2024-2025学年天津市某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一百中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线十%+y+1=0的倾斜角为（）

A.?B.夸C.?D.

3366

2.已知两直线h：3%—4y+4=0和，2：6%+TTiy—2—0,若则租=（）

9

A.-8B.8C.-D.2

3.已知圆C1：炉+丫2-2乂+6y—i=0与圆。2：x2+y2+4x-2y-ll=0,则两圆的公共弦所在直线方程

为（）

A.3%—2y—6=0B.3%—4y—5=0C.%—4y—5=0D.%+2y-6=0

4.已知双曲线C：第—2=l（a>0]>0）的离心率为逆，则C的渐近线方程为（）

111

A.y=±2xB.y=±TZZXC.y=±-3xD.y=±T4%

5.双曲线C：苫|=1上的点尸到左焦点的距离为9,则P到右焦点的距离为（）

A.5B.1C.1或17D.17

6.已知圆M：x2+y2-2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2也，则圆M与圆N：（%-2^/2）2

+（y—l）2=25的位置关系为（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

22

7.设Fi，尸2分别是椭圆a+与=1（。>。>。）的左右焦点，过鼻的直线与椭圆交于4B两点，若△ABF?

的周长为16,且|28|的最小值为2,则椭圆的方程为（）

A.关+《=1B.关+[=1C.^+§=1D高+为=1

1681646486416

8.直线小久+y+爪=0与圆C：（久+3）2+产=9交于4、B两点，点E为中点，直线必

3x+4）/-12=（）与两坐标轴分别交于「、Q两点，则aERQ面积的最大值为（）

1623

A.YB.9C.10D.Y

9.设％,尸2分别是双曲线总d=l（a>0力>0）的左右焦点，P为双曲线左支上一点，且满足|PF1|=|%

F2\,直线P&与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）

A.|B.A/3C.2D.A/5

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二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知直线I过P(-2,-1),且与以4(-4,2),B(l,3)为端点的线段相交，则直线I的斜率的取值范围为

11.圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的标准方程为.

12.已知椭圆言+[=1的左、右焦点为八、&，P在椭圆上，且是直角三角形，这样的P点有

1Z6

______个.

13.已知曲线y=2_2x与直线=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是.

14.已知P是椭圆苧+必=1上动点，贝IJP点到直线八支+y—24=0的距离的最大值为.

15.已知椭圆C1：言+左=1((21〉历＞0)与双曲线。2：1一金=1(。2＞历＞0)有相同的焦点尸1、尸2，椭圆

__TT

C1的离心率为ei，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且NF1P&=§，则0送2的最

小值为______.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)

已知直线=：(m+4)x+(m+6)y-16=0与直线匀：6x+(m-l)y—8=0.

(1)当ni为何值时，。与%平行，并求h与G的距离；

(2)当爪为何值时，人与%垂直.

17.(本小题15分)

己知圆C过两点4(—1,1),5(1,3),且圆心C在直线x-2y+1=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点P(3,4)的圆C的切线方程；

(3)若直线/的横截距为a(a＞1),纵截距为b(b＞l),直线/被圆C截得的弦长为28，求成的最小值.

18.(本小题15分)

1

如图，己知三棱柱4BC—4道道的侧棱与底面垂直，AAr=AB^AC=1,AB1AC,M,N分别是C。，

BC的中点，点P在直线上，且无尸=44反；

(1)证明：无论2取何值，总有力M1PN；

(2)当4取何值时，直线PN与平面ABC所成角0最大？并求该角取最大值时的正切值；

(3)是否存在点P,使得平面PMN与平面4BC所成的二面角的正弦值为字，若存在，试确定点P的位置，若

不存在，请说明理由.

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Ai

19.(本小题15分)

已知椭圆胃+"=1Q>b>0)的离心率e=岑，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直

线，过点(-1,0),且与椭圆相交于不同的两点4B.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若线段4B中点的纵坐标右求直线/的方程.

20.(本小题16分)

已知椭圆C：+=l(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为M,。为坐标原点，A,B为椭圆C上不同的两

点，且当40,B三点共线时，直线M4M8的斜率之积为—

(1)求椭圆C的方程；

(2)若△O4B的面积为1,求|O4|2+|OB|2的值.

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参考答案

1.5

2.2

3.5

4.2

5.D

6.A

7.B

8.D

9.A

10.(—oo2,--]U4[+oo)

1l.(x-l)2+(y-l)2=2或(%+l)2+(y+1)2=2

12.6

14.V2+

15晅

16.解：(1)直线小(zn+4)%+(?n+6)y-16=0与直线％：6x+(m-l)y-8=0,直线。与G平行，则

f(m—l)(m+4)=6(m+6)々刀/曰r

(6x(-16)丰(-8)x(m+4y解得"=-5>

所以此时直线1i：x—y+16=0,l2：x-y-1=0,

所以。与12的距离为火吉I"=好.

