2024-2025学年新疆乌鲁木齐市高二年级上册期中联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年乌鲁木齐市高二上学期期中联考数学检测试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知直线/过点尸（2,G），0（5，—26），则直线/的倾斜角（

)

兀712兀5兀

A.6B.4C.3D.6

平行线》—与)

2.2P+3=04x—2+7=0间的距离为（）

V5Vio475

而B.TC.而

AD.5

3.已知圆—"+19=°的圆心为C,0为坐标原点，则以℃为直径的圆的标

准方程为（）

222

A(x-2)2+(V+1)=5b(x-2)+(y+1)=20

22

C(x+2)2+(了-1)2=20D(X+2)+(J-1)=5

4.已知向量"=G4°/)石=&，、回，3),则&在B方向上的投影向量的模为()

_5_57_9_

A16B.4C,4D.16

22

」+上=1

5.“2〈加＜4，，是，，方程4-加m-2表示椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件

6.在空间四边形。43c中，OA=a,OB=b9OC=c,且4A/=2MC,BN=2NO,

贝UMN二()

1一2-2-

——a+—b——c

333B.333

2-1一2-1-12-

——a+—b——c——a+—b7——c

C.333D.333

7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m的圆形区域，一名人员持手机以每分钟

50m的速度从设备正东200百m的A处沿西偏北30°方向走向位于设备正北方向的2处,

则这名人员被持续监测的时长约为()

A.2分钟B.3分钟C.4分钟D.5分钟

-7+^5"=1(。〉b〉0)2212

8.已知椭圆。b的右焦点为尸，过点尸的直线与圆x+了="相切于点

E且与椭圆相交于“、N两点，若£、/恰为线段"N的三等分点，则椭圆的离心率为

()

V5V52

A3B.5c,4D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知椭圆927，则()

A.椭圆o的长轴长为6gB.椭圆°的一个焦点为G&，°)

C.椭圆C的短半轴长为6D.椭圆°的离心率为3

10.空间内有四点P(9,8,5),E(2,1,1)I(121),N(1,1,2),则()

A.点尸到直线EF的距离为B.点尸到直线所的距离为3夜

C.点尸到平面的距离为5百D.点P到平面£网的距离为

11.已知圆°：/+/—4》+2>+1=0与直线/:4x—3y+机=0,点2在圆c上，点0在

直线/上，则下列说法正确的是()

A.若加=9,则直线/与圆C相切

B,若圆°上存在两点关于直线/对称，则机=-11

C.若则1尸。京=3

D.若"。14,从。点向圆C引切线，则切线长的最小值是回

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/垂直于直线x+2y-l=°,且过点尸(-2,3),则直线/的斜截式方程为

；在x轴上的截距为.

cUi

13.经过椭圆,324的左焦点片的直线交椭圆C于48两点，8是椭圆°的右焦

点，则△48乙的周长为.

14.在直三棱柱ABC—481G中，ZBCA=90°，M,N分别是4片,4G的中点，

BC=CA=^CC[

2,则BM与AN所成角的余弦值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.求符合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)一个焦点为(6°),长轴长是短轴长的2倍；

⑵经过尸&"2道)。(2,3到两点.

16.如图，在四棱锥/一BCE。中，底面8CE。为直角梯形，DE^BC,DELCE,

AD=BD=CD=BC,AC=41AE=GCE

(1)判断直线48与C。是否垂直，并说明理由;

(2)求平面4DE与平面4CD的夹角的余弦值.

17已知直线‘：("—4)'+(。+l)jv—3"+7=0,"eR

(1)证明直线/过定点，并求出该定点的坐标；

(2)若直线/'过(1)中的定点，且在歹轴上的截距与在％轴上的截距的绝对值相等，求直

线/'的方程.

18.如图，在棱长为2的正方体48co—481G2中，£为8C的中点，尸为底面

48CD内一动点(包括边界)，且满足4尸，口£

(1)是否存在点P,使得男尸〃平面,QB?

(2)求1的取值范围.

(3)求点尸到直线A6的距离的最小值.

19.已知圆沙经过，(3,3)，8(2,2/),C(2,-2V2)三点

(1)求圆沙的方程.

