2024-2025学年人教版七年级数学上学期期末专项复习：有理数（知识串讲+热考题型+试题训练）（解析版）

专题01有理数

。考点归纳

【考点01］正负数

【考点02］相反意义的量表示

【考点03】有理数的概念辨析

【考点04】有理数的分类

【考点05】有理数的大小比较

【考点06］数轴的三要素及其画法

【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【考点08】数轴上两点之间的距离【考点题型九】数轴上的动点问题

【考点09］相反数的概念

【考点10］相反数的性质运用

【考点U】绝对值定义、绝对值的性质

【考点12］化简绝对值

【考点13］非负性的性质

识梳理

知识点1：正数和负数

（1）概念

正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数。

注：。既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一”的数。）

（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。.

知识点1：有理数

（1）概念

整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称

为非正整数。

（2）分类：两种

⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：

「正有理数正整数正整数

有理数正分数整数V0

Y

零有理数J'负整数

1负有理数1〔分数_

-负整数｛正分数

负分数负分数

知识点L数轴

（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

（3）应用j求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“一”号）

知识点1：相反数

（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）

几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

（2）性质：若a与b互为相反数，则a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,则a与b互为相反数。

「两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

（3）多重符号的化简-

-多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数

（注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号）

知识点1：绝对值

（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

厂个正数的绝对值是它的本身(若|a|=|b|,贝！|a=b或a=-b)

(2)代数意义j一个负数的绝对值是它的相反数

0的绝对值是0

(3)代数符号意义：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,则a，0,|a|=-a,贝ljaW0|

.a=0,|a|=0

,a<0,|a|=-a

注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

(4)性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数。即土a。

(5)非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|20。几个非负数之和等于0,则每个非负数都

等于0。故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0

1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(6)比较大小

L2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

度M点精讲

【考点01］正负数

【典例1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上

首次正式引入负数.如果支出1000元记作-1000元，那么+1080元表示()

A.支出80元B.收入80元C.支出1080元D.收入1080元

【答案】D

【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准

确问题间的数量关系和具有意义相反的量.

【详解】解：回支出1000元记作一1000元，

国+1080元表示表示收入1080元，

故选：D.

【变式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影响，全球经济大幅下滑，经合组织预计，2020年全球经济下降为

4.5%,记作-4.5%,与此同时，经合组织预计2020年美国经济增速预期为-3.8%,2020年欧元区经济

增速为-7.9%.按照经合组织的预期，2020年中国经济将实现1.8%的增长，应记作（），是二十国

集团中唯一实现经济正增长的国家

A.+1.8%B.-1.8%C.+1.8D.-7.9%

【答案】A

【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解"正〃和"负”的相对性，明确什么是一对具有相

反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.首先审清题意，

明确"正"和"负"所表示的意义；再根据题意作答.

【详解】解：下降记为"一"，则增长记为"+〃，所以增长1.8%,记为+1.8%.

故选：A

【变式1-2】在一2,+3,5,0,-j,-0.7,11中，负分数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可.

【详解】解：在一2,+3.5,0.一%-0.7,U中，负分数有一|,一0.7,共2个，

故选：B

【变式1-3】在一2,+3,5,0,-|,-0.7,H中，负分数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可.

【详解】解：在一2,+3.5,0,一|,一0.7,11中，负分数有一：,一0.7,共2个，

故选：B

【变式1-4】有一组数为：—1,一；，；，-i…找规律得到第7个数是（）

23456

11

A.--B.-C.-7D.7

【答案】A

【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子

都是1.

本题是信息给予题，认清规律是解题的关键.

【详解】解：团第7个数，7是奇数，

国应该是负数，即—

故选A.

【考点02］相反意义的量表示

【典例2】如果收入100元记作+100元，那么支出300元记作（）

A.一300元B.+300元C.1300元D.+1300元

【答案】A

【分析】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键.根据正负数的实际意义进

行排除选项即可.

【详解】解：由收入100元记作+100元，那么支出300元记作-300元；

故选A.

