,1),=(0,2-4),

由前•布=2x2—4=0,

•*.BM_LA^C；

(2)由题得说=(2,0,0),俞=(0,2,1)，两=(一2,0,4),

设平面的一个法向量为日=(x,y,z),

贝船需蓝,即像；屋＞

取7=(0,1,—2),

设直线B4i与平面4BM所成的角为仇

贝同加=需算=房而4

••・直线艮的与平面4BM所成角的正弦值为去

f2a=2^/3

a=4

17.解：⑴由题可得:2,|1，解得:

—+—=1b=1

以2

所以椭圆E的方程为：f+y2=l；

(2)由题，设P(xi,y。,Q(%2，y2)，

'y=kx+

联立正+y2=i,化简得：(1+3/)久2+6/依+3=0,

则4=72左2—12(1+3M)>0,即左2>[,

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则打+比2=一黑色'比1.久2=京欣'

所以IPQI="+的由一%2|

_/1TPI72k2—

7/(1+3k2)2l+3fc2

=y/3,

化简得：9k4+6肥—15=0,

解得：N=1或/=—表舍)，

所以k=±1,满足左2＞今

即k的值为±1.

18.1?：(1)证明：由题意，PD//QC,

QCU平面PAD,PDu平面/MD,

.­.QC〃平面PAD,

四边形4BCD为菱形，,­,BC//AD,

又BCC平面PAD,ADu平面PAD,

.­.8C〃平面P2D,

又QCCiBC=C,QC、BCu平面BCQ,

平面PAD〃平面8CQ,又BQu平面8CQ,

.­.BQ〃平面PAD；

(2)由题意：PD1平面力BCD,四边形力BCD为菱形，^BAD=60°,

取BC中点E,连接DE,可得DE1BC,

以。为坐标原点，以ZM,DE,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),B(1)A/3,0),P(0,0,2),Q(-1,8,1),

DB=(l，73,0),DP=(0,0,2),DQ=(-1,73,1),

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设平面PBD的一个法向量为五=(%,y,z),

则由卜・加=0,可得12z=0，

令y=-1,可得(=(居TO),

.•■点Q到平面PBD的距离d=吗辿=木；

I川

(3)平面PBQ与平面PBD不垂直，理由如下：

由四边形为菱形，4BAD=60。，

△PAD和△BCQ均为直角三角形，

/.PDA=/-QCB=90。，•••AD1PD,

取BC中点E,连接DE,可得DE1AD,

.­.二面角P—AD-B的平面角为NPDE,Z.PDE=120°,

以D为坐标原点，以。40E所在直线分别为无轴，y轴,

过。作垂直于底面ABC。的z轴，建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),5(1,73,0),P(O,-1,避)，Q(T避一：1)，

4Z

DB—(1,^/3,0),DP=(0,—1,^/3),BP=(―1,—1—^/3,^/3),BQ=(—2,一三尊),

设平面PBD的一个法向量为7n=

(拓.丽=0+避力=0

则由|布•加=0,可何1—九+晟1=0，

令Z1=1,可得范=(-3,避,1),

设平面PBQ的一个法向量为Z=(%2〃2/2)，

G•丽=o(-％2-(和+1)〃+=o

则由匕屈意。，可得12冷-6+争2=。'

令及=3,可得2=(4,3,4+避)，

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因为zn•Z=4+避W0,所以访与t不垂直，

所以平面PBQ与平面尸8。不垂直.

19.(1)解：设椭圆E的焦距为2c,长轴长为2a,

fa="

由题意知，£=*，解得6=1.

a2,_____

[b=^a2-c2

(2)证明：由⑴知，椭圆E的方程为苧+*=1,

设QQo,yo)，P(2,t),F(l,0),

则而=(—l,T),QF=(l-%o-yo)-

因为PF,QF=0,所以—(1—x(j)+ty()=0,即ty°=l—劭,

由QQWo)在椭圆E上,知羽=1—率

2

t-yo.yotyo-yp1-X-(1-^)1

所以々1,々2==