数学常考压轴题九年级人教版第二十三章旋转（7大压轴考法50题专练）原卷版含答案及解析

第二十三章旋转（7大压轴考法50题专练）目录题型一：旋转的性质 1题型二：旋转对称图形 64题型三：中心对称 65题型四：中心对称图形 67题型五：关于原点对称的点的坐标 68题型六：坐标与图形变化-旋转 69题型七：作图-旋转变换 71一．旋转的性质1．（2023秋•睢阳区期中）在长方形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为A． B． C．4 D．2．（2023秋•阳新县期中）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为A． B． C． D．3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，在△中，，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是．4．（2023秋•紫金县期中）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为．5．（2023秋•思明区校级期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为．6．（2023秋•天门校级期中）如图，在中，，，点是在直角边上一动点，且为等边三角形，则的最小值是．7．（2023秋•江油市期中）如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，与交于点．下列结论：①；②与互相平分；③；④平分，其中正确结论的是．8．（2023秋•内黄县校级期中）如图，是等边三角形，，点在边上，且，是边的中点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，，当为直角三角形时，．9．（2024春•宝安区期中）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；（3）能力提升如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．10．（2023秋•文昌期中）如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．（1）填空：绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（2）求证：；（3）若，，求正方形的边长．11．（2023秋•集美区校级期中）在△中，，于点，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．（1）如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；（2）如图2，若在线段上存在点（不与点，重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．12．（2023秋•香坊区校级期中）已知：直线平行直线，点、点在直线上，点、点在直线上，，直线交直线于点．（1）如图，求证：．（2）如图，以点为圆心顺时针旋转直线交直线于点，以点为圆心顺时针旋转直线交直线于点，，当时，求的度数．（3）在（2）的条件下，如图，直线交直线于点，直线交直线于点，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点，若，当点在线段上移动时，求的度数．13．（2023秋•东莞市校级期中）将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①．（1）求的大小（结果用含的式子表示）；（2）又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②求；（3）连接、，试探究当为何值时，．14．（2023秋•天河区校级期中）已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程；（2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长．15．（2023秋•番禺区校级期中）如图，在△中，，，点为△内一点，，连接．（1）将△绕点逆时针方向旋转，画出旋转之后的△．（2）连接交于点．①若点、、三点共线，求的度数．②若，求的长．16．（2023秋•集美区校级期中）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．（1）当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；（2）如图3，．如果，，，求点到的距离17．（2023秋•芜湖期中）点、分别是等边三角形的边和上的点，且，连接．（1）如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证：①为等边三角形；②．（2）如图2，若，设为的中点，连接，，求．18．（2023春•宁明县期中）（1）操作发现：如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．现将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则；（2）解决问题：如图2，在等边内有一点，且，如果将绕点逆时针旋转得出，求的度数和的长．19．（2023秋•连城县期中）在正方形中，点在射线上（不与点、重合），连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）如图1，点在边上．若，，求的长；（2）如图2，点在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系．20．（2023秋•长葛市期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．（1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值；（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于或或或（直接写出答案即可）．21．（2023秋•临河区校级期中）如图①，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为．如图②，将△绕点顺时针旋转得到△．（1）求证：△△；（2）若，，求的长．22．（2023秋•武安市校级期中）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，，，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．（1）在图1中，；（2）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；（3）如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？23．