(2)已知直线/与圆犷交于M,N(异于/点)两点，若直线/"MN的斜率之积为2,试

问直线/是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。

2024-2025学年乌鲁木齐市高二上学期期中联考数学检测试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第三章3.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知直线/过点尸（2,扬，0（5，-2回，则直线/的倾斜角a=（）

兀7Z"2兀5兀

A.6B.4C.3D.6

【正确答案】C

【分析】由两点求出直线斜率，由斜率求倾斜角.

k__2^3-V3_

【详解】设直线/的斜率为左，则5—2，即tana=一百.

2兀

a=—

因为"HO,兀），所以3.

故选：C

2.平行线2x—J+3=°与4x-2y+7=°间的距离为（）

出45V10逑

A.10B,5C.1°D,5

【正确答案】A

【分析】由平行线间的距离公式求解即可.

【详解】方程2x7+3=。变形为4x-2歹+6=0

由平行线间的距离公式可得所求距离V42+2210.

故选：A.

3.已知圆厂+V+8x-4>+19=°的圆心为C,0为坐标原点，则以℃为直径的圆的标

准方程为（）

A（X-2）2+（y+l）2=5B.32）2+（y+l）2=20

（x+2y+3-1）2=20（X+2）2+（J-1）2=5

【正确答案】D

【分析】求出圆心C的坐标以及II,并求出线段℃的中点的坐标，由此可得出所求圆

的标准方程.

【详解】因为圆/+/+"-4了+19=0的圆心为°（工2）,

所以=7（-4-0）2+（2-0）2=2亚,

所以以℃为直径的圆的圆心为（一2」），半径为2

故所求圆的标准方程为（X+2）2+3T>=5.

故选：D.

4,已知向量♦一I'。'。']=G，局）,则方在3方向上的投影向量的模为（）

_5_579

A.16B.4c,4D.16

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得.

【详解】由5=(-4,0,1),B=(2,后3),得比留+g)+3,=4

5-6=-4x2+0x73+1x3=-5

所以不在B方向上的投影向量的模为出「

故选：B

上+上=1

5.“2〈加<4”是“方程4一机m-2表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件

【正确答案】B

4—m>0

<m-2>0

【分析】由方程表示椭圆可得〔4一加,加—2,求解可判断结论.

4—m>0

9<m-2>0

XI广二］

［详解］若方程4-加m-2表示椭圆，则［4一加力加—2,解得2（加<4且掰片3,

「上=1

所以“2<加<4”是，，方程4-加m-2表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B.

6.在空间四边形。/8C中，OA=a,OB=btOC=c,且4A/=2MC,BN=2NO,

则=（）

1-2-2-

二G+与+2"—a-\—b—c

A.333B.333

2-1一2-

——a+—b—c-匕+4-工

C.333D.333

【正确答案】D

【分析】以。4=口，OB-b,℃=c为基底，根据空间向量的加减运算，表示出曲，即

得答案.

【详解】由题意知在空间四边形中，°4=a,OB=b,°C=c,且而=2标，

BN=2NO

__2__i__

MNk=MA+1Dk+ONk=——~ACk-OAk+-OB

则33

=~-（0C-O4）-0A+-0B=--0A+-dB--0C

3v73333

1-12-

=——a+—b7——c

333,

故选:D

7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m的圆形区域，一名人员持手机以每分钟

50m的速度从设备正东200百m的A处沿西偏北30°方向走向位于设备正北方向的2处，

则这名人员被持续监测的时长约为（）

A.2分钟B.3分钟C.4分钟D.5分钟

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线幺5及圆的方程，利用点到直线的

距离公式及圆的弦长公式求解即得.

【详解】以设备的位置为坐标原点°,其正东、正北方向分别为％轴、V轴的正方向建立平

面直角坐标系，

则直线"：'=一§"-2°°”即x+岛一2°°百=°,圆0:八科=40000,

记从N处开始被监测，到M处监测结束，点。到直线48的距离为

KJ1MNl=2^\MO\2-\001I2=200,所以被监测的时长为50—4分钟,

-7+^5"=1（。〉办〉0）22,2

8.已知椭圆。b，的右焦点为尸，过点尸的直线与圆x+V=6一相切于点

E且与椭圆相交于河、N两点，若£、厂恰为线段"N的三等分点，则椭圆的离心率为

【正确答案】A

【分析】不妨设切点E在第一象限，点M在第一象限，记椭圆的左焦点为G,连接MG、

OE,利用中位线的性质可求出小俗］可得出MG,"/,利用椭圆的定义求出利

b_

用勾股定理可求得。的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值.