【变式2-11张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作+5分；小丽被记作-3分，则小

丽的实际分数为（）

A.93B.92C.87D.88

【答案】C

【分析】本题考查了正数与负数表示意义相反的两种量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个

为正，则另一个就用负表示，解题的关键是理解"正"和"负"的相对性.

【详解】解：团以90分为标准计分，小明得95分，记作+5分；

回小丽被记作-3分，则小丽的实际分数为90-3=87分，

故选：C.

【变式2-2】规定：（i2）表示向右移动2,记作+2,贝1（-3）表示向左移动3,记作（）

A.+3B.—3C.—D.H—

33

【答案】B

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，"正"和"负"相对，

据此求解即可，

本题考查了正数和负数，解题关键是理解"正"和"负"的相对性，确定一对具有相反意义的量.

【详解】解：•••"正"和"负"相对，

.如果(->2)表示向右移动2,记作+2,则(―3)表示向左移动3,记作-3,

故选：B.

【变式2-3】根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道："正

算赤，负算黑；否则以斜正为异.今两算得失相反，要令正负以名之."简而言之，刘徽不仅给了正负数

定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑如果向东走30米记作"+30米"，那么向西

走70米记作.

【答案】-70米

【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得

出结果；

【详解】解：向东走30米记作"+30米"，那么向西走70米记作-70米；

故答案为：-70米

【考点03】有理数的概念辨析

【典例3】在数段一巳，一£,0.4,0.3333.1415926中，有理数有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断即可得出答案.

【详解】解：有理数有松，0.4,0.333•••,3,1415926,共5个.

故选：C

【变式3-1］下列判断语句中，错误的是()

A.最小的正整数是1B.最大的负整数是-1

C.没有最大的有理数D.最小的有理数是0

【答案】D

【分析】本题主要考查的是有理数的知识，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有

理数.

【详解】解：A.最小的正整数是1,说法正确，不符合题意；

B.最大的负整数是-1,说法正确，不符合题意；

C,没有最大的有理数，说法正确，不符合题意；

D,没有最小的有理数，说法错误，符合题意；

故选：D.

【变式3-2］在3.14,y,0,或0.1010010001中，有理数有（）

A.5个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握有理数的概念.根据有理数的概念依次判断即可.

【详解】解：3.14是有限小数，是有理数；

B是分数，是有理数；

。是整数，是有理数；

三是无限不循环小数，是无理数；

0.1010010001是有限小数，是有理数；

故有理数有4个，

故选：D.

【变式3-3】零是（）

A.最小的整数B.最小的正数C.最小的有理数D.最小的非负整数

【答案】D

【分析】本题考查有理数，掌握最大的负整数是-1,最小的正整数是1.注意：有理数既没有最大也没

有最小.熟练掌握0的特殊性十分重要.

根据0的特殊性，利用排除法进行选择.

【详解】解：A、没有最小的整数，故此选项不符合题意；

B、没有最小的正数，故此选项不符合题意；

C、有理数没有最大最小，故此选项不符合题意；

D、非负整数就是正整数或0,所以0最小，故此选项符合题意.

故选：D.

【考点04］有理数的分类

【典例4】把下列各数分别填在相应的集合内：-11、4.8、73、-2,7、［、3.1415926、-|、0

正数集合{}

负分数集合｛｝

非负整数集合｛｝

【答案】见详解

【分析】本题考查了有理数的分类，涉及正分数、负数、整数以及非正整数的定义，难度较小；大于0

的分数是正分数；小于0的分数是负分数；整数是包括正整数、零、负整数;非正整数包括零、负整数.根

据正数、负分数、非负整数的定义进行作答即可.

【详解】解:正数集合｛4.8、73、->3,1415926,……｝

6

负分数集合｛—2.7、—"……｝

非负整数集合｛73、0,......｝

【变式4-1］将有理数-2.5,0,2|,2024,-35%,0.6(两数之间用逗号隔开)分别填在相应的括号里.

