2024-2025学年人教版七年级数学上册专项提升训练：线段的计算与角度的计算（30题）（解析版）

专题提升线段的计算与角的计算

1.（2023秋•巨野县期中）如图，C,。是段A2上两点，若CB=4c〃z,DB=7cm,且。是线段AC的中点,

求AC的长.

I_______I________I___________I

ADCB

【分析】根据CB=4cm,可求出OC的长，再根据。是线段AC的中点即可求出答案.

【解答】解：,/CB=4cm,DB=lcm,

.'.DC—DB-CB~3cm.

又是AC的中点，

.\AC=2DC=6cm.

2.（2023秋•乐亭县期中）如图，点B是线段AC上一点，且AB=20,BC=8.

（1）图中共有6条线段;

（2）试求出线段AC的长；

（3）如果点。是线段AC的中点，请求线段的长.

I_____________।_________।______।

A0BC

【分析】（1）根据线段的定义，数一数图中线段的条数即可；

（2）根据AC=AB+BC可得出答案；

（3）由线段中点的定义得OC=1AC=14,进而根据。B=0C-8C可得出答案.

2

【解答】解：（1）图中共有6条线段，分别是：AO,AB,AC,OB,OC,BC.

故答案为：6；

（2）VAB=20,BC=8,

：.AC^AB+BC=20+8=28；

（3）♦.,点。是AC的中点，

OC=^AC=—X28=14,

22

.•.02=0C-BC=14-8=6.

3.（2022秋•西安期末）如图：已知线段A2=16cwi,点N在线段AB上，NB=3cm,M是A8的中点.

（1）求线段MN的长度；

（2）若在线段A8上有一点C,满足BC=10cm求线段MC的长度.

.___________________I_____I

AMNB

【分析】（1）根据线段中点的性质求出MB,然后用MB减去NB即可解答；

（2）根据题目的已知画出图形，用BC减去8M即可解答.

【解答】解：（1）是A8的中点，AB=16cm,

：.MB=^AB=8cm,

2

,:NB=3cm,

：.MN=MB-NB=8-3=5cm；

(2)如图：

J-----------------C~---------------*------------B

\"BC=Wcm,MB=8cm,

：.CM=BC-MB=1Q-8=2cm.

4.(2022秋•永城市校级期末)已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c,且满足|a+24|+|b+10|+

(c-10)2=0；动点尸从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t

ABOC

秒.・'•••A

(1)求a、/?、c的值；

(2)若点尸到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；

(3)当点P运动到B点时，点。从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，

再立即以同样的速度返回，运动到终点4在点。开始运动后第几秒时，P、。两点之间的距离为4?请

说明理由.

【分析】(1)根据绝对值和偶次幕具有非负性可得。+24=0,6+10=0,c-10=0,解可得a、b、c的值；

(2)分两种情况讨论可求点P的对应的数；

(3)分类讨论：当尸点在。点的右侧，且。点还没追上P点时；当尸在。点左侧时，且。点追上尸

点后；当。点到达C点后，当尸点在。点左侧时；当。点到达C点后，当P点在。点右侧时，根据两

点间的距离是4,可得方程，根据解方程，可得答案.

【解答】解：(1)：|a+24|+|6+10|+(c-10)2=0,

.•.4+24=0,。+10=0,c-10=0,

解得：〃=-24,/?=-10,c=10；

(2)-10-(-24)=14,

①点P在AB之间，AP=14X-2_=-2S,

2+13

一24+丝=-丝，

33

点尸的对应的数是-丝；

3

②点P在的延长线上，AP=14X2=28,

-24+28=4,

点P的对应的数是4；

(3)当P点在。点的右侧，且。点还没追上P点时，3什4=14+彳，解得/=5；

当P在。点左侧时，且。点追上尸点后，3r-4=14+t,解得r=9；

当。点到达C点后，当P点在。点左侧时，14+f+4+3f-34=34,r=12.5；

当。点到达C点后，当P点在。点右侧时，14+-4+3广34=34,解得r=14.5,

综上所述：当。点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、。两点之间的距离为4.

5.(2022秋•禹城市期末)如图，已知点C为线段上一点，AC^Ucm,CB=8cm,D、E分别是AC、

AB的中点.求：

(1)求的长度；

(2)求。E的长度；

(3)若M在直线A8上，且求AM的长度.