（2023秋•高要区期中）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形．（Ⅰ）旋转中心是点．（Ⅱ）旋转角是度，度．（Ⅲ）若，求证，并求此时的周长．24．（2023春•济阳区期中）如图，和均为等边三角形，将绕点旋转在直线的右侧）．（1）求证：；（2）若点，，在同一条直线上，①求的度数；②点是的中点，求证：．25．（2023秋•红旗区校级期中）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，，．（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；（2）将绕顶点逆时针旋转（如图，求的长．26．（2023秋•召陵区期中）（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求：①旋转角的度数；②线段的长；③求的度数．（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足什么条件时，？请给出证明．27．（2023秋•西湖区校级期中）在△中，，，将△绕点顺时针旋转角得△，交于点，分别交、于、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由．28．（2023秋•临河区校级期中）已知：如图，在中，，若将绕点顺时针旋转得到，连接、．（1）与的关系是；（2）若的面积为，；（3）当为多少度时，四边形为矩形？说明理由．29．（2023秋•东丽区校级期中）如图，正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．（1）求证：．（2）当时，求的长．30．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，求证：（1）是的平分线；（2）．31．（2023秋•东莞市校级期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．32．（2023秋•余干县期中）如图，菱形，，为菱形内一点，连接、．再将绕着点逆时针旋转到，连接、，且交于点．（1）求证：；（2）若，求的大小．33．（2023秋•广阳区校级期中）如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由．34．（2023秋•兰陵县期中）如图，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到△的位置，与相交于点，与、分别交于点、．（1）求证：△．（2）当度时，判定四边形的形状并说明理由．35．（2023秋•惠州校级期中）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．36．（2023秋•新罗区校级期中）如图，是等边内的一点，若将绕点旋转到，判断的形状？37．（2023秋•椒江区期中）如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，．（1）当时，求证：为直角三角形；（2）求的度数；（3）请你探究：当为多少度时，是等腰三角形？38．（2023秋•右玉县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：．小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．（1）若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度．39．（2023秋•集美区校级期中）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．40．（2023秋•荔湾区校级期中）四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、．（1）求证：；（2）填空：可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若，，求的面积．41．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点，在直线的异侧，直线于点．直线于点，连接，．（1）延长交于点（如图．①求证：；②求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．42．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．（1）求的度数；（2）当，时，求的大小；（3）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明．二．旋转对称图形43．（2023秋•临颍县期中）如图，已知和中，，，，，；（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．三．中心对称44．（2023秋•西安校级期中）如图，在菱形中，，，点为边上一点，且，在边上存在一点，边上存在一点，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为．四．中心对称图形45．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在中若，，求边上的中线的取值范围．解决方法：延长到．使得．再连接（或将绕点逆时针旋转得到．把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明．五．关于原点对称的点的坐标46．（2022秋•盐池县校级期中）对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下：①，，．如：，，；②，，．如：，，；③，，．如：，，；例如：，，，规定坐标的部分规则与运算如下：①若，且，则，，；反之若，，，则，且．②，，，；，，，．例如：，，，，，，，．请回答下列问题：（1）化简：（填写坐标）；（2）化简：，，（填写坐标）；（3）若，，，，，且为整数，点在第四象限，求满足条件的的所有可能取值．六．坐标与图形变化-旋转47．（2023秋•中山市校级期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标是．七．作图-旋转变换48．（2023秋•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点绕直线上某一点顺时针旋转，再关于直线对称，得到点，我们称点为点关于点的二次关联点．已知点．（1）若点的坐标是，直接写出点关于点的二次关联点的坐标；（2）若点关于点的二次关联点与点重合，求点的坐标（画出图形、写出结果即可）；（3）若点关于点的二次关联点在直线上，求此时点的二次关联点的坐标及点坐标．49．（2023秋•鲅鱼圈区校级期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将△绕点逆时针旋转得到△，点、的对应点分别是点、．（1）请在图中画出△．（2）请在轴上找一个点，使的值最小，并直接写出点的坐标为．50．（2023秋•海州区校级期中）如图，的斜边在直线上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上．（1）画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）已知，，点运动到点的位置时，点经过的路线长为．（结果保留