【详解】不妨设切点E在第一象限，点M在第一象限，记椭圆的左焦点为G,连接MG、

OE

由圆的几何性质可知OE1MN,

易知°、E分别为尸G、尸河的中点，则OE//MG,且|MG|=2|O£|=26,

所以，MGLMF,由椭圆的定义可得W卜2"|MG|=2a-2b,

由勾股定理可得+眼歼=M,即止+（2a-26）2="=4/一旧

b_2

整理可得3bl=2ab,可得a3,

因此，该椭圆的离心率为

故选：A.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率

e的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于°的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知椭圆927，则（）

A.椭圆c的长轴长为6GB.椭圆C的一个焦点为（31，°）

V6

C.椭圆o的短半轴长为6D.椭圆C的离心率为3

【正确答案】AD

【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.

【详解】因为a=3狗,b=3,c=3C,且椭圆C的焦点在歹轴上，

_c_V6

所以椭圆C的长轴长为6君，焦点坐标为(°，±3啦)，短半轴长为3,离心率a3.

故选：AD.

10.空间内有四点尸(9,8,5),E(2,1,1),E(1,2,1),N(1,1,2),则()

A.点尸到直线EF的距离为而4B.点尸到直线防的距离为3夜

C.点尸到平面E/W的距离为5百D.点夕到平面£两的距离为6G

【正确答案】AD

【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线、点到平面的距离.

—•u=10)

【详解】因为EF=(T/，°),所以环的一个单位方向向量为2.

因为"=(-8,-6,-4),所以点P到直线EF的距离为GF-印")2=V116-2=

VT14.

设平面EFN的法向量为"=("Z,因为£尸=(T』,0),EN=(-1,0,1),

EF•力=-%+y=0,

<

所以〔EN・万=T+2=0,令x=],得3=(1,1,1).

因为丽=(-8,-6「4),

\PF-n\_18

所以点P到平面£网的距离为

故选:AD.

11.已知圆C：Y+/—4x+2y+l=0与直线/:4x—3y+机=0,点尸在圆c上，点0在

直线/上，则下列说法正确的是()

A.若加=9,则直线/与圆C相切

B.若圆C上存在两点关于直线/对称，则机=-U

C.若，14,贝，尸。京=3

D.若〃。14,从。点向圆C引切线，则切线长的最小值是J万

【正确答案】BC

【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆°上存在两点关于直线

/对称可得直线/过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知的最小

值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，

可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误.

【详解】A.由题意得，圆。的标准方程为a",'。十］)？=勺圆心为C(2，—1),半径

r=2

|4x2-3x(-l)+9|

tZ=J~I,,1=4>2

・•・圆心C到直线1的距离,4-+(―3)2,

・••直线/与圆C相离，故A不正确.

B.若圆°上存在两点关于直线/对称，则直线/经过圆°的圆心，

4X2—3X(_1)+加=0._11,,-r--rit.

・•・v7，解得z加m一一11,故B正确.

■■--IP-

|4x2-3x(-l)+14|

d==5

22

若7.14,则圆心C到直线I的距离A/4+(-3)

「PQImin=5-2=3,故C正确

D.若/—14,从。点向圆。引切线，设-个切点为也连接CW,则“M。，如图

所示，

222

IWI=7K2I-|CM|=^\cQ\-4t

当C。，/时，31取得最小值5,此时取得最小值，即也0k=加2-4=同,

故D不正确.

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/垂直于直线》+2^—1=°,且过点尸（一2,3）,则直线/的斜截式方程为

；在x轴上的截距为.

_7

【正确答案】①.N=2X+7②.2

【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，求出斜率，点斜式得出直线方程，求截距即可.

【详解】因为直线x+2j—1=°的斜率为2,所以直线/的斜率为2.