整数：｛...｝；

负数：｛

非负数：｛

【答案】0)2024；-2.5,-35%；0,252024,0.6

【分析】本题主要考查了有理数分类，理解并掌握有理数的概念和分类是解题关键.根据有理数的分类，

逐一分类填写即可.

【详解】解：整数：｛0,2024...｝；

负数：(-2.5,-35%...)；

非负数：｛0,2|,2024,0.6...｝

【变式4-2】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内：

—2,25,+16,—,-4,3.14,0,一,—,—.

4749

有理数数集合：｛｝

整数集合：｛｝;

负数集合：｛｝;

分数集合：｛｝:

【答案】见解析

【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类对各数进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数

的分类是解此题的关键.

【详解】解：有理数数集合：｛一2.25,+16,—%-4,3.14,0,y,-|｝

整数集合：｛+16,-4,0);

负数集合：｛-2.25,—4,—p—1｝；

49

分数集合：｛-2.25,/3.14,y,-1).

【考点05】有理数的大小比较

【典例5】比较大小：一（+｛）-|-||（填"＞"、"="、"＜"号）.

【答案】＞

【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，先化简多重符号和绝对值求出两

个数，再根据正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可.

【详解】解：一（+!）=—I，TT|=—也

0I--I=-=-＜|--|

I4l424I6l624

回_（+0＞TT,

故答案为：＞.

【变式5-1】比较大小：一|一|（填“"（"或"="）

【答案】＞

【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键.根

据两负数比较大小的法则进行比较即可.

【详解】W：-|-||=|＜1-11=1-

32

故答案为：＞.

【变式5-2】比较大小：一＜_--（填〃〃或"=〃）

34

【答案】＞

【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数

的大小比较法则是解题的关键.

【详解】解：/11=1,卜11=1,

L23

团

34

故答案为：＞.

【考点06］数轴的三要素及其画法

【典例6】下列数轴的画法正确的是（）

.----------►

0

11111

L21012

1-2012

【答案】D

【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线

叫做数轴）是正确判断的前提.根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可.

【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意；

B、缺少正方向，故此选项不符合题意；

C、-1和-2标错了，故此选项不符合题意；

D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意.

故选：D.

【变式6-1】下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（）

LILI»

A.T-2012B.-2-1123

1Illi

c.一2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键.据此对各

选项逐一分析判断即可.

【详解】解：A.数轴上的点应该越向右越大，-2与-1位置颠倒，故此选项不符合题意；

B.没有原点，故此选项不符合题意；

C.没有正方向，故此选项不符合题意；

D.数轴画法正确，故此选项符合题意.

故选：D.

【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【典例7】已知一组数：|一3|,-j,0,-(-1.5),-1.

(1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；

_5-4-3-2-I0I23456

(2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用"<”号连接起来.

【答案】⑴见解析

(2)-|<-1<0<-(-1.5)<|-3|

【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小.

(1)在数轴上根据有理数与数轴的对应进行画图即可；

(2)根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号把各数连接起来即可.

【详解】(1)|一3|=3,-(-1.5)=1.5,

如图所示，即为所求；

5

2—|0—(―1^)1—31

-I----1——I—-----A----i--------------i----1-----1-----L_>

_5-4-3-2-I0123456

(2)从小到大的顺序排列如下：

-j<-1<0<-(-1.5)<|-3|.

【变式7-1］有理数a,6在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是()

-b~=46~a1

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.|a|>\b\

【答案】B

【分析】先根据数轴可以得到6<0<a,且网>|a|,再利用实数的运算法则即可判断.本题主要考查

了利用数轴来进行实数大小比较.由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”

结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形

结合的数学思想.

【详解】解：根据点在数轴的位置，知：b<0<a,且网>|a|.

A>v6<0<a,且|b|>|a|,a+b<0,故本选项错误；

B、•.・b<a,h-a<0,故本选项正确；

C>va>0,b<0,ab<0,故本选项错误；

D>\b\>|a|,故本选项错误.

故选：B.