第二十三章旋转（7大压轴考法50题专练）目录题型一：旋转的性质 1题型二：旋转对称图形 64题型三：中心对称 65题型四：中心对称图形 67题型五：关于原点对称的点的坐标 68题型六：坐标与图形变化-旋转 69题型七：作图-旋转变换 71一．旋转的性质1．（2023秋•睢阳区期中）在长方形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为A． B． C．4 D．【分析】连接，过点作，截取，连接，，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长，在中，利用三边关系即可得出答案．【解答】解：连接，过点作，截取，连接，，将线段绕着点顺时针旋转得到，，，，，在和中，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，在中，，的最小值为，故选：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2023秋•阳新县期中）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为A． B． C． D．【分析】将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，延长，作于点，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数，在直角中利用三角函数求得和的长，则在直角中利用勾股定理求得的长，进而求得三角形的面积．【解答】解：为等边三角形，，可将绕点逆时针旋转得，连，且延长，作于点．如图，，，，为等边三角形，，，在中，，，，，为直角三角形，且，．，在直角中，，．在直角中，．则的面积是．故选：．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，在△中，，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是．【分析】通过旋转△构造△，然后由已知条件推导出，再由勾股定理得出关于的表达式，最后根据配方法得出的最小值．【解答】解：如图，把以点为中心顺时针旋转得到．连接，，过点作的垂线，为垂足．故相当于△是由△以点为中心顺时针旋转后得到的图形．则，，．，，，，，．设，则，，．在△中，．，此时，符合题意．．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，特殊角直角三角形的性质，勾股定理等，通过辅助线构造△再应用勾股定理求出的表达式是解答本题的关键．4．（2023秋•紫金县期中）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为．【分析】延长至点，使，连接，，根据三角形中位线定理得，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：延长至点，使，连接，，点是的中点，，是的中位线，，正方形、正方形的边长分别为4，1，，，，的最大值为，的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系等知识，构造中位线是解题的关键．5．（2023秋•思明区校级期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为．【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求线段的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．【解答】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，，，又，，，连接，并延长交圆于点，即为最大值，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定，点与圆的位置关系，解题的关键是构造的全等三角形，将转化为其他线段进而求最大值．6．（2023秋•天门校级期中）如图，在中，，，点是在直角边上一动点，且为等边三角形，则的最小值是．【分析】根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到的最小值是．【解答】解：在中，，，，，点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，连接，，，，点为的中点，，是等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，，，，，，，的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．7．（2023秋•江油市期中）如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，与交于点．下列结论：①；②与互相平分；③；④平分，其中正确结论的是①③④．【分析】依据题意，设交于点，根据旋转的性质得出，，，，由三角形内角和定理得到推出，由对顶角的性质待定，判定是等边三角形，因此与不能互相平分，在上截取，由推出，推出，得到是等边三角形，因此，，于是得到，求出，即可证明平分．【解答】解：设交于点，由旋转的性质可得：，，，，，，故①正确；设交于点，连接，，，是等边三角形，若与互相平分，则，，，的大小无法确定，不一定等于，故②错误；在上截取，由旋转的性质得：，，，，，，，，，即，是等边三角形，，，，故③正确；，，，平分，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是根据旋转前、后的图形全等来解答．8．（2023秋•内黄县校级期中）如图，是等边三角形，，点在边上，且，是边的中点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，，当为直角三角形时，或．【分析】根据题意，判断出只能是，分两种情形，点、、三点共线，且在、之间，或点、、三点共线，且在、之间，分别通过勾股定理求的长即可．【解答】解：由题意知，点在以为半径的圆上运动，是等边三角形，是边的中点，只能是，当点在内时，，此时，点、、三点共线，且在、之间，，，；当点在外时，，此时，点、、三点共线，且在、之间，此时，，，故答案为：或．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理等知识，判断出是解题的关键．9．（2024春•宝安区期中）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；（3）能力提升如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和△全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将绕点顺时针旋转至△处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．