数学常考压轴题华师版九年级专题06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法含答案及解析

专题06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、“母子”模型(共边角模型) 2类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8类型三、“K”字模型（相似模型） 13压轴能力测评（10题） 17解题知识必备模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。手拉手相似模型条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形压轴题型讲练类型一、“母子”模型(共边角模型)例题：（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．

(1)求证:；(2)若E是的重心，求的值．【变式训练1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，是上一点，，为上一点．(1)求证：；(2)若，，，，求、的长．【变式训练2】（3-24九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）如图①，在中，，于点D．求证：；（2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值；（3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．类型二、“手拉手”模型(旋转模型)例题：【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：．（2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明．（3）如图③，，，求的最大值．

【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】（1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值．【类比探究】（2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：．（3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系．类型三、“K”字模型（相似模型）例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）．【探究】如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．（1）求证：；（2）若，求的长．【应用】如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E．（3）当是等腰三角形时，直接写出的长【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为AB边上一点，连结过点E作交于点F．①求证：．②若，，E为AB的中点，求的长．（2）如图②，在中，，，，为AB边上一点（点不与点A、B重合），连结CE，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？

压轴能力测评（10题）一、填空题1．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为．二、解答题2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．3．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则，（2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．（3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值．4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值．5．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．6．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：(1)如图，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是__________；(2)如图，若，，线段与线段的数量关系为__________；(3)如图，若，，线段与线段的数量关系为__________；(4)在（）的条件下，当，，点，，在同一直线上时，__________．7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求CF的长度为．（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．8．（2023·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．9．（2024·广西南宁·二模）综合与实践【问题情境】在《综合与实践专题》课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）【数学思考】（1）当时，延长DE交AC于点G，求证：四边形BCGE是正方形；【深入探究】（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N，则有请你予以证明；②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长．请你思考此问题，并写出求解过程．10．（2024·辽宁·模拟预测）在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G．①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：；②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________．

专题06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、“母子”模型(共边角模型) 2类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8类型三、“K”字模型（相似模型） 13压轴能力测评（10题） 17解题知识必备模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3（1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。手拉手相似模型条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形压轴题型讲练类型一、“母子”模型(共边角模型)例题：（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．

(1)求证:；(2)若E是的重心，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质，（1）证明，可得，可证，可得，即可得证；（2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵E是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【变式训练1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，是上一点，，为上一点．(1)求证：；(2)若，，，，求、的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；（2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．【详解】（1）证明：，，∴；（2）解：∵，，，．，，，．【变式训练2】（3-24九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）如图①，在中，，于点D．求证：；（2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值；（3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2），；（3）满足条件的的所有可能的值为或或【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．（1）根据题意可证，从而可得即；（2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出；（3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可．【详解】解：（1）证明：如图①，，，，又，，，．（2）解：方法一：如图②，过点C作交的延长线于点G，，，．，，，又，，．同理（1）可得：，，，，．，．方法二：如图③，过点D作，交于点G，，，．，，．同理（1）可得：，，，，，．（3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：（I）当点D在线段上时，如图④所示：过点D作，交边于点G．，，，．，，，，．同理（1）可得：，，；，，即，化简得：；（II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示：过点D作，交边的延长线于点G．同理可求得：；（III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示：过点D作，交边的延长线于点G．同理可求得：．即满足条件的的所有可能的值为或或．类型二、“手拉手”模型(旋转模型)例题：【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；（3）度，，理由见解析．【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质等知识．（1）由等边三角形的性质可求解；（2）①由“SAS”可证，可得；②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，∴，，∴，故答案为：；（2）如图2中，

∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，设交于点．∵，∴，∴，故答案为：；（3）结论：，．理由：∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：．（2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明．（3）如图③，，，求的最大值．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）【分析】（1）证明，则；（2）证明，则，，证明，则，，由，可得，即；（3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值．【详解】（1）证明：∵，∴，即，又∵，∴，∴；（2）解：，证明如下：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即；（3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．