\1+13

(2)由直线。与办垂直，

则6(m+4)+(m+6)(m—1)=0,解得m=-2或m=-9.

17.(1)解：因为圆心C在直线x—2y+1=0上，设圆心为C(因一l,t),

因为点力(一1,1)、B(l,3)在圆C上，

所以|C4|=\CB\,即，4严+«—1)2=，(2〜2尸+(t—3尸,解得t=l,

所以圆心C(l,l),半径r=|。*=2,

所以圆C的标准方程为：Q—l)2+(y—l)2=4；

(2)解:由(1)可得圆C：(久一l)2+(y—1)2=4,

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则圆心半径r=2,

因为(3-1)2+(4-1)2>4,则点P在圆C外，

当过点P(3,4)的直线斜率不存在，则直线方程为x=3,

圆心C到直线久=3的距离为2,故直线x=3为圆C的切线；

当过点P(3,4)的直线斜率存在，

可设直线方程y-4=k(久一3),gp/cx-y-3fc+4=0,圆心C到该直线的距离&=为碧=,

由直线+4=0与圆C相切，则&=「，即向=2,

可得4k2-12/c+9=4/+4,解得k=

此时，直线方程为了一4=总。-3),即5x-12y+33=0；

综上，切线的方程为久=3或5久-12y+33=0；

(3)解：•直线Z被圆C截的弦长为2避，

所以，圆心C到直线1的距离为d=—(75*=1,

又直线珀勺横截距为a(a>1),纵截距为>1),

则直线珀勺方程为2+?=1,即6久+ay-ab=0,

圆心C(l,l)到直线/的距离为d=也告黑=1,

整理可得ab+2=2(a+b),由a+b>2^/ab,得ab+2=2(a+b)>4y[ab,即(口^)2-44而

+2>0,

解得阿<2-逝或风>2+y/2,

因为a>Lb>1,贝！Jab>1,则刎22+避，故ab26+4也，

当且仅当｛:忘22+"时，即当a=。=2+"时，等号成立，

所以，ab的最小值为6+4也.

18.以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),公(0,0,1),Bi(l,0,l)，1g,1扣1),

&P="避1=2(10。)=(尢0,0)，AP=AAi+ArP=(尢0,1),PN=g

(1)证明：•・•痂=(0*),丽=6一破一1),

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.•.俞.丽=0+/一'=0,

二无论；I取何值，AM1PN.

(2)解：由题意知，平面4BC的一个法向量为记=(0,0,1),

sine=Icos<PN>I=W也，

当且仅当2/时，等号成立，

此时sin。取得最大值

由ee[0刍知，6也取得最大值，

••・tand=2,

故当4时，直线PN与平面4BC所成角。最大，该角取最大值时的正切值为2.

(3)解：假设存在点P满足题意，

由上可知,NM=(—1|,今，PN—(-1—2,^,—1),

-[%+]y+Jz=o

设平面PMN的法向量为元=(久,y,z),则[(/_#%+=0,

令x=3,得y=l+2/Lz=2-24,•••n=(3,1+2A.2-2A),

•.•平面PMN与平面48C所成的二面角的正弦值为岑，

|cos<m,n>|=7+(i"J/=[1-(牛/=，，化简得4M—144+1=0,

解得2=Z±375；

4

即而?=1±衿匹瓦，

故当点P满足中=在短耳瓦时，可使得平面PMN与平面2BC所成的二面角的正弦值为理.

42

19.解：(1)由题意可知2a=4,e=邑=胆,得c=y/^,b2=a2-c2,解得扶J,

所以椭圆的方程为苧+产=1.|X

(2)由题意可知直线斜率存在，

设&y=k(x+1),设3(%2,丫2)，

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联立方程组｛(2；器tI

消y得(1+4/c2)%2+8fc2x+4k2—4=0,

——8k2

,%1+%2-2

因为/>0._4k^1-+44k,

riX2-TT市

设力B中点坐标为(%o,y°),

所以配=为尹=1言:，所以yo=kQo+1)=]AN=!

所以k=寺或k=1,

当k另,48中点坐标为(一技)，直线昉程为：y-j=1(x+j),BP%-4y+1=0.

TTOJ3»O

当k=l,AB中点坐标为(一翼)，直线Z方程为：y—1=x+&,HPx-y+1=0.

20.解：(1)因为椭圆的短轴长为2,

所以2b=2,

因为M为椭圆的上顶点，

所以M(0,l),

当40,B三点共线时，

设4Qo,yo)，

此时B(—Xo,—y()),

可得*=*,—=*，

x

20

所以kMA-=/^=—一煮=T

x0

解得Q=2,

2

则椭圆C的方程为^+y2=1；

(2)4(孙月)，8(%>2)，

当直线4B的斜率不存在时，

则4B两点关于久轴对称，

此时％2=刈，yi=-yi>

因为△0aB的面积为1,

1

所以近1112yli=1,