【解答】解：（1），、、，由题意知旋转角，为等边三角形，，，易证△为直角三角形，且，；故答案为：；（2）如图2，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，，，，，，，，，在和△中，△，，，，，，由勾股定理得，，即．（3）如图3，将绕点顺时针旋转至△处，连接，在中，，，，，，绕点顺时针方向旋转，△如图所示；，，，，，绕点顺时针方向旋转，得到△，，，，是等边三角形，，，，，、、、四点共线，在△中，，．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．10．（2023秋•文昌期中）如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．（1）填空：绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（2）求证：；（3）若，，求正方形的边长．【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可；（2）先根据旋转的性质可得，，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形的边长为，从而可得，，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解答】（1）解：在正方形中，，，又顺时针旋转一定角度后得到，绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到，故答案为：，90；（2）证明：由旋转的性质得：，，四边形是正方形，，即，，即，，，在和中，，；（3）解：设正方形的边长为，则，，，，，由旋转的性质得：，，由（2）已证：，，又四边形是正方形，，则在中，，即，解得或（不符题意，舍去），故正方形的边长为6．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．11．（2023秋•集美区校级期中）在△中，，于点，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．（1）如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；（2）如图2，若在线段上存在点（不与点，重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到使，连接，，可得是△的中位线，然后求出，设，，求出，证明△，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：，，，，，，，即是的中点；（2），证明：如图，延长到使，连接，，，是△的中位线，，，由旋转的性质得：，，，，，△是等腰三角形，，设，，则，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，，即，【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．12．（2023秋•香坊区校级期中）已知：直线平行直线，点、点在直线上，点、点在直线上，，直线交直线于点．（1）如图，求证：．（2）如图，以点为圆心顺时针旋转直线交直线于点，以点为圆心顺时针旋转直线交直线于点，，当时，求的度数．（3）在（2）的条件下，如图，直线交直线于点，直线交直线于点，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点，若，当点在线段上移动时，求的度数．【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质，结合，即可得出结论；（2），得到，，推出，，得到，推出，设，，推出，，根据，求解即可；（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解．【解答】（1）证明：过点作，，，，，，，，，；（2），，，由（1）知：，又，，，，，设：，，则：，，，，，，，；（3）①当点在下方时，如图：，，，，，平分，平分，，，过点作，则：，，，；②当点在上方时，如图：同理可得：，，过点作，则：，，，，；综上：或．【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题．13．（2023秋•东莞市校级期中）将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接得，又将线段绕点逆时针旋转得线段（如图①．（1）求的大小（结果用含的式子表示）；（2）又将线段绕点顺时针旋转得线段，连接（如图②求；（3）连接、，试探究当为何值时，．【分析】（1）由于线段绕点逆时针旋转角度得到线段，根据旋转的性质得，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再由线段绕点逆时针旋转得线段，根据旋转的性质得，然后利用进行计算；（2）由线段绕点顺时针旋转得线段，根据旋转的性质得，，则，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，然后利用计算得到；（3）由线段绕点逆时针旋转得线段，根据旋转的性质得，，则可判断为等腰直角三角形，则，，所以，加上，于是为等腰直角三角形，则，所以，然后利用“”证明，得到，所以．【解答】解：（1）线段绕点逆时针旋转角度得到线段，，，，，线段绕点逆时针旋转得线段，，；（2）线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，；（3）如图②，线段绕点逆时针旋转得线段，，，为等边三角形，，，，，为等腰直角三角形，，，在和中，，，，即，当为时，．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．14．（2023秋•天河区校级期中）已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．（1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程；（2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长．【分析】（1）根据题意补全图形，先判断出，进而得出△△，即可得出，最后判断出即可得出结论；（2）分两种情况，当点在线段的延长线上时和当点在线段上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）解：，，理由如下：依题意补全图形，如图①，延长分别交，于点，，在正方形中，，，绕点顺时针旋转得到，，，，又，在△和△中，，△△，，，，，．（2）解：当点在线段的延长线上时，如图②所示，过点作，交的延长线于点，是正方形的对角线，，，，，，在△中，由勾股定理，得，由（1），同理可得△△，，当点在线段上时，如图③所示，过点作于点，是正方形的对角线，，，，，，在△中，由勾股定理，得，由（1）同理可得△△，，的长为或．