2024-2025学年云南省昆明市某中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南大学附中高三(上)期中

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知i为虚数单位，复数z满足z(l+2i)=3-4。贝U|z|=()

A.3B.A/3C.5D8

2.已知p：|2x-3|<1,q：(x-l)(x-3)<0,则p是^的()条件.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量2,办满足⑷=1,\a+2b\=2,S.(b+2a)1b,则日|=()

A.1B*egD.1

4.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是()

甲乙

87909691869086928795

A.甲选手射击环数的极差小于乙选手射击环数的极差

B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数

C.甲选手射击环数的方差小于乙选手射击环数的方差

D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数

5.已知函数/(久)的部分图象如图所示，则/(久)的解析式可能为()

ex_e-xex_p-xexIe-xX

=3^4WC.f(x)Dj(x)=g

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6.PA,PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直c

7.在椭圆E：+普=1上任取一点P,过点P作x轴的垂线段P。，垂足为D,点M满足丽=诃，当点P在

E上运动时，则点M的轨迹方程为()

A.x2+y2=25B,x2+y2=9C.费+萼=1D.+y=1

8.已知田,久2是函数f(x)=(%-2)©-2-1)-60-2+1)的两个零点,则呼1+*2=()

A.1B.eC.e2D.e4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=cosx+cos2x,则下列说法正确的有()

A.函数fO)为偶函数B.函数/'(久)的最小值为-2

C.函数/(%)的最大值为2D.函数/(%)在(0,2兀)上有两个极值点

10.己知F为抛物线C：y2=4x的焦点，C的准线为Z,直线x-y-l=0与C交于4B两点(力在第一象限内)，

与I交于点D,贝1()

A.\AB\=6

B.\BD\=V2|BF|

C.以4F为直径的圆与y轴相切

D」上存在点E,使得△4EF为等边三角形

11.已知函数f(久)=^x3-ax2-3ax+b,其中实数a,bER,且a>0,贝!|()

A.当a=1时，f(x)没有极值点

B.当/。)有且仅有3个零点时，(-|,9)

C.当b=?a时，/(x+1)为奇函数

D.当me弓+8+8)时，过点4(0即)作曲线/(%)的切线有且只有1条

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知等差数列｛的J的前几项和为Sn,。1+。2+。3=1，。10++。12=7,则S12=・

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13.在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,其中c=4,NC为锐角，△ABC的外接圆半径为2

的，且满足2sin(B+$=c-2避cosA,则角4等于.

14.哈三中2024—2025年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目：已知力，B是两个随机事件，且

0<PQ4)<1,0<P(B)<1,给出5个命题如下：

①若尸(A)+P(B)=1,则事件4B对立；

②若事件4与8独立，贝UP(4B)=PQ4)P(B)成立；

③若PQ48)=P(AB)=P(AB)=P(AB),则事件4B相互独立，且PQ48)=)；

由于印刷原因，其中命题④⑤漏印了.

若老师说某考生在5个命题中任选两个命题，其中真命题的个数X的方差为言，则④⑤中真命题的个数为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图所示，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为正方形，E为侧棱PC上靠近P的三等分点，P41底面

ABCD,且P2=4。=2.

(1)在侧棱PD上是否存在点F,使得点4B,E,F四点共面？若存在，指出点尸的位置，并证明；若不存

在，请说明理由；

(2)求二面角PYB-E的余弦值.

16.(本小题15分)

已知函数/(x)=lnx—x,g(x)=ax2—2ax,a>0.

(1)设曲线y=f(x)在(1/(1))处的切线为若2与曲线y=g(x)相切，求a；

(2)设函数低吗=/(x)+g(x),讨论h(x)的单调性.

17.(本小题15分)

为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学

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校进行研究，得到如下数据：

①从这10所学校中随机选取1所，己知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑

雪”超过30人的概率；

(II)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2

所，设“基地学校”的个数为X,求X的分布列和数学期望；

(III)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训.并专门对这3个动

作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优

秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为看每个动作互不影响，每轮

测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少

轮测试？(结论不要求证明)

18.(本小题17分)

通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式,例如：cos3a=cos

(2a+a)=cos?.acosa—sin2asina=(2cos2a—l)cosa—2.sin2acosa=4-cos3a—3cosa.

(1)根据上述过程，推导出s讥3a关于sizia的表达式；

(2)求s讥18。的值；

(3)求sin3126。+sin36。-sin366。的值.

19.(本小题17分)

己知双曲线C：*，=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,且仍得=8,过尸2作其中一条渐近

线的垂线，垂足为M,延长F2M交另一条渐近线于点N,且|F2Ml=\MN\,

(1)求C的方程；

(2)如图，过4(6,0)作直线/不与“轴重合)与曲线C的两支交于P,Q两点，直线％P,FiQ与C的另一个交点

分别为S,T,求证：直线ST经过定点.