(___________।_______।।______________I

ADECB

【分析】(1)直接根据。是AC的中点可得答案；

(2)先求出的长，然后根据E是的中点求出4E,做好应即为。E的长；

(3)分M在点8的右侧、M在点2的左侧两种情况进行计算即可.

【解答】解：(1)由线段中点的性质，AD=^AC=6(cm)；

2

(2)由线段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20(cm),

由线段中点的性质，得AE=[AB=IO(cm),

由线段的和差，得DE=AE-A£>=10-6=4(cm)；

(3)当M在点8的右侧时，AM^AB+MB=20+6=26(cm),

当M在点2的左侧时，AM=AB-Affi=20-6=14(cm),

.'.AM的长度为26cm或14cm.

6.(2022秋•凤翔县期末)如图，线段AB=20,8c=15,点M是AC的中点.

(1)求线段AM的长度；

(2)在C8上取一点N,使得CN：NB=2：3.求MN的长.

I.a1.

A显CNB

【分析】(1)根据图示知AC=AB-BC；

2

(2)根据已知条件求得CN=6,然后根据图示知MN=MC+NC.

【解答】解：(1)线段AB=20,BC=15,

：.AC^AB-2C=20-15=5.

又：点M是AC的中点.

/.AM=AAC=—X5=-^-,即线段4M的长度是❷.

2222

(2)：BC=15,CN：NB=2：3,

CN=2BC=?X15=6.

55

又：点M是AC的中点，AC=5,

：.MC=^AC=—,

22

:.MN=MC+NC二即MN的长度是工.

22

7.(2022秋•仓山区期末)如图，点E是线段的中点，C是E8上一点，且EC：CB=1：4,AC=12cm.

(1)求A8的长；

(2)若尸为C8的中点，求E厂长.

A'E-CF'B

【分析】(1)由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得的长20c侬

(2)由线段的中点，线段的和差计算出EB长为6c%

【解答】解：如图所示：

A'E-cFB

(1)设EC的长为工,

■:EC：CB=1：4,

***8C=4x,

又・.・BE=BC+CE,

J.BE=5x,

又〈E为线段AS的中点，

.'.AE=BE=-^-^B，

.\AE=5x,

XVAC=AE+EC,AC=12cmf

:.6x=n,

解得：x=2,

.\AB=10x=20cm；

(2)・・,尸为线段C3的中点，

CF-yBC=2x>

又,；EF=EC+CF

:・EF=3x=6cm.

8.(2023秋•福田区校级期中)在数轴上，如果A点表示的数记为a,点8表示的数记为6,则A、8两点

间的距离可以记作|。-例或|b-a|.我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与

点2之间的距离表示为A3.如图，在数轴上，点A,O,B表示的数为-10,0,12.

(1)直接写出结果，。4=10,AB=22.

(2)设点尸在数轴上对应的数为尤.

①若点尸为线段A8的中点，则尤=1.

②若点尸为线段A8上的一个动点，则|x+10|+|x-12|的化简结果是22.

(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A,8之间向右运动，同时动点N从8出发，

以每秒4个单位的速度沿数轴在A,8之间往返运动，当点M运动到8时，M和N两点停止运动.设运

动时间为f秒，是否存在t值，使得OM=ON?若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由.

।।।»]______I_______]»

AOBAOB

备用图

【分析】(1)用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可；

(2)①根据AP=BP列方程求解即可；

②|x+10|+|x-12|=|x-(-10)|+|x-12|,表示线段AB的长度，据此作答即可；

(3)写出点M表示的数，分别写出当OWfW旦和旦<fWll时点N表示的数，根据OM=ON列绝对

22

值方程并求解即可.

【解答】解：(1)OA=\-10-0|=10,AB=\-10-12|=22,

故答案为：10,22.

(2)①：点P为线段的中点，

：.AP=BP,

.'.x-(.-10)=12-x,解得尤=1.

故答案为：1.

②：点P为线段上的一个动点，

.".|x+10|+k-12|=|A-(-10)|+|x-12\=AB=22,

故答案为：22.

(3)点”表示的数为2f-10(OW0D,OM=\2t-10|；

当0W/W芬时，点N表示的数为-4什12,ON=\-4r+12|；

当迫</<11时，点N表示的数为4(f-旦)-10=4/-32,ON=|4f-32].

22

当0W/W旦时，|2f-10|=|-4/+12I，解得/=1或旦；

23

当且〈忘11时，\2t-10|=|4/-32|,解得f=7或11.