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出△△和构造直角三角形．15．（2023秋•番禺区校级期中）如图，在△中，，，点为△内一点，，连接．（1）将△绕点逆时针方向旋转，画出旋转之后的△．（2）连接交于点．①若点、、三点共线，求的度数．②若，求的长．【分析】（1）过点作的垂线，在垂线上截取，连接，则得到所求△；（2）①由旋转得到可得，由得到，从而根据等量代换可得，即．②过点作于点，易证△是等腰直角三角形，可得，因此，在△中，根据勾股定理可求得．在△中，由于，因此，根据勾股定理即可求得，故．【解答】解：（1）如图，△为所求．（2）①△是由△旋转得到，，，，，．②过点作于点，由旋转可得，，△是等腰直角三角形，，，，，在△中，，即，，，，，，在△中，，又，，．【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，正确进行计算是解题关键．16．（2023秋•集美区校级期中）如图1，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．（1）当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；（2）如图3，．如果，，，求点到的距离【分析】（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，最后在中，利用面积法可求得点到的距离．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，．在和中，，．．（2）解：连接、，延长交与．当时，则．．．又，．又，，为等腰直角三角形．．．．设点到的距离为．，即，解得．点到的距离为．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质，面积法的应用是解题的关键．17．（2023秋•芜湖期中）点、分别是等边三角形的边和上的点，且，连接．（1）如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证：①为等边三角形；②．（2）如图2，若，设为的中点，连接，，求．【分析】（1）①根据旋转的性质，得到，，进而得证；②过作，证明为等边三角形，推出，证明，得到，进而得到，即可得出结论；（2）延长至，使得，连接，和，证明，推出为等边三角形，得到，求解即可．【解答】（1）证明：①绕着点顺时针旋转，，，为等边三角形；②为等边三角形，，，如图1，过作，则，为等边三角形，，．为等边三角形，，，，又，，，，即，；（2）解：延长至，使得，连接，和，如图2，是的中点，，又，，，，，，为等边三角形，，，，过点作，则：，，．【点评】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形．18．（2023春•宁明县期中）（1）操作发现：如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．现将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则；（2）解决问题：如图2，在等边内有一点，且，如果将绕点逆时针旋转得出，求的度数和的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，从而得到；（2）根据旋转的性质得到，，，△，则为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后计算出，从而得到的度数．【解答】解：（1）绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，，，为等边三角形，；故答案为：；（2）为等边三角形，，，绕点逆时针旋转得出，，，，△，为等边三角形，，，在中，，，，，为直角三角形，，，△，．答：的度数为，的长为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和勾股定理及其逆定理．19．（2023秋•连城县期中）在正方形中，点在射线上（不与点、重合），连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）如图1，点在边上．若，，求的长；（2）如图2，点在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系．【分析】（1）过点作射线的垂线交于点，先证明，可得、，根据勾股定理即可解答．（2）过点作，交于，先证明，可知和都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）过点作射线的垂线交于点，绕点逆时针旋转得到，、，，，，又四边形是正方形，，，、，，；（2）．理由如下：如图2，过点作，交于，四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，和都是等腰直角三角形，，，，．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、正方形的性质、勾股定理及旋转的性质等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．20．（2023秋•长葛市期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．（1）如图2，当为的角平分线时，求此时的值；（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于或或或（直接写出答案即可）．【分析】（1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值；（2）分别表示与的度数，相减可得数量关系；（3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论．【解答】解：（1）如图2，，，，平分，，，答：此时的值是；（2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；理由是：由旋转得：，，，；（3）分四种情况：①当时，如图4，，；②当时，如图5，则，，；③当时，如图6，则，，；④当时，如图7，，，；综上，的值是或或或．故答案为：或或或【点评】本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．21．（2023秋•临河区校级期中）如图①，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为．如图②，将△绕点顺时针旋转得到△．（1）求证：△△；（2）若，，求的长．【分析】（1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质和已知条件推出，由此可根据证明出结论；（2）先证出，，设正方形的边长为，再用表示出，，在△中，由勾股定理列方程，解出即可解决问题．