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参考答案

l.D

2.2

3.C

4.B

5.4

6.C

7.4

8.D

9.AC

10.BC

ll.BCD

12.16

13《

14.0或1

15.解：(1)取PD上靠近P的三等分点凡连接EF,AF,

因为E为侧棱PC上靠近P的三等分点，

所以需=舒4'所以政〃C。，

又底面4BCD为正方形，所以CD〃/1B,

所以E/7/48,所以A,B,E,F四点共面；

(2)因为底面4BCD为正方形，所以力B1AD,

因为PA1底面ABC。，AB,ADu底面ABC。，

所以PA1AB,PA1AD,

所以4B、AD,2P两两垂直，

故以力为原点，以AB、AD,4P所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

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3

PA=AD=2,

则4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(|,翁,

费=(2,0,0),族=(|翁，

设平面45E的法向量为记=(x,y,z),

(m-AB=0口」/=94

人nl“方•族=o，即+|y+^z=。，

取y=-2,则％=0,z=1,则布=(0,—2,1),

易得平面的法向量为元=(0,1,0),

因为二面角P-AB-E是锐角,所以二面角P-4B-E的余弦值为库具=告=挛.

16.解：(i)r(x)=~i,r(i)=o,且/(i)=—i,

所以曲线y=/(x)在(1/(1))处的切线为y=—1,

贝仁=ax2-2ax>^x2-2ax+1=0,

因为y=-1与g(%)=Q%2—2。%相切，

所以/=4a2—4a=0,得a=0(舍)或a=1；

(2)/i(x)=/(%)+gQ)=Inx—x+ax2—2ax=Inx+ax2—(2a+1)%的定义域为(0,+8),

则〃(无)=^+2ax-(2a+1)=2a工2-(2：+1)久+1=(2=一；)(久一1),

因为a>0,

令h(%)=0,得久=1或久=—,

当0<a时,击>1,当尤G(0,1和点+8)时，h!(x)>0,函数<x)单调递增,

当Xe(1唠-1)时,八'(久)<0,函数h(久)单调递减，

当。>拊，/<L

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所以当x6(0,为和(1,+8)时，h'(x)>0,函数九(x)单调递增，当久6(J)时,h'(x)<0,函数九(无)单

乙CC乙CL

调递减，

当a=3时，h'(x)>0,当久=1时取等号，函数h(x)在(0,+8)上单调递增，

综上所述，0<a<手寸，以久)的单调增区间为(0,1),(2,+8),单调减区间为(1,*)；

a=，时，八(久)的单调增区间为(0,+8),没有减区间；

a,时，以久)的单调增区间为(0卷)，(1,+8),单调减区间为扇1).

17.解：①设参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校为事件4参与“单板滑雪”超过30人的学校为事

件B,则P(4)=2=|，P(B)=*|,P(AB)=.

3

所以P(B|4)=号符=?=|；

(n)由题知，“基地学校”有4个，贝吸的可能取值为o,1,2,

所以P(x=o)=警=蔡/

P(X=1)=警=评AP(X=2)=需眷看

所以X的分布列为

X012

182

P

31515

1Q24

所以E(X)=0x1+lx^+2x^=-;

(卬)因为李华同学一次测试达到优秀的概率p=髭x(|)2x(1-|)=谖,

则设李华同学测试获得优秀的次数为丫，贝W〜B(n,急，

因为E(y)=黑71>5,解得n>11||,

因为neN+，所以至少要进行12轮测试.

18.解：(l)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

=2sinacos2a+(1—2sin2a)sma

=2sincr(l—sin2cr)+(1—2sm2cr)sincr

=—4sin3a+3sina.

(2)因为36。+54°=90°,所以s讥36。=cos540,

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即sin(2x18°)=cos(3x18°),可得2s讥18°cosl8°=4cos318°—3cosl8°,

因为cosl80H0,所以2s讥18。=4cos218。-3,nj^2sml8°=4(l-sin218°)-3,

整理得4s讥218。+2sml8°-l=0,

因为s讥18。>0,所以s讥18。二非—.

4

(3)由(1)得sin3a=-sina--sin3a,

所以sin3126。+sin36°—sin366°

3i313i

=7sml26°-4sin378°+^sin6o-^sinl8°-^sin660+：sinl98。

444444

=^3(sml26°+sm6°-sm66o)-^i(sin378°+sinl80-sml98°)

=1[sin(120°+6°)+sm6°-sin(60°+6°)]-i[sin(360°+18°)+sml8°-sin(180°+18°)]

=^(^-cos6°—^sin6°+sin6—^-cos6°~sin60>)-sinl8°

=-■18。=令

19.解：（1）易知双曲线c的渐近线11：y=宗，渐近线。y=-%

易知△Fz。"三4N0M,

所以“2。用=LN0M,

由双曲线对称性可得4/2。用=N%0N,

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所以4F20M=^N0M=（F]0N,

TT|-Xc|

止匕时4尸2。"=3，F2M=[Ry+]=4

在RtZ\F2。“中，sinNFzOM=?=3=多,

解得b=2平,

所以M=c2—b2=42—12=4,

22

则c的方程为a-3=1;

4IN

(2)证明:不妨设PQi,yi),。()2沙2)，5(x3,y3),(。必),直线PQ的方程为y=k(x-6),

则直线PS：y=五%0+4），

'y=^T（x+4）

联立Nyi_,消去y并整理得［3（