2

存在“直，使得0M=0N,r=l,且，7或IL

3

9.（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知：线段延长到点C,使得BC：AB=2：5,点。为

AC的中点，E为的中点，若AC=14,求线段。E的长度.

AEDBC

【分析】先根据BC：AB=2：5可设BC=2r,A2=5x,则AC=A3+BC=7x=14,由此可解出x=2,得

AB=10,进而根据线段中点的定义得AE=BE=5,AD=CD=7,然后再根据。E=A£>-AE可得线段。E

的长度为2.

【解答】M：VBC：AB=2：5,

.,.设8C=2x,48=5x,

/.AC=AB+BC=5x+2x=7x,

VAC=14,

A7x=14,

解得：x=2,

.\AB=5x=10,

•・,点£为43的中点，

：・AE=BE=5,

・•,点。为AC的中点,

:・AD=CD=7,

：.DE=AD-AE=7-5=2.

故线段DE的长度为2.

10.（2023•九龙坡区校级开学）已知A,B,C,。四点在同一直线上，点。在线段A3上.

（1）如图，若线段AB=18,点C是线段的中点，CD,BD，求线段的长度；

（2）若线段A8=5a,点C是直线AB上一点，且满足AC=2BC,A£）：BD=2：3,求线段CO的长度

（用含a的式子表示）.

।I：1

ACDB

【分析】（1）根据线段中点的定义求出AC=BC=1"AB=9，根据CD』BD，求出CD』BC』X9=3，即

2233

可得出答案；

（2）分两种情况，点C在线段AB上，点C在线段AB延长线上，分别画出图形，求出结果即可.

【解答】解：（1）•••线段48=18,点C是线段AB的中点，

•■•AC=BC=yAB=9-

,•1CD-^BD，

二CD[BC]X9=3，

oo

：.AD=AC+CD=9+3=12；

(2),・•点。在线段A8上，AB=5a,AD：BD=2：3

.\AD=2a,BD=3a,

当点C在线段AB上时，如图所示：

IIII

ADCB

\'AB=5a,AC=2BC,

AC^^"a,BC=>~a,

oo

in4

-'-CD=AC-AD-a-2a=ya^

Oo

当点C在线段AB延长线上时，如图所示：

1」」1

ADBC

9：AB=5a,AC=2BC,

•\AC=2AB=10〃，

/.CD=AC-AD=10a-2。=8。；

综上分析可知，线段CD的长为国a或8〃

3

11.(2022秋•大竹县校级期末)已知，点C是线段上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC

的中点.

(1)如果48=10cm,那么MN等于多少？

(2)如果AC：BC=3：2,NB=35cm,那么A8等于多少？

夕1q可耳

【分析】(1)由已知点C是线段4B上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段8C的中点，得MN

=CM+CN=/A吗BC='AB；

(2)由已知得AB=7。2=17.5m.

5

【解答】解：(1)MN=CM+CN

=iAC4BC

=5cm；

(2),:NB=35cm,

***BC'=>1cm,

.\AB=7-r—

5

=17.5czn.

AMCNB

IIIII

12.(2023秋•聊城月考)如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、5c的中点.

(1)若AC=10cs,CB=8cm,求线段MN的长；

(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a,其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结

论并说明理由；

(3)若C为直线上线段之外的任一点，S.AC=m,CB=n,则线段MN的长为(n-m)或

y(m-n)一•

I|IIl

AMCNB

【分析】(1)(2)均先根据已知条件，求出CM和CM再根据MN=CM+CN进行计算即可；

(3)分两种情况讨论：①当C在A的左侧时，②当C在2的右侧时，分别画出图形，进行解答即可.

【解答】解：(1),•,点N分别是AC,2C的中点，AC=10cm,CB=8cm,

CM=/AC=5cm,CN=*BC=4cm

：.MN=CM+C7V=-^AC-t-j-BC=5+4=9cm；

(2)MN=—d，理由如下：

2

•.,点M,N分别是AC,BC的中点，

AC,CN=/BC,

,:MN=CM+CN,

•'•^=yAC-^BC=y(AC+BC)，

AC+CB=a,

:.MN=L；

2

(3)分两种情况讨论：

①当C在A的左侧时，如图2,

।।।________________I________________________।

CMANB

图2

•.•点M,N分别是AC,8c的中点，

.-.CM=1AC>CN=/CB

J.MN=CN-CM=lCB-|cA=|(CB-CA)-

"."AC=m,CB=n,

:.MN=g(n-m);

②当C在B的右侧时，如图3,

।____________________________I_______________iii

AMBNC

图3

•.•点M,N分别是AC,BC的中点，

•••CN=/BC，MC=/AC

:.MN=MC-CN='AC卷BC卷(AC-BC),

AC=m,CB=n,

:・MN=/(m-n)•

故答案为：/(n-m)或(nrn).

