2024-2025学年银川某中学高一数学上学期期中考试卷（附答案解析）

银川一中2024/2025学年度（上）高一期中考试

数学试卷

命题教师：朱建锋

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1,已知集合”=｛（2心—一2X+1｝I=｛（2）"=2X-3｝,C=NC8,则0的真子集的个数为

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

y=x2-2x+l,

【分析】联立方程组得必一4x+4=0有一解，即C有一个元素，即可求解.

y=2x-3,

y=x2-2x+l,_

【详解】联立方程组上，整理得必一4X+4=0,解得X=2,

y=2x-3,

则。=｛（2』）｝,故。的真子集的个数为1.

故选：B.

2.已知点（。,27）在塞函数/（》）=（4一2）%"'（4,机61<）的图象上，则口+机=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】直接由哥函数的定义列方程组即可求解.

。-2=1a=3

【详解】由题意〈...=>a+m=6.

a"'=27[m=3

故选：C.

IVI

3.函数y=x的图象是（）.

x

【答案】c

【解析】

【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断.

|x|x+l,x>0

【详解】v=x+对比选项可知，只有C符合题意.

x[x-l,x<0

故选：C.

4.函数〃x)=一2工的单调递减区间是()

A.[-1,0]B,[0,1]C,[2,+8)D.(-oo,2]

【答案】A

【分析】求得/(x)的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.

【详解】函数一2》中,—必一2》之0,解得—24xW0,

又y=—X?一2%的开口向下，对称轴方程为％=-1,

函数y=———2x在［―1,0］上单调递减，在［—2,-1］上单调递增，又了=«在［0,1］上单调递增,

因此函数_2x在［-1,0］上单调递减,在［-2,-1］上单调递增，

所以函数/㈤=J-x1-2x的单调递减区间是［T,0］.

故选：A

5.已知。，b,c,d均为实数，则下列命题正确的是()

A.若a>b,c>d,则Q+b>c+dB.a2>b2则一〃

C.若c>Q>b>0,则——>bD.若Q>6>0且加>0,贝！ja+m>—

c-ac-bb+mb

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.

【详解】选项A,取。=1,b=0,c=2,d=\,则a+bvc+d,A错误；

选项B,当。二一1,b=0时，/〉力2,但一。>一^,不成立，B错误；

ab

选项C,当c>a>b>0时，---->-----=a(c-b)〉b(c-a)=ac>be=a>b,

c—cic—b

C正确；

h+YYIha+ma

选项D,根据糖水不等式可知—>->0,再根据倒数不等式可得^~D错误.

a+mab+mb

故选:C.

6.函数y=/(x)为定义在R上的减函数，若则()

A./(a)>/(2a)B./(a2)>/(a)

C./(a2+a)</(a)D./(a2+«)>/(a+1)

【答案】C

【解析】

【分析】根据/(x)是定义域R上的减函数，且a70,然后比较a与2a的大小关系，从而得出选项A错误

比较/与a的大小即可得出选项B错误；可得出/+a〉a，从而得出选项C正确；比较/+々,。+1大小

即可判断D.

【详解】•••y=/(x)是定义在R上的减函数，aa0,

a与2a的大小关系不能确定，从而/(a),/(2a)关系不确定，故A错误；

a2-a=a(a-V),a>l时，/〉口；0<。<1时，/<。，故/(/b/(4)的关系不确定，故B错误;

a~+a-a-a2>0>:.a2+a>a>'''/(q2+a)</(fl)>故C正确.

a~+a—a—1=a~-1=(a+l)(a—1),a>l时，a2+a>a+1；0<a<l时，a2+a<a+1>故

/(/+a),/S+i)关系不确定，口错误，

故选：C.

7.已知函数/(x)=F-2x^-°在(加，加+1)上单调递增，则实数切的取值范围为()

—x—2x,x<0

A.(-oo,-2]U[l,+®)B.[-2,1]

C.(-co,-l]u[2,+oo)D,[-1,2]

【答案】A

【解析】

【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出加取值范围.

