数学常考压轴题九年级湘教版专题02反比例函数与几何综合问题的五种考法含答案及解析

专题02反比例函数与几何综合问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、反比例函数与三角形的综合问题 2类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 12类型三、反比例函数与矩形的综合问题 19类型四、反比例函数与菱形的综合问题 28类型五、反比例函数与正方形的综合问题 34压轴能力测评（10题） 43解题知识必备1.反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.2.反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.压轴题型讲练类型一、反比例函数与三角形的综合问题例题：（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．

(1)填空：______；(2)求点A的坐标；(3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上．(1)求，的值；(2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角(1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形；(2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值．3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、．(1)求点坐标；(2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；(3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由．类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48．(1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________；(2)求反比例函数的表达式．【变式训练】1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为．(1)求反比例函数的表达式；(2)写出不等式时，的取值范围；(3)求图中阴影部分的面积之和．2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D．(1)求和的值；(2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点．(1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________；(2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法）(3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求．类型三、反比例函数与矩形的综合问题例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题．(1)点的坐标是，点的坐标是．（用含的代数式表示）(2)若反比例函数经过，两点，求的值．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H．(1)_______（填“”、“”、“”）；(2)若，，，求k的值；(3)当，时，求的值．2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，．(1)若的面积为3，①当，求k的值和的面积；②当直线的解析式为，求的面积．(2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式．3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．

(1)求的值．(2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．(3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四、反比例函数与菱形的综合问题例题：（2024·河北唐山·三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接．(1)分别求B点、C点坐标；(2)求k，b的值；(3)求的面积．【变式训练】1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点．(1)求的值及点的坐标；(2)判断点是否为边的中点，并说明理由．2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D．(1)求的长及k的值；(2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为．(1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集；(2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围．类型五、反比例函数与正方形的综合问题例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．(1)求m的值和一次函数的解析式．(2)求点C的坐标．(3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．【变式训练】1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点．(1)若，则点的坐标为______；(2)连接，若的面积为，求的值．2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求点的坐标；(3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由．3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．(1)如图1，当D点坐标为时．①求的值；②求m，n的值；(2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由；(3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示）压轴能力测评（10题）一、单选题1．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（

）A．3 B．4 C．7 D．102．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（

）

①；②；③直线与轴的交点坐标为；④的值随．的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二、填空题3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为．4．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题5．（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D．(1)求k的值；(2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积．6．（2024·山西太原·三模）如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E．(1)如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标；(2)试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．7．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过点，．(1)______；______；点的坐标______；(2)直接写出不等式的解集；(3)求的面积．8．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E．(1)当时，①若，求点E的坐标；②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(2)若，求的值（用含n的代数式表示）．9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)求与的值；(2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）；②当点落在反比例函数图象上，求的值；(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值．10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点．(1)________，_________；(2)求点的坐标；(3)点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_____________________；(4)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

专题02反比例函数与几何综合问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、反比例函数与三角形的综合问题 2类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 12类型三、反比例函数与矩形的综合问题 19类型四、反比例函数与菱形的综合问题 28类型五、反比例函数与正方形的综合问题 34压轴能力测评（10题） 43解题知识必备1.反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.2.反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.压轴题型讲练类型一、反比例函数与三角形的综合问题例题：（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．

(1)填空：______；(2)求点A的坐标；(3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标．【答案】(1)9(2)点A的坐标是(3)D点坐标为或或或【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值；（2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标；（3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标．【详解】（1）点在双曲线上，，故答案为：9；（2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，