【变式7-2］如图，若点A,B,。所对应的数为a,b,c,则下列大小关系正确的是（）

BCA

▲▲♦▲♦一♦A»

-3-2-10123

A.a<b<—cB.b<—c<aC.—a<c<bD.a<—c<—b

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出6<0<c<a,|a|>\b\>|c|,据此判断即可.解

决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数.

【详解】解：由题意可知，b<0<c<a,且|a|>|b|>|c|,

<-c<a,故选项A不合题意；

0a>—c>/?,故选项B合题意；

0-a<b<c,故选项C不合题意；

Sc<—b<a,故选项D符合题意.

故选：B.

【变式7-3］在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（）

A.5个B.6个C.9个D.8个

【答案】C

【分析】本题考查了数轴，先画出数轴，根据数轴和绝对值的几何意义进行分析解答.

【详解】解：如图所示：

-5-4-3-2-102345

在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4.共9个.

故选：c.

【变式7-4](1)把数轴补充完整；

(2)在数轴上表不下列各数：0,—(—2),—4,3+(—5)；

(3)用"〉"将这些数连接起来，

]___1।।।।।।___।।___।A

0

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)3号>-(-2)>0>-4>+(-5)

【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边

的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键.

【详解】解：(1)如图所示：

-5-4-3-2-1012345.

(2)—(—2)=2,+(-5)=-5,

在数轴上表示为：

+(-5)-40-(-2)32

---1111---111__1I---1>

-5-4-3-2-1012345.

(3)3>—(-2)>0>—4>+(-5).

【考点08】数轴上两点之间的距离

【典例8】同学们都知道，|7-(-3)|表示7与-3之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7

与-3的两点之间的距离.试探索：

(1)17-(-3)|=；

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+4|+|x-1|=5；

⑶对于任何有理数x,阮-3|+|x-6|是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；

⑷若优+1|+比一6|=9时，求x的值.

【答案]⑴10

(2)%=-4,—3,—2,—1,0,1

⑶最小值为3

⑷一2或7

【分析】本题考查数轴和绝对值.理解并灵活运用"两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离"

是解题的关键.

(1)|7-(-3)|表示7与-3的两点之间的距离，据此解答即可；

(2)根据比+4|+|%-1|=5表示x与-4的两点之间的距离和尤与1的两点之间的距离之和是5可知，

尤表示的点位于-4表示的点与1表示的点之间，据此作答即可；

(3)根据比-3|+|%-6|表示工与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示

的点位于3表示的点与6表示的点之间时，|%-3|+|x-6|有最小值，最小值为3表示的点与6表示的

点之间的距离；

(4)根据两点间的距离求解即可.

【详解】(1)国|7-(-3)|表示7与-3的两点之间的距离，

0|7一(-3)|=10.

故答案为：10;

(2)0|x+4|+|x-1|=5的意义是：表示x与一4的两点之间的距离和尤与1的两点之间的距离之和是

5.

0-4<x<1(尤为整数)，

团久=-4,—3,—2,—1,0,1.

(3)对于任何有理数x,|%-3|+|%-6|有最小值.

0|x-3|+|%-6|的意义是：表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和.

回当3<久<6时，-3|+|久-6|取最小值，最小值为3.

(4)|x+l|+\x-6\=9的意义是:表示x与-1的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和是9,

06-(-1)=7,

(9一7)-2=1,

-1-1=-2,6+1=7

取的值为-2或7.

【变式8-11点A,B是数轴上的两点，A,8两点之间的距离是5,若点A表示-3,则点B表示的数是.

【答案】2或—8

【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是能分类讨论求出符合条件的所有情

况.根据题意得出两种情况，当点2在点A的右边时，当点2在点A的左边时，分别求出即可.

【详解】解：根据数轴的特点分两种情况讨论：①当点8在点A的右边时，-3+5=2；②当点8在

点A的左边时，一3—5=-8.

回点8表示的数是2或一8.

故答案为：2或—8.