因为直线/过点尸（一2,3）,所以直线/的方程为y—3=2（x+2）,即2x—y+7=0,

故直线I的斜截式方程为＞=2x+7,

77

X=——

令＞=°,解得2,所以在X轴上的截距为2.

_7

用y=2x+7.2

13.经过椭圆-324的左焦点片的直线交椭圆C于48两点，鸟是椭圆C的右焦

点，则的周长为.

【正确答案】16及

【分析】根据椭圆定义即可得结果.

【详解】由题意可知：。=4行,

因为上周+[4闾=2a=8&，忸周+忸闾=2a=80

所以的周长为16虚.

故答案为.16五

14.在直三棱柱"BC—451G中，/8C4=90°,M,N分别是4昂4G的中点,

BC=CA=—CC

2.,则BM与AN所成角的余弦值为.

亚工而

【正确答案】30##30

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值.

【详解】如图，以0】为坐标原点，G4，G4，GC的方向分别为X//轴的正方向，建立空

间直角坐标系，

不妨设8C=0=9CG=2,则40,2,26,5(2,0,2V2),M(l,l,0),N(0,1,0),

AN=（0,-1,-2V2）,=1,-2V2）,于是

/~7Tf~DA7\ANBM77^10

cos〈AN,BM）=_>「=-j==-----

1^11wI3A/W30

所以与4N所成角的余弦值为30.

7回

故答案为：30

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.求符合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）一个焦点为0，°）,长轴长是短轴长的2倍；

（2）经过叩"26）。（2,3百）两点.

22

工+歹-1

【正确答案】（1）4812

22

-------1--------1

（2）2416

【分析】（1）根据题意可得c=6,口=2b,结合/=〃+°2求得即可得方程;

（2）设椭圆的方程为机x+ny=1,代入点运算即可.

【小问1详解】

由题意知c=6，a=26,

因为/=62+°2,即4/=/+36,解得b=26,a=4A万，

一—1

且焦点在X轴上，所以椭圆的标准方程为4812.

【小问2详解】

设椭圆的方程为机X+股=1.

因为椭圆经过魄原2⑸。（2,30）两点，

mQj"+〃Q切=1m=16,

m-22+n(342^=1〃=(，

则〔V7，解得〔24

22

乙+土=1

故椭圆的标准方程为2416.

16.如图，在四棱锥力—8C即中，底面8CE。为直角梯形，DE^BC,DEVCEt

AD=BD=CD=BC,AC=6AE=®CE.

(1)判断直线4s与CD是否垂直，并说明理由；

(2)求平面与平面AC。的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)幺5和C。不垂直，理由见详解；

V5

(2)5

【分析】(1)根据已知条件可设计算出幺。的值，从而证明

到再由OE,CE可证£>£,平面NCE；所以建立空间直角坐标系，用坐标表

示向量方和函，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证.

(2)在第一问的基础上，分别求出平面40E与平面48的法向量，利用公式计算可得平

面ADE与平面ACD的夹角的余弦值.

【小问1详解】

N8和C。不垂直，理由如下：

设4E=CE=a(a>°),则/0=缶,

在△80中，BD=CD=BC,所以△BCD为等边三角形，所以/BCD=60°,

因为DELCE,D—BC,所以5CJ.CE,从而NDC£=30。，

CE2\/3V3

CD=-------=-----aDE-CExtan30=—a

所以在直角AOEC中，cos30°3,3,

m_2百

AD—----ci00

又因为NO=CD,所以3，所以在△£＞口中，满足。£一+=NO,

故△〃口为直角三角形，则。

又因为WCE,CEC4E=E,所以平面NCE；

因为ZC=夜4&=后。£,所以AC?=幺£2+虑2,所以CEL4E,

故以点E为坐标原点，EC,EA,ED所在直线分别为％轴，y轴，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系.

设。E=l,则AE=CE=6AC=娓;

所以E（0,0,0）/«,G,0）5（73,0,2）C2,0,0）Z）（0,0,1）

所以/5=g,-6,2）。。=6后0,1）所以方.5=_3+o+2wO,

所以48,而不成立，故4g和CQ不垂直.