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知：，，四边形为正方形，，又，，，，在△和△中，，△△；（2）解：△△，，，，，，，设正方形的边长为，则，，在△中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去），，．【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．22．（2023秋•武安市校级期中）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，，，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．（1）在图1中，；（2）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；（3）如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；（3）设旋转的时间为秒，由题知，，，根据周角的定义得到，列方程即可得到结论．【解答】解：（1），，，故答案为：；（2）如图1，此时，成立，，，，，，，转速为秒，旋转时间为3秒；如图2，，，，，，，，三角板绕点逆时针旋转的角度为，转速为秒，旋转时间为21秒，综上所述，当旋转时间为3或21秒时，成立；（3）设旋转的时间为秒，由题知，，，，，当，即，解得：，当，旋转的时间是25秒．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．23．（2023秋•高要区期中）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形．（Ⅰ）旋转中心是点．（Ⅱ）旋转角是度，度．（Ⅲ）若，求证，并求此时的周长．【分析】（Ⅰ）根据旋转的定义可得旋转中心是点；（Ⅱ）根据旋转的定义以及正方形的性质可得旋转角是90度，度；（Ⅲ）利用证明，得出，进而求出的周长．【解答】解：（Ⅰ）是由逆时针旋转得到的图形，旋转中心是点．故答案为；（Ⅱ）是由逆时针旋转得到的图形，旋转角是90度，度．故答案为90，90；（Ⅲ），，．是由逆时针旋转得到的图形，，，．在与中，，，，的周长．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识．24．（2023春•济阳区期中）如图，和均为等边三角形，将绕点旋转在直线的右侧）．（1）求证：；（2）若点，，在同一条直线上，①求的度数；②点是的中点，求证：．【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，，再证出，由即可证明．（2）①由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再由平角定义即可得出结果；②由等边三角形的性质证出是的垂直平分线，即可得出结论．【解答】（1）证明：和是等边三角形，，，，，即，在和中，，；（2）①解：为等边三角形，，，，；②证明：点是的中点，，是等边三角形，，为等边三角形，，是的垂直平分线，．【点评】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．25．（2023秋•红旗区校级期中）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，，．（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；（2）将绕顶点逆时针旋转（如图，求的长．【分析】（1）以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，由等腰直角三角形的性质，推出平分，，是中点，，即可求出、距离的最小值和最大值；（2）连接，，作交延长线于，由等腰直角三角形的性质推出，，由旋转的性质得到，由直角三角形的性质得到，，由勾股定理即可求出．【解答】解：（1）以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，是等腰直角三角形，是中点，平分，，是等腰直角三角形，是中点，，、距离的最小值是，、距离的最大值是．（2）连接，，作交延长线于，是等腰直角三角形，是中点，，同理：，绕顶点逆时针旋转，，，，，，．【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以为圆心，的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．26．（2023秋•召陵区期中）（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求：①旋转角的度数；②线段的长；③求的度数．（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足什么条件时，？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为；②由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以；③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以；（2）根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当时，为直角三角形，．【解答】解：（1）①为等边三角形，，，绕点顺时针旋转后得到，，旋转角的度数为；②绕点顺时针旋转后得到，，而，为等边三角形；；③为等边三角形，，绕点顺时针旋转后得到，，在中，，，，，，为直角三角形，，；（2）时，．理由如下：绕点顺时针旋转后得到，，，，为等腰直角三角形，，当时，为直角三角形，，，当、、满足时，．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．27．（2023秋•西湖区校级期中）在△中，，，将△绕点顺时针旋转角得△，交于点，分别交、于、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由．【分析】（1）由得到，再根据旋转的性质得，，，则可证明△△，于是得到；（2）根据等腰三角形的性质得，利用旋转的性质得，，则利用平行线的判定方法得到，，于是可判断四边形是平行四边形，然后加上可判断四边形是菱形．【解答】解：（1）．理由如下：，，△绕点顺时针旋转角得△，，，，在△和△中，△△，（2）四边形是菱形．理由如下：，，，，，，，，，四边形是平行四边形．又，四边形是菱形．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．28．（2023秋•临河区校级期中）已知：如图，在中，，若将绕点顺时针旋转得到，连接、．（1）与的关系是平行且等于；（2）若的面积为，；（3）当为多少度时，四边形为矩形？说明理由．【分析】（1）由绕点顺时针旋转可知：，，四边形为平行四边形，，；（2）由于是的边上中线，，同理，；（3）要判断四边形为矩形，从对角线来看，要求，又与互相平分，只需要，而，故为等边三角形，．