"~2x^X-°的图象，如图所示，所以要使函数在（加，加+上单

【详解】画出分段函数/（》）=</（X）1）

-x-2x,x<0

调递增,

则加N1或加+1W—1,解得加或加工一2,所以实数加的取值范围为（一0°,一2川［1,+8）.

故选：A

8.定义max{a,"c}为a,6,c中的最大值，设力（x）=max卜2,：苍6-》卜则人（力的最小值为（

).

【答案】D

【解析】

【分析】分别画出y=x2,y=§x,y=6-x的图象，即可得函数攸X）的图象，根据图象分析最值.

【详解】分别画出y=x24=§x,j；=6—x的图象，则函数九（X）的图象为图中实线部分.

由图知：函数h（x）的最低点为力,

8

y=

y=6-x

所以八（x）的最小值为五.

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列说法中正确的有（）

12*4

A.命题p3x0eR,Xg+2x0+2<0"则命题P的否定是VxeR,x+2x+2>0

11

B.“一〉一”是“％<广’的必要不充分条件

xy

C.命题“VxeZ,/〉0”是真命题

D.<0”是“关于龙的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件

【答案】AD

【解析】

【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判

断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.

【详解】对于A,命题?的否定是VxeR,X2+2X+2>0,故A正确；

对于B,由一〉一可知由两种情况，①肛>0且>>x；（2）y<0<x,

xy

1111

故一〉一不能推出x<y,由X<y也不能推出一〉一,

XyXy

11

所以一〉一是x<y的既不充分也不必要条件，故B错误;

xy

对于C,当x=0时，x2-0<故C错误;

4—4加〉0

对于D,关于x的方程入21+“。有一正一负根，则机（。，解得腔。・

所以"<0"是"关于x的方程一一2%+加=0有一正一负根”的充要条件，故D正确.

故选：AD.

10.已知函数/(G+1)=》+24，贝!］()

A./(x)=x2-l(xeR)

B./(x)的最小值为0

C./(2x-3)的定义域为［2,+8)

D.的值域为(T+8)

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数/(x)的解析式，再逐项判断即得答案.

【详解】由/(4+1)=X+24=(4+1)2-1,而6+121，

所以/(x)=》2—1(x21),故A错误；

当x21时，/(x)=x2-l>0,因此/(x)的最小值为0,故B正确；

在函数/(2x-3)中，2x—321,即x22,

所以函数〃2x-3)的定义域为［2,+8),故C正确；

/—］=二一1,由一21,即0<xWl,

XX

所以4e［l,+s),所以的值域为［0,+“)，故D错误.

X\Xy

故选：BC.

V—3

11.已知函数/(x)=-------,则()

2x—8

A./(x)的定义域为(―8,4)U(4,+CO)B,/(x)的值域为［一叫

C./(x)的图象关于点〔4,g］对称D.若/(x)在(a,a+l)上单调递减，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式

可判断D

【详解】由2x—8wO得XH4,所以/(X)的定义域为(一8,4)D(4,+OQ),A正确;

由/(x)=及/0,

''2x-82x-822x-82x-8

可得/(x)的值域为［-*万］D15，+Q0］，B正确；

/(x)='+」下的图象可由奇函数歹=；的图象向右平移4个单位，

22x—82x

再向上平移g个单位得到，所以/(X)的图象关于点［4,对称，c正确；

/(x)在(a,a+1)上单调递减，则a»4或a+l<4,即a»4或a<3,D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(x)为R上的偶函数，当x>0时，/(X)=X2+2X-3,则x<0时，/(x)=

【答案】X2-2X-3

【解析】

【分析】根据题意，当x<0时，-x>0,由函数的解析式求出/(-x)的表达式，结合奇偶性分析可得答

案.

【详解】解：根据题意，当x<0时，-x>0,

则=(-x)2+2(-x)-3=X2-2X-3,

又由函数/(x)为R上的偶函数，则/(x)=/(-X)=X2-2X-3.

则x<0时，/(x)=x2-2x-3.

故答案为：x2-2x-3-

x+l,x<0

13.已知函数/(x)=<,则/(3)的值等于

/(x-l)-/(x-2),x>0

【答案】-1

【解析】

【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可.