则，三角形是等腰直角三角形，，，，，．，，设，，在上，，即．在和中，，，，，，即，，，，，即点A的坐标是；（3）设，则，由（2）可知，，，为等腰三角形，有、和三种情况，当时，则，解得舍去或，此时D点坐标为；当时，则，解得或，此时D点坐标为或；当时，则，解得，此时D点坐标为；综上可知D点坐标为或或或．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出和的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上．(1)求，的值；(2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得；（2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论．【详解】（1）解：过B作于E，∵A的坐标为，点，∴，，，∴，∴，∴，∴；过C作轴于F，∴，∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵点C恰好在反比例函数的图象上，∴；（2）解：由（1）知，，∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点，∴设，，∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在；当为平行四边形的对角线时，，解得，∴；当AQ为平行四边形的对角线时，，解得（不合题意），综上所述，．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角(1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形；(2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍．（2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可．【详解】（1）证明：如图①，过点作于点，，在中，，，，，，中，，，，即，是智慧三角形．（2）解：过作轴于，过作轴于，如图②，是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，，∵，，，，，，，，，，，，设，则，，，点、在函数上的图象上，，解得：，．【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法．3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、．(1)求点坐标；(2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；(3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由．【答案】(1)(2)反比例函数解析式为，此时的直线的解析式(3)存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可求得答案；（2）根据平移的性质，可设点的坐标为，则点的坐标为，结合点、正好落在反比例函数图像上，可设该反比例函数解析式为，易得，解得，进而可得点，点，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可；（3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示，∵、，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴点的坐标为；（2）根据题意，将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点为、，设点的坐标为，则点的坐标为，∵点、正好落在反比例函数图像上，设该反比例函数解析式为，则有，解得，∴点，点，∴，即反比例函数的解析式为，设直线的解析式为，将点，点代入，可得，解得∴直线的解析式为；（3）对于直线，当时，，∴，当为平行四边形的边时，如下图，此时四边形为平行四边形，∵，，又∵点在轴上，即的纵坐标为0，点在反比例函数的图像上，∴点的纵坐标为，∴，∴点的坐标为，点的坐标为；当为对角线时，如下图，设是的中点，∵，，∴，过点作直线与轴交于点，与的图像交于点，若四边形是平行四边形，则有，易知点的横坐标大于，点的横坐标小于，作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点，则，∴，在和中，，∴，∴，设，∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是，∵在反比例函数的图像上，即，解得，∴，．综上所述：存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48．(1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________；(2)求反比例函数的表达式．【答案】(1)；8(2)【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合：（1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8；（2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为．【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平行四边形的面积是48，∴，∴，∴点A的纵坐标为8，故答案为：；8；（2）解：设，则，∵，D为的中点，∴，∵反比例函数的图象经过点A和的中点D，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为．【变式训练】1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为．(1)求反比例函数的表达式；(2)写出不等式时，的取值范围；(3)求图中阴影部分的面积之和．【答案】(1)；(2)和；(3)．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键．（1）用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解；（3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解．【详解】（1）解：∵轴，点，∴将点代入，得：，解得：，∴反比例函数的表达式为．（2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点，∴点关于原点对称，∵∴将代入直线的解析式中，得：，解得：，∴直线的解析式，联立和得：，解得：，，∴反比例函数与的交点为：如图：∴不等式时，即，的取值范围是和．（3）解：设分别与轴交于点，如图：由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，∵点，∴点到轴的距离为，又∵，∴．2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D．(1)求和的值；(2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由【答案】(1)，；(2)四边形是平行四边形，理由见解析．【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可；（2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形．本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．【详解】（1）把点代入解析式，得，∵，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，∴，代入解析式，得．（2）∵，，设直线的解析式为，根据题意，得，解得，∴，∴；∵，，设直线的解析式为，，根据题意，得，解得，∴，设，∴，解得(舍去)，∴；∴，∵，∴四边形是平行四边形．3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点．(1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________；(2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法）(3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求．【答案】(1)4；(2)见解析(3)3【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式．（1）把点代入求得的值，利用中点坐标公式，求出点的坐标；（2）作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求；（3）先求出的坐标，利用进行求解即可．【详解】（1）解：把点代入得，∵，D是边的中点，∴；（2）解：作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求，如图所示：；（3）解：∵点，D是边的中点，点，∴点的纵坐标为2，把代入，得．∴点．∴．∴．类型三、反比例函数与矩形的综合问题例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题．(1)点的坐标是，点的坐标是．（用含的代数式表示）(2)若反比例函数经过，两点，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质，三角形的中位线定理等；（1）由矩形的性质得，可得，，即可求解；（2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解；掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键．【详解】（1）解：四边形是矩形，，点的纵坐标为，，，，；故答案：，；（2）解：过作轴交于，作轴交于，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，是的中位线，，，，反比例函数经过，两点，，，，解得：，．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H．(1)_______（填“”、“”、“”）；(2)若，，，求k的值；(3)当，时，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是：（1）利用k的几何意义求解即可；（2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可；（3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，∴，，∴，故答案为：；（2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，，∴，设的解析式为，则，解得，∴，当时，，解得，∴，∴，∴，∵，∴，解得；（3）解：设，，则，，∴，∴，∴，，设的解析式为，则，解得，∴，当时，，解得，∴，∴，∴．2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，．(1)若的面积为3，①当，求k的值和的面积；②当直线的解析式为，求的面积．(2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式．【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为(2)或【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．（1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可；②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可；（2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可．【详解】（1）解：①点的坐标为，，，，设反比例函数的解析式为，则，的面积为3，，解得，即反比例函数解析式为，，的面积矩形的面积的面积的面积的面积，的值为6，的面积为8；②设，的面积为3，，，，直线的解析式为，，解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况），的面积矩形的面积的面积的面积的面积，代入的值得，的面积为；（2）解：，，，，①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，，解得（舍去负值），②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点，同理①可证，，，，设直线的解析式为，，解得或，当时，点和点与点重合，此情况舍去，综上所述，符合条件的值为或12，即反比例函数解析式为或．3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．