【解答】解：（1）平行且等于；（2）由（1）得四边形为平行四边形，，，根据等底同高得到，；（3）当时，四边形为矩形．理由是：，，是等边三角形，，，．又，，，，同理可证其余三个角也为直角．四边形为矩形．【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．29．（2023秋•东丽区校级期中）如图，正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．（1）求证：．（2）当时，求的长．【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；（2）由第一问的全等得到，正方形的边长为6，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．【解答】（1）证明：逆时针旋转得到，，、、三点共线，，，，，，在和中，，，；（2）解：设，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，则．【点评】此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．30．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，求证：（1）是的平分线；（2）．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出，进而得出，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【解答】证明：（1）将绕点顺时针旋转后，得到，，，，，，，，在和中，，，是的平分线；（2）由（1）得，，由旋转的性质，得，，则，在中，，又，．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出是解题关键．31．（2023秋•东莞市校级期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接、，根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，证得，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）连接、，四边形为矩形，，即，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，，；（2）四边形为矩形，，，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，，，在△与△中，，△△，，设，则，在△中，，由勾股定理，得，解得，．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．32．（2023秋•余干县期中）如图，菱形，，为菱形内一点，连接、．再将绕着点逆时针旋转到，连接、，且交于点．（1）求证：；（2）若，求的大小．【分析】（1）先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）先求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由即可得出结论．【解答】解：（1）四边形是菱形，，，．又绕着点逆时针旋转到，，，，在与中，，，；（2），，．又，，，．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．33．（2023秋•广阳区校级期中）如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由．【分析】（1）由旋转的性质可知，，可判断：是等边三角形；（2）由（1）可知，当时，，可判断为直角三角形．【解答】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得，，，是等边三角形；（2）解：为直角三角形．理由：是等边三角形．，将绕点按顺时针方向旋转得，，，，于是是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题．34．（2023秋•兰陵县期中）如图，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到△的位置，与相交于点，与、分别交于点、．（1）求证：△．（2）当度时，判定四边形的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理得到△；（2）由旋转的性质得到，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和得到，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．【解答】（1）证明：是等腰三角形，，，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到△的位置，，，，在与△中，，△；（2）解：四边形是菱形，将等腰绕顶点逆时针方向旋转度到△的位置，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．35．（2023秋•惠州校级期中）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，然后根据垂直可得出，继而可根据证明；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，，继而得出四条棱相等，证得四边形为菱形．【解答】（1）证明：是由在平面内绕点旋转而得，，，，，，，在和中，，；（2）四边形为菱形；由（1）得，是由旋转而得，，，，又，，四边形为菱形．【点评】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．36．（2023秋•新罗区校级期中）如图，是等边内的一点，若将绕点旋转到，判断的形状？【分析】、为旋转的对应点，旋转中心为点，故，又旋转角为，可证为等边三角形．【解答】解：等边三角形，理由如下：连接，根据旋转的性质可知，旋转角，，为等边三角形，【点评】本题考查了旋转的性质，关键是根据等边三角形的判断方法解答．37．（2023秋•椒江区期中）如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，．（1）当时，求证：为直角三角形；（2）求的度数；（3）请你探究：当为多少度时，是等腰三角形？【分析】（1）由旋转的性质可以证明，得出，由等边三角形的性质得出，求出即可；（2）先根据周角的定义表示的度数，由三角形全等表示的度数，最后由三角形内角和可得结论；（3）分三种情况：①时；②时；③时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，即是直角三角形；（2）解：是等边三角形，，，，，由（1）知：，，，中，；（3）解：分三种情况：①当时，．，，，；②当时，．，，，，；③当时，．，，综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质的运用是解题的关键．