数学常考压轴题九年级人教版专题09旋转两种解题模型含答案及解析

专题09旋转两种解题模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2题型一：奔驰模型 2题型二：费马点模型 15压轴能力测评 21模型一：奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：费马点模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。题型一：奔驰模型一．选择题（共1小题）1．（2020秋•顺平县期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是A． B． C． D．二．填空题（共4小题）2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是，点在第一象限，的平分线交轴于点，把绕着点按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则，点坐标为．3．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为．4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为．5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确有（填序号）①是等边三角形②是直角三角形③④三．解答题（共6小题）6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，三点在同一直线上，连接，求的度数．7．（2021秋•长乐区期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接．（1）如图1，当点恰好在边上时，求的大小；（2）如图2，若为中点，求的最大值．8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为，正方形的边长为．（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，则的长度为．9．（2023秋•梁山县期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△．（1）求点与点之间的距离；（2）求的度数．10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．，，，．为三角形．的度数为．（2）类比延伸如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边（边长为按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边（边长为，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的，绕点按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？题型二：费马点模型一．选择题（共1小题）1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为A．10 B． C． D．二．解答题（共2小题）2．（台州期中）（1）知识储备①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打，错误的打ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长．3．（宿豫区校级期中）探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离；②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接、、、．易知；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段的长度即为的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．1．（连城县期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形．，是等边三角形，，在中，，，，（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．2．（西城区校级期中）如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．求：（1）点与点之间的距离；（2）求的度数．3．（汉阳区期中）如图，是等腰内一点，，连接，，．（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形；（2）在（1）中，若，，，求的大小；（3）当时，且，，，则的面积是（直接填答案）4．（汉阳区期中）（1）阅读证明①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆；第二步：在上取一点，连接，，，．易知；第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段的长度即为的费马距离．（3）知识应用已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．5．（当涂县校级期中）如图，点是等边外一点，，，（1）将绕点逆时针旋转得到△，画出旋转后的图形；（2）在（1）的图形中，求的度数．

专题09旋转两种解题模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2题型一：奔驰模型 2题型二：费马点模型 15压轴能力测评 21模型一：奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：费马点模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。题型一：奔驰模型一．选择题（共1小题）1．（2020秋•顺平县期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是A． B． C． D．【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断；依据是等边三角形，即可得到，进而得出，求出即可判断选项．【解答】解：是等边三角形，，将绕点顺时针旋转到位置，，，，，，，是等边三角形，，，，，，即是直角三角形，故正确，是等边三角形，，故正确，，故正确，若，则，与，，不符，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．二．填空题（共4小题）2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是，点在第一象限，的平分线交轴于点，把绕着点按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则，点坐标为．【分析】根据等边三角形的每一个角都是可得，然后根据对应边的夹角为旋转角求出，再判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据，的平分线交轴于点，，利用三角函数求出，从而得到，再求出，然后写出点的坐标即可．【解答】解：是等边三角形，，绕着点按逆时针方向旋转边与重合，旋转角，，是等边三角形，，，的坐标是，的平分线交轴于点，，，，，，，，，点的坐标为，．故答案为：；点的坐标为，．【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出是等边三角形是解题的关键．3．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为或．【分析】根据△为直角三角形，分两种情况：①当点在线段延长线上时，△为直角三角形；②当点在线段上时，△为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点与点的距离．【解答】解：分两种情况：①当点在线段延长线上时，△为直角三角形，，，，，，，；②当点在线段上时，△为直角三角形，同理可得，，，；综上所述，点与点的距离为或．故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为或．【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，当点在的右边时，是的垂直平分线，四边形是正方形，垂直平分，，将边绕着点旋转，，是等边三角形，，，，，；当点在的左边时，同理可得△是等边三角形，，，，，，，的度数为或．故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确有①②③（填序号）①是等边三角形②是直角三角形③④【分析】根据等边三角形性质得出，根据全等得出，，，，求出，即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②；求出，，即可判断③，求出和判断④．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，即是直角三角形，是等边三角形，，，，，即，故答案为：①②③．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握全等三角形的性质、等边三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．三．解答题（共6小题）6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，三点在同一直线上，连接，求的度数．【分析】由已知直接可得旋转中心为点，旋转的度数为，而，，即得，由此即可求出的度数．【解答】解：等腰直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，旋转中心为点，旋转的度数为，，，，，的度数为，．【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质．7．（2021秋•长乐区期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接．（1）如图1，当点恰好在边上时，求的大小；（2）如图2，若为中点，求的最大值．【分析】（1）由旋转可得：，，，再运用三角形内角和定理即可得出答案；（2）如图2，连接，利用等腰三角形的性质证明，然后证明、、、四点共圆，接着利用圆是圆中最长的弦即可求解．【解答】解：（1）如图1，绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，，，，，；（2）如图2，连接，，为中点，，，而，、、、四点共圆，为这个圆的直径，为这个圆的一条弦，，，，的最大值为8．【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含角的直角三角形的性质，有一定的综合性．8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为，正方形的边长为．