(1)求的值．(2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．(3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12(2)点坐标为或(3)点的坐标为或或或或或【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．（1）先求出点坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；（3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．【详解】（1）解：，，点，点，点，反比例函数的图象过点，；（2），反比例函数解析式为：，设点，四边形是正方形，，当点在第一象限时，，，（舍去），点；当点在第三象限，，（舍去），，点；综上所述：点坐标为或；（3）设点坐标为，若为边，以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14，，，，点或，以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形，，，点或或或；若为对角线，设点，以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形，与互相平分，，或，，，，或，，点或，综上所述：点的坐标为或或或或或．类型四、反比例函数与菱形的综合问题例题：（2024·河北唐山·三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接．(1)分别求B点、C点坐标；(2)求k，b的值；(3)求的面积．【答案】(1)，；(2)，(3)6【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．（1）先根据勾股定理得到长，然后由菱形的性质可解题；（2）点代入反比例函数，求出k；将点代入，求出b；（3）求出直线与x轴和y轴的交点，即可求的面积；【详解】（1）过点D作轴，垂足为F，点A的坐标为，点，，，，，由勾股定理可得，四边形是菱形，，，；（2）点在反比例函数的图象上，，将点代入，解得：；（3）由（2）得，对于，令，则，，令，则，直线与轴交点为，．【变式训练】1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点．(1)求的值及点的坐标；(2)判断点是否为边的中点，并说明理由．【答案】(1)，(2)点D不是边的中点，理由见解析【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．（1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可；（2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，∴．∵四边形为菱形，∴，根据平移性质可得点B的坐标为．（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，，，线段的中点坐标为，在反比例函数中，当时，，点不是边的中点2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D．(1)求的长及k的值；(2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标．【答案】(1)5，22(2)或【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是：（1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可；（2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可．【详解】（1）解∶∵点A的坐标为∴，∵菱形，∴，轴，∵点D是的中点，∴，∴，代入，得；（2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为，∵的面积为，∴，解得或2，由（1）知：反比例函数解析式为，当时，，解得；当时，，解得；∴E的坐标为或．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为．(1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集；(2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可．【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴，点的坐标为，，，，，点坐标为，，由图象得关于的不等式的解集为：；（2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位，使得点落在函数的图象点处，点的坐标为，点在的图像上，，解得：，经检验符合题意，．．类型五、反比例函数与正方形的综合问题例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．(1)求m的值和一次函数的解析式．(2)求点C的坐标．(3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键.（1）由待定系数法即可求解；（2）证明即可求解；（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解.【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：将点、B的坐标代入函数表达式得：解得：则一次函数的表达式为：；（2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，，，，，∴∴点；（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时,则点在上,由点的坐标得，直线的表达式为：由（1）知，反比例函数表达式为：，联立上述两个函数表达式得：，解得：(舍去)或，即点，由点的坐标得，则重叠正方形的边长为．【变式训练】1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点．(1)若，则点的坐标为______；(2)连接，若的面积为，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标；（）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解；本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）解：在正方形中，，把代入得，，解得，∴，∵在反比例函数的图象上，∴，∴，∴反比例函数解析式为，∵，把代入得，，∴点的坐标为，故答案为：；（2）解：设，则点，根据反比例函数的几何意义得，，∴，∴，∴，∴．2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求点的坐标；(3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．（1）过点A作轴于点F，求出，证明，进一步求出点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）证明，则，得到，则E点的横坐标为，把代入得，即可得到答案；（3）分四种情况分别进行求解即可．【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点F，，，∵四边形为正方形，，，轴，，，，在和中，，，，，点坐标为，设反比例函数解析式为，把代入得，∴反比例函数解析式为;（2）∵四边形为正方形，，，又，，，在和中，，，，，∴E点的横坐标为，把代入得，点坐标为;（3）如图，∴∴当则，故点的坐标是，当则，当设，则，故在中，，即，解得，即点与点G重合，故，当则，综上可知，符合题意的点的坐标为或或或3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上．(1)如图1，当D点坐标为时．①求的值；②求m，n的值；(2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由；(3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示）【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3；(2)当时，；(3)【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论；（2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可；（3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可．【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式，；即的值为4；②如图，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，解得．，的值为1，3；（2）解：当时，，理由如下：如图，过点作轴于点，同理（1）可得，，，，，，，若，则，，，，即当时，；（3）解：由（2）得，，又，∴，，，，即，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，，设，，，，点是的中点，；，，点在上，，整理得，（舍）或；故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键．压轴能力测评（10题）一、单选题1．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（