【变式8-2】数轴上的点4到原点的距离是10,则点2表示的数为（）

A.10或一10B.0C.-10D.10

【答案】A

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分两种情况：当点4在原点的左边时；当点力在原点右边时；

分别计算即可得出答案.

【详解】解：当点a在原点的左边时，o—io=-io；当点a在原点右边时，o+io=io,

故选：A.

【变式8-3】数轴上点A表示一4,点8表示3,则A、8两点间的距离是（）

A.-1B.-5C.7D.1

【答案】C

【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点的距离为较大的数减去较小的数成为解

题的关键

数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即：较大的数减去较小的数即可.

【详解】解：3-（-4）=7,即A、8两点间的距离是7.

故选：C.

【答案】一2或4

【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分两种情况考虑.分点2在点A的左侧和右侧两种情况即可

完成.

【详解】当点2在点A的左侧时，此时点8表示的数是-2；当点2在点A的右侧时，此时点3表示的

数是4；

故点B表示数是-2或4；

故答案为：-2或4

【考点09］数轴上的动点问题

【典例9】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达a点，再从a点向右移动12

个单位长度到达B点.点C是线段4B的中点.

（1）点C表示的数是；

(2)若动点P从点a出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q,M分别从点C、B出发，

分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动.设运动时间为t秒.

①当t=2时，求QM—PQ的值；

②试探索：QM-PQ的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由.

【答案]⑴-1

(2)①QM—PQ的值为0；②QM—PQ的值不随着时间t的变化而改变.理由见解析

【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

(1)根据题意可以求得点C表示的数；

(2)①根据题意可以用代数式表示点M,P,Q运动时间t时表示的数；根据题意可以求得当t=2秒时，

QM—PQ的值；②先判断是否变化，然后求出QM—PQ的值即可解答本题.

【详解】(1)解：由题意可得，A点表示的数为：—7,8点表示的数为：-7+12=5,,

-1

由ZC=12x-=6,

2

故点C表示的数为：0—7+6=-1.

故答案为：-1；

(2)

解：①由题意可得，点Q移动t秒时表示的数为-1+t,点尸移动f秒时表示的数为-7-2如点M移动

f秒时表示的数为5+43

当t=2时，

QM—PQ-[(5+4t)—(―1+t)]—[(—1+t)—(—7—2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—31

=0；

②QM-PQ的值不随着时间t的变化而改变，

QM-PQ=[(5+4t)-(-1+t)]-[(-1+t)-(-7-2t)]

=(5+4t+1-t)-(-1+t+7+2t)

=6+3t—6—3t

=0,

QM-PQ的值不随着时间t的变化而改变，QM—PQ的值为0.

【变式9-1］如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm,木棒的左端与数轴上的点A重合,

右端与点B重合.

054820

⑴若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点8时，它的右端在数轴上所对应的数为20；

若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5,由

此可得到木棒长为一cm.

(2)图中点A所表示的数是一，点8所表示的数是

⑶由题(1)(2)的启发，请你能借助"数轴"这个工具帮助小明解决下列问题：

一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说："我若是你现在这么大，你还要

45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！"，请求出爷爷现在多少岁了？

【答案】⑴5

(2)10,15

(3)爷爷现在的年龄是65岁

【分析】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小明的年龄差看做一个整体(木棒4B),而后转化为

数轴上求点表示数的问题.

(1)此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20-5=15cm,则此木棒长为5cm；

(2)根据两点间的距离公式即可求解；

(3)在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒A8,类似爷爷比小明大时看做当A

点移动到8点时，此时8点所对应的数为-45,小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所

对应的数为120,所以可知爷爷比小明大［120-(-45)］+3=55,可求爷爷的年龄.

【详解】(1)解：由数轴观察知，三根木棒长是20-5=15(cm),

则此木棒长为15+3=5(cm).

故答案为：5；

(2)解：图中点A所表示的数为5+5=10,点3所表示的数为20—5=15.

故答案为：10,15；

(3)解：如图：

45ffA120

借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒AB,

类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，

此时8点所对应的数为-45.

小明比爷爷大时看做当8点移动到A点时，

此时A点所对应的数为120.