13.(2022秋•金华期末)如图，C为线段AB的中点，点。分线段3：2.

(1)若CD=1m,求线段A5的长；

(2)若E为线段08的中点，试说明线段AO与线段CE的数量关系.

j।।1]

ACDEB

【分析】(1)设A£)=3尤an,BD=2xcm,则48=5尤cm,根据线段中点的定义即可得到结论;

(2)设AD=3xcm,BD=2xcm,则AB=5xcm,根据线段中点的定义即可得到结论.

【解答】解：(1)设AO=3x(cm),BD=2x(a〃)，

则AB=5x(cm),

为线段AB的中点，

：.AC=BC=^x(cm),

2

.".CD=BC-BD=—x(.cm},

2

•；CD=lcm,

•.x=2cm,

.\AB=5x=10cm；

(2)AD=2CE,理由如下：

同(1)得：AD=3x(cm),BD=2x(cm),AB=5x(cm),CD=—x(cm),

2

YE为线段DB的中点，

/.DE=—BD=xCem),

2

：.CE=CD+DE=^-x(cm),

2

：.AD=2CE.

14.(2022秋•东港区校级期末)已知点8在线段AC上，点。在线段AB上.

(1)如图1,若AB=10c〃z,BC=6cm,。为线段AC的中点，求线段08的长度；

(2)如图2,若BD八AB」CD，E为线段A8的中点，EC=16cm,求线段AC的长度.

43

।___________________।।______________।।___________।_____।______।____________।

ADBCAEDBC

图1图2

【分析】(1)由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为2c处

(2)由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为24c日

【解答】解：(1)如图1所示：

\'AB=10cm,BC=6cm,

：.AC=AB+BC=10+6=16(cm),

又二,。为线段AC的中点，

•*-DC-|AC-1X16=8(cm)，

：.DB=DC-BC=S-6=2(cm)；

(2)如图2所示，BD^xcm,

BD[AB]CD，

玲o

.\AB=4BD=4xcm,CD=3BD=3xcm,

J.BC—DC-DB=3x-x=2x,

•\AC=AB+BC=4x+2x=6x,

为线段AB的中点，

BE=yAB^-X4x=2x'

/.EC=BE+BC=2x+2x=4x,

XV£C=16cm,

，4x=16,

解得：x=4,

.,.AC—6x—6X4—24（cm）.

15.（2022秋•甘肃期末）阅读感悟：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图1,一条直线上有A、B、C、。四点，线段AB=8c〃z,点C为线段4B的中点，线段2D=2.5c〃z,

请你补全图形，并求的长度.

~ACBACDBACB~

图1图2备用图

以下是小华的解答过程：

解:如图2,

因为线段AB=8c"z,点C为线段的中点，

所以BC=-1AB=4cm.

~2-

因为BD=25cm,

所以CD=BC-BD=1.5cm.

小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段AB上，事实上，点。还可以在线段

AB的延长线上.

完成以下问题：

（1）请填空：将小华的解答过程补充完整；

（2）根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度.

【分析】（1）根据线段中点的性质，线段点C为线段的中点，即可算出BC的长，再根

据CD=BC-BD即可得出答案；

（2）如图3,当点。在线段的延长线上时，由BC=^AB=4cm.可得BD=2.5cm,再由CD=BC+BD

2

进行计算即可得出答案.

【解答】解：（1）如图2,

因为线段AB=8a〃，点C为线段A2的中点，

所以BC=—AB=4cm.

2

因为BD=2.5cm,

所以CD=BC-BD=L5ctn.

故答案为：4,1.5.

(2)如图3,当点。在线段48的延长线上时,

因为线段A8=8c7",点C为线段AB的中点，

所以BC=^AB=4cm.

2

又BD=2.5cm,

所以CD=BC+BD=65cm.

CBD

图3

(1)若/AOC=50°,求NN。。的度数；

(2)若NA0B=2NM0N,请在图中画出符合题意的射线0M,探究NCOM与NCOD的数量关系，并

说明理由.

【分析】(1)根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；

(2)分情况画图分析，设利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定

义，把NCOM和/COQ的度数分别用含有a的式子表示，即可表示出两个角的关系.