（变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，则的长度为．【分析】（1）由旋转的性质得，，，，则为等腰直角三角形，再由勾股定理得，过点作交的延长线于，则是等腰直角三角形，得，得，然后由勾股定理即可求解；（2）由旋转的性质得是等边三角形，则，，，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解；（3）由旋转的性质得，，，则是等腰直角三角形，得，，再证，即可解决问题．【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到的△，，，，，为等腰直角三角形，，，，在△中，由勾股定理得：，过点作交的延长线于，如图1所示：，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：，；（2）的度数为，理由如下：是等边三角形，，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，如图2所示：则是等边三角形，，，，，，为直角三角形，，；（3），是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3所示：由旋转的性质得：，，，是等腰直角三角形，，，，是直角三角形，，，故答案为：．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2023秋•梁山县期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△．（1）求点与点之间的距离；（2）求的度数．【分析】（1）由已知绕点逆时针旋转后，得到△，可得△，，旋转角，所以为等边三角形，即可求得；（2）由为等边三角形，得，在△中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数．【解答】解：（1）连接，由题意可知，，，而，所以度．故为等边三角形，所以；（2）利用勾股定理的逆定理可知：，所以为直角三角形，且可求．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．，，，．为直角三角形．的度数为．（2）类比延伸如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数；（2）把绕点顺时针旋转得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，，再求出，然后利用勾股定理得出，等量代换得出．【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．，，，．为直角三角形．的度数为．故答案为：直角；；（2）．理由如下：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，，．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边（边长为按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边（边长为，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的，绕点按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？【分析】（1）利用证明即可；（2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案；（3）点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线时，最长或最短．【解答】解：（1）；将绕点按逆时针方向旋转，，在和中，，，；（2），，理由如下：设与交于点，将绕点按逆时针方向旋转度，，与是等边三角形，，，，，，，，（3）由旋转的性质可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线时，最长或最短．当为时，线段的长度最大，等于；当为（或时，线段的长度最小，等于．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，证明是解题的关键．题型二：费马点模型一．选择题（共1小题）1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为A．10 B． C． D．【分析】连接，过点作，与的延长线交于点，由旋转可知，，，，于是可得为等边三角形，进而得到，利用含30度的直角三角形性质可得，，最后利用勾股定理求出的长即可．【解答】解：如图，连接，过点作，与的延长线交于点，则，将绕着点逆时针方向旋转得到，，，，，为等边三角形，，，，当点、、在同一条直线上时，取得最小值为，即取得最小值为，，，，，，，在中，，取得最小值为．故选：．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．二．解答题（共2小题）2．（台州期中）（1）知识储备①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打，错误的打ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长．【分析】（1）①根据已知首先得出为等边三角形，进而得出，即；（2）①利用（1）中结论得出；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；②画出图形即可；也可以将绕点按顺时针旋转得到，连接，作，然后在上截取，则△是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；（3）①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可；②将沿点逆时针旋转到△，如图5，根据的最小值为，得的最小值为，即，设正方形的边长为，根据勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的边长．【解答】（1）①证明：在上取一点，使，连接，是等边三角形，，又，是正三角形，，，，又，，，，；（4分）（2）①如图2，得：，当、、共线时，的值最小，线段的长度即为的费马距离，故答案为：；（6分）②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分）（3）①ⅰ．；ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分）故答案为：，，，；②解：将沿点逆时针旋转到△，如图5，过作，交的延长线于，连接，易得：，，，，，，△是正三角形，，的最小值为，的最小值为，，，，在同一直线上，即，（12分）设正方形的边长为，，，，在△中，，，得：，，在△中，由勾股定理得：，解得：（舍去）正方形的边长为2．（14分）【点评】此题是圆的综合题，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识．难度很大，理解新定义是本题的关键．3．（宿豫区校级期中）探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离；②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接、、、．易知；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段的长度即为的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证．②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解．【解答】（2）①证明：由托勒密定理可知是等边三角形，，②、，（3）解：如图，以为边长在的外部作等边，连接，则知线段的长即为最短距离．为等边三角形，，，，，，在中，，，，从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度的最小值为．【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．1．（连城县期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数．要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形．，是等边三角形，，在中，，，，（2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数．【分析】（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．只要证明，推出，，再利用勾股定理的逆定理即可解决问题；（2）把绕点逆时针旋转得到，如图，想办法证明是等腰三角形即可解决问题；【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．，，是等边三角形，，，，，，在中，，，，故答案为：，，，90．（2）解：，，把绕点逆时针旋转得到，如图，，，，为等腰直角三角形，，，在中，，，，，，为直角三角形，，．【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．2．（西城区校级期中）如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．求：（1）点与点之间的距离；（2）求的度数．【分析】（1）连接，如图，根据等边三角形得性质得，，再利用旋转的性质得，，，，，于是可判断是等边三角形，所以；（2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再加上，然后计算即可．【解答】解：（1）连接，如图，是等边三角形，，是绕点逆时针旋转得到的，，，，，，是等边三角形，；（2），，，而，，是直角三角形，且，是等边三角形，，．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．3．（汉阳区期中）如图，是等腰内一点，，连接，，．（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形；（2）在（1）中，若，，，求的大小；（3）当时，且，，，则的面积是（直接填答案）【分析】（1）由，可知点旋转到点，在的下方过点作的垂线，并且在垂线上截取，则为点绕点顺时针旋转以后的对应点，△即为所求；（2）连接，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后计算即可得解；（3）根据全等三角形的面积相等求出与的面积之和等于四边形的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出和的面积的和，和的面积的和，从而求出的面积，然后根据的面积的面积与的面积的和计算即可得解．【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求；（2）如图2，连接．将绕点顺时针旋转