）A．3 B．4 C．7 D．10【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质等知识点，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即成为解题的关键．先根据平移的性质得到点的纵坐标为1，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度即可．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为．将沿轴正方向平移，∴点的纵坐标为1，，当时，，解得，∴，∴，∴．故选B．2．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（

）

①；②；③直线与轴的交点坐标为；④的值随．的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解．【详解】提示：①点P，Q都在第一象限，，①正确；①，②正确；③设直线的函数表达式为,则，解得∴直线的函数表达式为，当时，直线与轴的交点坐标为，③正确；④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为当时，的值随的增大而减小，当时，的值随的增大而增大，④错误．故选：D．二、填空题3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“逆倒数点”．如图，正方形的顶点C为，顶点E在y轴正半轴上，函数的图象经过顶点D和点A，连结交正方形的一边于点B，若点B是点A的“逆倒数点”，则点A的坐标为．【答案】或【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，新定义阅读理解能力，解题的关键是灵活运用所学的知识．根据正方形的性质和点的坐标，可知正方形顶点的坐标为，从而得到反比例函数解析式为，设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为，点在正方形的一边上，分两种情况：①点在上，得；②点在上，得，即可求出点的坐标．【详解】解：在正方形上，点的坐标∴正方形顶点的坐标为将代入中，解得：，即反比例函数解析式为：，设点的坐标为，则“逆倒数”点的坐标为，点在正方形的一边上，分两种情况：①点在上，，即，，，；②点在上，，即，，，，故答案为：或．4．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④【分析】设，则，，，，待定系数法可得直线的解析式为；直线的解析式为；可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明四边形是平行四边形，则，可判断②的正误；当时，，即，则，，，，，可得，可判断③的正误；当点E为的中点时，证明，则，，，同理③，，则，，可判断④的正误．【详解】解：设，则，，∵点D、E在双曲线上，∴，，待定系数法可得直线的解析式为；同理可得，直线的解析式为；∴，①正确，故符合要求；如图，连接，

∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，②正确，故符合要求；当时，，即，∴，，，∴，，∴，③错误，故不符合要求；当点E为的中点时，∵，，，∴，∴，，∴，同理③，，∴，∴，④正确，故符合要求；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．三、解答题5．（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D．(1)求k的值；(2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积．【答案】(1)13(2)【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键．（1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解；（2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可．【详解】（1）解：∵A点坐标，∴，四边形是菱形，边长为5，，的纵坐标为4，横坐标为，，为的中点，在反比例函数上，的横坐标为，纵坐标为，∴；（2）∵，∴反比例函数解析式是∵E在AB的垂直平分线上，A，，E点横坐标为，把代入得：，，如图，过A作⊥x轴于H，的垂直平分线交x轴于F，则，，，，，．6．（2024·山西太原·三模）如图示，矩形的边分别在坐标轴上，反比例函数的图象经过边的中点D，与边交于点E．(1)如果点D的坐标为，请直接写出点E的坐标；(2)试判断的中点是否在反比例函数的图象上，并说明理由．【答案】(1)(2)在，理由见解析【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键．（1）求出反比例函数解析式为，得到点B的坐标为，则点E的横坐标为4，求出点E的纵坐标，即可得到答案；（2）设点D的坐标为，则，即，求出的中点的坐标是，由即可证明结论．【详解】（1）解：把点D的坐标代入得到，，解得

，∴反比例函数解析式为，∵四边形是矩形，∴，∴点B的坐标为，∴点E的横坐标为4，当时，，∴点E的坐标为；（2）中点在反比例函数图象上，理由如下：设点D的坐标为，则，即，∵四边形是矩形，∴，∴点B的坐标为，∴的中点的坐标是，∵∴的中点在反比例函数的图象上．7．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过点，．(1)______；______；点的坐标______；(2)直接写出不等式的解集；(3)求的面积．【答案】(1)1；6；(2)(3)【分析】（1）将点代入直线，可解得，即可求得点坐标，利用待定系数法解得的值，易得该反比例函数解析式；确定点坐标，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，然后计算点坐标即可；（2）结合图像，即可获得答案；（3）延长交轴于点，分别确定点，，坐标，然后根据求解即可．【详解】（1）解：将点代入直线，可得，解得，∴，将点代入反比例函数，可得，解得，∴该反比例函数解析式为，对于直线，当时，可得，即，∵四边形为平行四边形，点在轴上，∴，即，解得，将代入反比例函数，可得，解得，∴．故答案为：1；6；；（2）∵，，且直线与反比例函数的图像交于点，∴结合图像，可得不等式的解集为；（3）如下图，延长交轴于点，∵四边形为平行四边形，，，，∴，对于直线，令，可得，解得，∴，设直线的解析式为，把、代入，得，解得，∴直线的解析式为，令，可得，解得，∴，又∵，，，，，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、一次函数与反比例函数图像交点问题、坐标与图形、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、利用函数图像解求不等式的解集等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．8．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E．(1)当时，①若，求点E的坐标；②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(2)若，求的值（用含n的代数式表示）．【答案】(1)①；②不存在，见解析(2)【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键：（1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标；②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意；（2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值．【详解】（1）①当时，，当时，，解得，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，当时，，∴；②不存在，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由①可知，，则，∴，∴，∴，∴，∵，∴不符合题意，不存在；（2）设，∵，∴，∴将点代入，得，∴，当时，∴，，∴，∴．9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)求与的值；(2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）；②当点落在反比例函数图象上，求的值；(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值．【答案】(1)，(2)①；②或(3)或(4)时最小值为【分析】（1）根据