可知爷爷比小明大［120-（-45）］+3=55,

可知爷爷的年龄为120-55=65（岁）.

故爷爷现在的年龄是65岁.

【变式9-2］如图，已知点4、B、C是数轴上三点，。为原点.点C对应的数为3,BC=2,AB=6.

1■■■

AOBC

（i）则点a对应的数是一，点B对应的数是」

（2）动点P、Q分别同时从4c出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动.M在线段4P

上，且4M=MP,N在线段CQ上，且CN=：CQ,设运动时间为＞0）.

①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）

②猜想MQ的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出MQ的长

度.

【答案】⑴—5,1

⑵①点M对应的数为：一5+4t,点N对应的数为：3+t；②MQ的长度与t无关，长度为8

【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关

键是掌握数轴上两点之间的距离公式.

（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解；

（2）①由题意可得4M、CN的长度，从而由点2、C对应的数即可求出点M、N对应的数；②根据题意

可得点Q对应的数，进而得到MQ的长度，根据结果即可作出判断.

【详解】⑴解：•.•点C对应的数为3,BC=2,

二点B对应的数为：3-2=1,

又；AB=6,

•••点力对应的数为：1-6=-5,

故答案为：-5,1：

（2）①由动点P、Q分别同时从4C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动，

则4P=8t,CQ=4t,

又AM=MP=^AP,CN=：CQ,

AM=4t,CN=tf

•・•点M对应的数为：一5+4如点N对应的数为：3+t；

②MQ的长度与t无关，理由如下：

由于CQ=43

•••点Q对应的数为：3+43

则MQ=3+4t-（-5+4t）=8,

即MQ的长度与t无关，长度为8.

【变式9-3］综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、8在数轴上分别

表示有理数。、b,A、B两点之间的距离表示为力B,在数轴上48两点之间的距离2B=|a-6|.利用

数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示3和-1的两点之间的距离是；

【独立思考】：

（2）数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为；

（3）试用数轴探究：当—1|=3时机的值为.

【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：

（4）利用数轴求出|%-2|子|乂-5|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？

AB

----111----A

a---0-----------------b

【答案】（1）4；4（2）\x+2\（3）6=一2或4（4）2,3,4,5

【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关

键.

（1）用大数减小数便可求得两点的距离；

（2）根据定义用代数式表示；

（3）分两种情况：小点在1的左边；根点在1的右边；分别列式计算便可；

（4）确定x与2的距离加上比与5的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数.

【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是：6-2=4；

数轴上表示3和—1的两点之间的距离是3—（—1）=3+1=4；

故答案为：4；4；

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|,

故答案为：|%+2|；

(3)|m-l|=3表示数m的点与表示数1的点距离为3,

当表示数in的点在1的左边时，m=1-3--2,

当表示数m的点在1的右边时，m=1+3=4,

所以m=-2或4,

故答案为：-2或4；

(4)•••|x-2|表示数轴上x和2两点之间的距离,|x-5|表示数轴上乂和5两点之间的距离,

当且仅当2WxW5时，两距离之和最小，

取可取的整数有:2,3,4,5.

【考点10]相反数的概念

【典例10]2024的相反数是()

A.2024B.-2024C.1012D.-1012

【答案】B

【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可.

【详解】解：2024的相反数是-2024；

故选B.

【变式10-1】与-2025互为相反数的是()

A.-2025B.2025C.康D.

【答案】B

【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数.

【详解】解：-2025的相反数的是2025,

故选：B.

【变式10-2】下列四组数中，互为相反数的一组是()

A.+2与一3B.-8与+8

C.—(—2)与2D.+(—1)与—(+1)

【答案】B

【分析】本题考查的是相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

【详解】解：A、+2的相反数是—2,错误；

B、-8的相反数是+8,正确；

C、—(—2)=2的相反数是—2,错误；

D、+(-1)的相反数是1,一(+1)=-1,错误.

故选：B.