【小问2详解】

由（1）可知CE上DE,AEp\DE=Et所以CE,平面/QE,

故EC=（五°，°）为平面ADE的-个法向量；

又注G8T），反=（百，0，—1）,设平面皿的法向量万=（"，）

n-DA=0VJjv—z=0

所以1心次=°,即［&-z=0,取2=百，则》=1,y=l,故〃=［』'"）,

设平面ADE与平面ACD的夹角为8,

nEC\

COS。=COS五,EC\

|H|X|EC|

所以

V5

所以平面NQE与平面/CD的夹角的余弦值为5

17已知直线l：（。—4）x+（a+l）jv—3,+7=0,"GR

（1）证明直线/过定点，并求出该定点的坐标；

（2）若直线/'过（1）中的定点，且在歹轴上的截距与在x轴上的截距的绝对值相等，求直

线/'的方程.

【正确答案】（1）证明见解析，（2」）

（2）x_2y=0或x+y-3=0或x-y-l=0

x+y-3=0

<

【分析】（1）整理方程为（x+y_3）a_4x+y+7=0,然后解方程组Nx—y-7=0可得

答案；

（2）分截距为0与截距不为0两种情况计算可求得直线/'的方程.

【小问1详解】

将直线I的方程整理为（x+N—3）。—4x+y+7=0,

所以直线/过直线x+V-3=0与4x-y-7=0的交点，

x+y-3=0[x-2

<<

联立方程组〔4x—y—7=0,解得U=l,

所以直线/过定点，其坐标为（2,1）.

【小问2详解】

-y—_1%

①当截距为0时，直线/'的方程为"2,即x—2y=0.

,—

②当截距不为0时，设直线/的方程为。b,

<aba=3,a=l,

则1同=打，解得i'=3或'=-1.

?=3x-

7_2--1=1

若〔"="则直线/'的方程为33,即x+y—3=o；

a—\

<

若〔'=T,则直线/'的方程为x_yT=0.

故直线/'的方程为X—2歹=0或x+y_3=0或x_y_l=O.

18.如图，在棱长为2的正方体"CD—中，E为8c的中点，尸为底面

Z6CD内一动点（包括边界），且满足4「工。后

⑴是否存在点夕，使得片P〃平面少。£?

（2）求此0的取值范围.

（3）求点「到直线2"的距离的最小值.

【正确答案】⑴存在，吟》

咯2后

⑵L

2#>

(3)5

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面D'E的法向量加，设尸（羽八°）,利用

BF上*,及4尸，能即可求出点尸坐标;

(2)由(1)知男尸=(一2歹/-2,-2),利用模长公式结合二次函数求值域即可求解；

(3)取中点为尸，则P点轨迹为线段㈤7,所以点尸到直线2"的距离的最小值就是

异面直线AF与*的距离，利用向量法求出异面直线AF与2"的距离即可.

【小问1详解】

如图，以。为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

由题意得用(2,2,2),。(0,0,0),2(0,0,2),£(1,2,0),

西=(0,0,2),瓦=(1,2,0),屏=(1,2,—2)

设平面DQE的法向量为切=(再，%，4),

DD-m=2Z]=0

<l

则[诙.成=石+2%=0,可取£=(—2,1,0),

设尸(x,y,0)(04xW2,0VyV2),所以率=(x_2j_2,—2),

又B]PLRE,所以x-2+2y-4+4=0,

即x+2y-2=0,所以与尸=(一2y,y—2,—2),

设存在点P,使得男尸〃平面DQE,

2ccc2c6

则印方=4f-2=0,解得"£贝J*2*2=—2*丁2),

则啮⑼

所以存在点尸，使得片P〃平面DQE

【小问2详解】

由⑴知与尸=(-2了/-2,-2),

所以的=即+3-2)2+4=4+8,

「21「2〕

_0,--,2

函数7=5〉2—4y+8在15」上单调递减，在15」上单调递增,

_2_36

=

当y5时，^min5,当Pv_2O时，，fmax_—'OUf),

所以L5

所以III的取值范围是

【小问3详解】

由⑴知点尸(居八°)满足x+2y-2=0,

取CD中点为尸，则「点轨迹为线段

所以点P到直线的距离的最小值就是异面直线/尸与