由（2）知：，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴最大值为，∴的最大值为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键．【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】（1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值．【类比探究】（2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：．（3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答；（3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，即．（2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．（3）∵，，∴，∴，即，∴，设，在中，，同理，在中，设，则，∴，，即，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．类型三、“K”字模型（相似模型）例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）．【探究】如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．（1）求证：；（2）若，求的长．【应用】如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E．（3）当是等腰三角形时，直接写出的长【答案】（1）见解析（2）或（3）4或．【分析】（1）证明即可．（2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可．（3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，设，则，∴，整理得，解得，∴或．（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，设，则，∵是等腰三角形，且，故只有两种情形解答，具体如下：当时，∴，∴，∴；当时，则，∴，∴，设，则，根据前面证明，得，∴，∴，解得，∴；综上所述，的长为4或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为AB边上一点，连结过点E作交于点F．①求证：．②若，，E为AB的中点，求的长．（2）如图②，在中，，，，为AB边上一点（点不与点A、B重合），连结CE，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？

【答案】（1）①见解析；②;（2）或【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键．（1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解；【详解】（1）①证明：由题意得：∴∴∴②解：∵，∴∵E为AB的中点，∴∴∴（2）解：∵，，∴∵∴∴∴∴∵，，∴∵为等腰三角形且∴若，则；若，则，∴；综上所述：或压轴能力测评（10题）一、填空题1．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为．【答案】6【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，，结合，即可判定，根据相似三角形的性质得到，进而求出即可．【详解】解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，点E为的中点，∴，∴，∴（负值已舍），∵，∴，∴，故答案为：6．二、解答题2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．3．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则，（2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．（3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值．【答案】（1），；（2）的值没有发生变化，证明见解析；（3）【分析】（1）由题意得，得到，又由得到，令，则可以表示出的长，再再求出，，的长，在进行计算即可得到答案；（2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理计算出的长，从而得到，由旋转可知，从而得到，即可得到的值；（3）连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，通过，可求出，作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，从而得到，再通过，即可求得，从而可得到的长，再由勾股定理求出的长，最终可求出的最小值．【详解】解：（1），，∴，，，设，则，，，，，，∵，∴，∵，故答案为：，；（2）的值没有发生变化，证明：由（1）得：，，令，则由题意得：，，，，，，，，，，的值没有发生变化；（3）解：，，，如图4，连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，，，，，，作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，，，，，，，，，，，，，，的最小值为：．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定与勾股定理解三角形，熟练掌握并运用三角形相似的性质与判定，正确地作出辅助线是解题的关键，此题难度较大，属于压轴题．4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明；（2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；（3）证明，根据相似三角形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：在中，，，，则，，设，则，在中，，则，∵，，∴，∴，即，解得：(舍去)，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键．5．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键．（1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可．【详解】解：（1）证明：，，，，，又，，，；（2）结论仍成立；理由如下：，又，，，，又，，，；（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，．6．（23-24八年级下·山东青岛·期末）已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：(1)如图，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是__________；(2)如图，若，，线段与线段的数量关系为__________；(3)如图，若，，线段与线段的数量关系为__________；(4)在（）的条件下，当，，点，，在同一直线上时，__________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（）由和均为等边三角形，可得，，，故，即得，从而；（）由，，可得，，故，即得，从而，；（）由，，可得，，故，有，从而；（）根据在同一直线上，可得，故，由（），可得．【详解】（1）∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为:；（3）∵，，∴，都是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（4）∵在同一直线上，∴，∵，，∴，由（）知，，∴故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求CF的长度为．（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．【答案】（1），（2）；（3），【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．（1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解；（2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解；（3）延长到点P使，连接，过点C作，利用等腰三角形三线合一和解三角形求出，再证明，得即可求解．【详解】解：（1）∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，故答案为，（2）如图，过点作垂足为H，同理（1）得：，∴，∵在矩形中，，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，即：，∴，解得：，∴，，，∵四边形的面积=矩形的面积，∴四边形的面积=．（3）延长到点P使，连接，过点C作，∴，，∵，，，∴，，∴，∴，∵且，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，（不合题意舍去）∴【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．8．（2023·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据得到，求出，即可证明结论；（2）先证明，根据相似三角形的性质进行求解即可；（3）根据角平分线的特点，在上截取，连接，构造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：（1）平分，，，，，，，平分；（2），，，，，，，，；（3）在上截取，连接，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．9．（2024·广西南宁·二模）综合与实践【问题情境】在《综合与实践专题》课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）【数学思考】（1）当时，延长DE交AC于点G，求证：四边形BCGE是正方形；【深入探究】