【变式10-3］如图，点4B,C,。在数轴上的位置如图所示，其中表示-3的相反数的点是()

IIII■■■■>

-3-2-10ABCD

A.AB.BC.CD.D

【答案】C

【分析】此题考查了相反数的定义及互为相反数的两个数在数轴上的位置特点，熟练掌握相反数的定义

是解题的关键；符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数，在数轴上的位置特点：分别位于原点的

左右两侧，并且到原点的距离的相等.

【详解】解：表示-3的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为3个单位长度的点，如图：

-3-2-10ABCD

根据点a,B,c,。在数轴上的位置，可得点c符合题意，

故选：c.

【考点11】相反数的性质运用

【典例111若代数式3x+2和-2久+1互为相反数，贝卜=()

A.3B.-3C.5D.-5

【答案】B

【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1,

求出解.

利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到光的值.

【详解】解：根据题意得：3%+2-2久+1=0,

移项合并得：%=-3,

故选：B.

【变式11-11{-{-{-[-(-25)]}}}()

11

A.25B,-25C.-D.-石

【答案】B

【分析】本题考查主要考查了相反数定义，根据题目中负号的个数确定正负，若负号个数为奇数个则结

果为负，若负号的个数为偶数个则结果为正得到答案.

【详解】解：由题可知负号个数为奇数个，则{-{-{-[-(-25)]}}}=-25.

故选：B.

【变式11-2]数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则.为()

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】D

【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数.

根据相反数的几何意义可知：a与a+4互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答.

【详解】解：由题意知：

a与a+4互为相反数，

a+a+4=0,

解得：a=—2.

故选：D.

【变式11-3】代数式3a+1与2-2a互为相反数，则。=.

【答案】-3

【分析】本题考查相反数的性质、解一元一次方程，先根据互为相反数的两个数之和是零列方程，然后

解方程即可.

【详解】解：回代数式3a+1与2-2a互为相反数，

0(3a+1)+(2-2a)=0,即3a+1+2—2a=0,

解得a=—3,

故答案为：-3.

【变式11-4]如果a,b互为倒数，c,d互为相反数，那么6d-5ab-(-6c)=.

【答案】-5

【分析】此题考查倒数和相反数的概念，代数式求值；首先根据倒数的概念，可知时=1,根据相反数

的概念可知c+d=0,然后把它们分别代入，即可求出代数式6d-5a6-(-6c)的值.

【详解】若a,b互为倒数，则防=1,

c,d互为相反数，则c+d=O,

那么6d—5ab—(-6c)=6(d+c)—Sab=0—5=—5,

故答案为：-5.

【考点12］绝对值定义、绝对值的性质

【典例12】若一个数的绝对值是2019,则这个数是（）

A.2019B.-2019C.±2019D.以上都不对

【答案】C

【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中.本题

是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0.

【详解】解：回|+2019|=2019,|-2019|=2019,

回绝对值等于2019的数有2个，即+2019和-2019,

故选：C.

【变式12-1］如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、。四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干

克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（）

-0.3+0.4-1.3+2.1

【答案】A

【分析】本题主要考查绝对值的意义；由题意易得|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<1-2.11，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：|+0.3|<|-0.4|<|-1.3|<|-2.1|,

团最接近标准质量的是A；

故选：A.

【变式12-2］绝对值大于4.5小于8的所有整数的有.

【答案1±5、±6、±7

【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相

反数进行求解即可.

【详解】解：绝对值大于4.5小于8的所有整数的有±5、±6、±7,

故答案为：±5、±6、±7.

【考点13］化简绝对值

【典例13-1］如图，数轴上的三点4、B、C分别表示有理数a,b,c.

ABOC

］III

⑴填空：a—b0,a+c0,b—c0.（用<或>或=号填空）

⑵化简：|a—bI—|a—c|+—c\.

【答案】（1）4<,<

（2）|Q—b|—\CL—c\+\b-c|—0

【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键.

（1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可；

（2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可.

【详解】（1）解：由数轴得：a<b,

团a—bV0,

由数轴得：a<0,c>0,\a\