【详解】由分段函数可知，/(3)=/(2)-/(1),

而/(2)=/⑴—/(0),

.•"⑶=/(2)-/(I)=/(1)-/(0)-/⑴=-/(0)=-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查分段函数求值的问题，属于基础题.

14.若函数/(x)在定义域［见可上的值域为"⑷,/他)］,则称/(x)为“Q函数”.已知函数

、［5x,0<x<2

/(x)={2,C“是“。函数”，则实数加的取值范围是(用区间表示)

【答案】［10,14］

【解析】

/、f5x,0<x<2

【分析】根据“。函数”的定义确定/(x)=2，c，的值域为［0,加］,结合每段上的函数的

'/x-4x+m,2<x<4

取值范围列出相应不等式，即可求得答案.

,、［5x,0<x<2

【详解】由题意可知/X=2“c"的定义域为［0,4］,

x-4x+m,2<x<4

〃/、f5x,0<x<2/、/、

又因为函数/(x)=<j249<4是“Q函数”，故其值域为［/(0),/(4)］；

而/(0)=0,/(4)=加，则值域为［0,切］;

当0WxW2时，/(x)=5xe[0,10],

当2cx<4时，/(x)=x2-4x+m,此时函数在(2,4］上单调递增，则/(x)e(加一4,加］,

,、5x,0<x<20<m-4<10

故由函数/(X)={2“c”是“C函数”可得《

'7x2-4x+m,2<x<4m>10

解得10W加<14,即实数冽的取值范围是［10,14］,

故答案为：［10,14］

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(1)求函数y=(x+5)(x+2).〉_］)的最小值;

x+1

19

(2)已知x>0,y>0且一+—=1,求使不等式x+y2机恒成立的实数小的取值范围.

xy

【答案】(1)9；(2)m<16

【解析】

【分析】(1)对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；

(2)先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；

【详解】(1)由X〉一1,得x+l>0,

田吟,-(X+5)(x+2)_[(x+l)+4][(x+1)+1]

囚此y二----------------------------------

x+1x+1

=(x+1)2+5(x+1)+4=x+l+—+5>2A/4+5=9,

x+lx+1

4

当且仅当X+1=——，即x=l时取等号，所以原函数的最小值为9.

X+1

191

(2)由一+—=1,

xy

则"+片(^)&)1。+三+台1。+2配

=16.

x+v=16

当且仅当｛x=4

9x=y即《，♦时取到最小值16.

3=12

、Jx

若x+机恒成立，则m<16.

x+2,x<-1

16.已知函数/(X)的解析式为/(x)=<X2,-1<X<2

-x+6,x>2

(1)画出这个函数的图象，并解不等式/(x)<2；

(2)若直线歹=左(左为常数)与函数/(x)的图象有两个公共点，直接写出上的范围.

【答案】(1)图象见解析，｛x|x<收或x〉4｝

(2)左<0或1(左<4

【解析】

【分析】(1)根据解析式画出图像，结合图像即可求解不等式;

(2)由图像即可求解.

【小问1详解】

根据分段函数的解析式，画出函数的图象,

当-1时，x+l<l,所以/(x)<2恒成立,

当一l<x42时，x2<2-V2<x<42>所以—l<x<JL

当x>2时，一%+6<2=%>4,所以x>4,

综上可知，或%>4,

所以不等式的解集为｛X卜(后或X>4｝；

【小问2详解】

如图，歹=左与J=/(x)有2个交点，则左<0或1(左<4.

17.已知函数/(x)=ax+6是R上的奇函数，且/⑴=2.

(1)若函数〃(》)=/+机•/(乃在区间［2,+8)递增，求实数加的取值范围;

⑵设g(x)=e+26+1(左wo),若对1,1］,Bx2e［-1,2］,使得/(xj=g(9)成立，求实

数上的取值范围.

【答案】(1)［-2,+co);

(2)(-oo,-l］U［3,+oo).