38．（2023秋•右玉县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：．小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．（1）若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度．【分析】由四边形为正方形，可得出为，，进而得到与互余，又垂直于，得到与互余，根据同角的余角相等可得出，利用可得出三角形与三角形全等，得出，由，等量代换可得证；（1）利用证明，推出，即可得到；（2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解．【解答】证明：如图，绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，连接、，正方形，，，，，，，又，在和中，，；，，；解：（1）．证明如下：正方形，，．，．．．又，．在和中，，，．．．，．（2）如图，由题设得，，由旋转的性质知：，，，．四边形为平行四边形．又，四边形是矩形．．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．39．（2023秋•集美区校级期中）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；（2）按照题意补全图形即可，在上取，连接交于，交于，连接，，利用、、证明、、、共圆，从而可得，，再证明，即可得到．【解答】解：（1）证明：边绕点逆时针旋转得到线段，，正方形，，，，，，，正方形，，，；（2）补全图2如下：线段，，之间的数量关系为：，理由如下：在上取，连接交于，交于，连接，，如图：正方形，，，又，，，，，，，，由（1）知，且，，，而，，，，、、、共圆，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，．【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为．40．（2023秋•荔湾区校级期中）四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、．（1）求证：；（2）填空：可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若，，求的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得；（2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）先利用勾股定理可计算出，再根据可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到，，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：四边形是正方形，，，而是的延长线上的点，，在和中，；（2）解：，，而，，即，可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到；故答案为、90；（3）解：，，在中，，，，可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到，，，的面积．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．41．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点，在直线的异侧，直线于点．直线于点，连接，．（1）延长交于点（如图．①求证：；②求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．【分析】（1）①根据平行线的性质证得再根据，即可得到；②由，得到则，而在中，，即可得到；（2）证明方法与②相同；（3）四边形是矩形，只要证明三个角是直角即可；【解答】（1）证明：①如图直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，又，，②，，在中，，．（2）解：成立，如图3．证明：延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，，，又为中点，，又，在和中，，，，，则中，．（3）解：如图4，四边形是矩形，理由：，，，，，，四边形是矩形．，，，．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．42．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．（1）求的度数；（2）当，时，求的大小；（3）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明．【分析】（1）由于，故有．（2）由等腰直角三角形的性质知，，根据已知条件，可求得，的值，再由勾股定理求得的值．（3）由于也是等腰直角三角形，故有．【解答】解：（1）由题意知，，，，，，，，是等腰直角三角形，是直角三角形．（2）当，时，有，，，．（3）存在，由于是等腰直角三角形，，，，故有．【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．二．旋转对称图形43．（2023秋•临颍县期中）如图，已知和中，，，，，；（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．【分析】（1）先利用已知条件，，，利用可证，那么就有，，那么，即有；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）由（1）知，，而是的外角，根据三角形外角的性质可求．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）由（1）知，，．【点评】本题利用了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．三．中心对称44．（2023秋•西安校级期中）如图，在菱形中，，，点为边上一点，且，在边上存在一点，边上存在一点，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为．【分析】作关于的对称点，过作交延长线于，交延长线于，连接交于，过作于，由，，得，，而，有，可得，，，在中，，，故，根据线段平分菱形的面积和菱形的对称性知，可证，即可得，又，知当，，共线时，，即周长的最小，从而可得周长的最小值为．【解答】解：作关于的对称点，过作交延长线于，交延长线于，连接交于，过作于，如图：，，，，，，，，，，，，在中，，，，线段平分菱形的面积，过对称中心，由菱形的对称性知，，，，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，当，，共线时，，即周长的最小，此时周长的最小值即为，周长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了轴