【解析】

【分析】(1)利用奇函数求出/(X),再利用二次函数单调性求出机的范围.

(2)分别求出函数/(x)在［-L1］上的值域、函数g(x)在区间［-1,2］上值域，利用集合的包含关系列式求

解即得.

【小问1详解】

f(0)=b=0［a=2

由函数/(x)="+b是R上的奇函数，且/⑴=2,得［二］解得「A，

j(l)=a+b=2［6=0

由函数人(%)=x2+2加工在区间［2,+00)上单调递增，得-m42,解得加2-2,

所以实数冽的取值范围是［-2,+8).

【小问2详解】

对于f(x)=2x,当xe［-1,1］,f(x)的值域为［一2,2］,

由对7%《［一1,』,*2e［—1,2］,使得/(xj=g(x2)成立，

得函数/(x)在区间［T』］的值域为g(x)在区间［-1,2］上值域的子集，

g(x)=kx2+2kx+\(kw0)的对称轴为x=-1,

当先＞0时，函数g(x)在区间［-1,2］上单调递增，g(x)的值域为［1-左,1+8打，

f-2＞l-k

由卜2,2仁［1-左,1+8打，得2＜；+8左’解得左之3；

当左＜0时，函数g(x)在区间［-1,2］上单调递减，g(x)的值域为［1+8左,1-句，

「1「1—221+8k

由［-2,2仁［1+8左,1—左］,得2＜i—左，解得左(一1，

所以实数左的取值范围(一“，-

18.已知函数/(x)=3x+X

(1)证明：函数/(x)是奇函数；

(2)用定义证明：函数/(x)在(0,+e)上是增函数；

(3)若关于光的不等式/(以2+3办)+/(1-办)20对于任意实数》恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)[0川

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；

(2)根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；

(3)根据题意，得到函数/(x)为定义域R上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为

。必+34》2。》-1对于任意实数无恒成立，分。=0和awO,结合二次函数的性质，列出不等式组，即

可求解.

【小问1详解】

证明：由函数/(x)=3x+/y

可得其定义域为R，关于原点对称,

又由〃"3x一言=—(3x+点).()

所以函数/(X)为定义域R上的奇函数.

【小问2详解】

X1

证明：当工£(0,+8)时，f(x)=3x+----=3x+l------，

X+1X+1

任取国,％2£(°，+8)，且再＜X2,

可得/(再)一/(%2)=3%1+1-------(3X2+1-------)=3(石—x2)+(-----------7)

玉+1x2+1工2+1再+1

=3(…々/Hr(…)F+gik+i)]

因为国,％2£(°，+°°),且再<%2，可得占一工2<0，(工2+1乂西+1)>0，

所以/(再)—/(/)<0，即/(七)</(》2)，

所以函数/(x)在(0,+8)上是增函数.

【小问3详解】

因为函数/(x)为定义域R上的奇函数，且在(0,+8)上是增函数，

所以函数/(x)在(-。,0)上也是增函数，

又因为/(0)=0,所以函数/(x)在R上是增函数，

又由/(ax2+3ax)+f(1-ax)>0,可得/{ax1+3ax)>-f(1-ax)=f(ax-1),

因为不等式/(aY+3")+/(1-办)20对于任意实数x恒成立，

即不等式/(ax2+3ax)>于(ax-1)对于任意实数无恒成立，

可得不等式ax2+3ax>ax-l对于任意实数无恒成立，

即不等式ax2+2办+1N0对于任意实数x恒成立,

当。=0时，不等式即为1»0恒成立，符合题意;

Q〉0

当QW0时，则满足/、解得0<Q<1,

卜=伽)-4(2<0

综上可得，即实数〃的取值范围［0,1］.

19.设函数y=/(x)的定义域为河，且区间/口拉.若函数y=/(x)+x在区间/上单调递增，则称函

数/(X)在区间/上具有性质/；若函数y=/(x)-x在区间/上单调递增，则称函数/(X)在区间/上具

有性质B.

⑴试证明：“函数/(x)在区间/上具有性质2”是“函数/(x)位区间/上单调递增”的充分不必要条

件；

(