【解答】解：(1)是NAOC的余角，ZAOC=50°,

：.ZAOB^90°-50°=40°,

.\ZBO£>=180°-ZAOB=180°-40°=140°,

,：ON平济/BOD,

•■•ZN0D=yZB0D=7Q°；

(2)ZCO£>=90°+NCOM或/COD=90°+^-ZC0M)理由如下：

设NA08=a,

•・・NA03是NAOC的余角，

AZAOC=90°-a,ZBO£>=180°-a,

・・・ZBOC=ZAOC-ZAOB=90°-a-a=90°-2a,

•：ON平分/BOD,

ZB0N=ZN0D=yZB0D=y(180°-a)=90。-ya)

ZAOB=2ZMONf

•*-ZMON=yZAOB=ya-

当射线OM在NCON内部时，如图:

-^-a-(90°-2a)=a，

ZCO£>=180°-ZAOC=180°-(90°-a)=90°+a,

：.ZCOD=9Q°+ZCOM；

当射线OM在/NO。内部时，如图:

ZC0M=ZB0N+ZM0N-ZB0C=90O-ya+|a-(90°-2a)=2a，

ZCOD=180°-ZAOC=180°-(90°-a)=90°+a,

•,-ZCOD=90°卷/COM'

综上可知，ZCO£）=90°+/COM或NCOD=90°+yZCOM-

17.（2023秋•青龙县期中）如图，。是直线CE上一点，以。为顶点作乙4。8=90°,且04,。8位于直

线CE两侧，03平分NC。。.

（1）当/AOC=50°时，求/。OE的度数；

（2）请你猜想NAOC和的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）ZAOB=90°,ZAOC=50°,可求出N20C的度数，。3平分/COD,可求出NCO£）的

度数，根据平角即可求解；

(2)ZBOC=90°-ZAOC,ZDOE=1SO°-2(90°-ZAOC),由此即可求解.

【解答】解：(1)VZAOB=90°,ZAOC=50°,

：.ZBOC=90°-50°=40°,

；02平分NCOD,

：.ZBOC=ZBOD=40°,

；./。。£=180°-40°-40°=100°；

(2)/DOE=2/AOC,理由如下：

VZAOB=90°,

ZBOC=900-ZAOC,

'：OB^ZCOD,

：.ZBOC=/2。£)=90°-ZAOC,

.,.NZ)OE=180°-2ZBOC=180°-2(90°-ZAOO,即/DOE=2/AOC.

18.(2023•九龙坡区校级开学)如图，是/AOC内部的一条射线，是NAOB内部的一条射线，ON

是/BOC内部的一条射线.

(1)如图1,若/AOB=36°,ZBOC=110°,OM、ON分别是NA03、N30C的角平分线，求/MON

的度数；

(2)如图2,若08平分/AOC,S.ZCON=2ZAOM,ZBOM：ZAOC=2：5,则/8。〃和NBON

之间存在怎样的数量关系？请说明理由.

【分析】(1)利用角平分线的定义分别求得NBOM=18°,NBON=55。，据此求解即可；

(2)设/AOM=a,则NCON=2a,设N8OM=x,求得NBON=x-a,根据题意列出等式，即可求解.

【解答】解：(1),：ZAOB=36°,ZBOC=110°,OM、ON分别是NAOB、NBOC的角平分线，

•■•ZB0M=yZA0B=18°，ZB0N=yZB0C=55°，

ZMON=ZBOM+ABON=\^+55°=73°；

(2)/BOM：NBON=4：3.理由如下，

'：ZCON=2ZAOM,

.•.设NAOM=a,则/CON=2a,

设N50M=x,

YOB平分NAOC,

/.a+x=N5ON+2a,

XBON=x-a,

•：NBOM：ZAOC=2：5,

/.x：(a+x+x-a+2a)=2：5,

；・x=4a,贝ljNBON=3a,

ZBOM：ZBON=4：3.

19.(2022秋•历下区期末)新定义：如果/MON的内部有一条射线。尸将NMON分成的两个角，其中一

个角是另一个角的w倍，那么我们称射线。尸为/M0N的〃倍分线，例如，如图1,ZMOP=4ZNOP,

则0P为NM0N的4倍分线.ZNOQ^4ZMOQ,则0Q也是NM0N的4倍分线.

(1)应用：若/AOB=60°,OP为/AOB的二倍分线，且/BOP>NPOA,则/8。尸=40°；

(2)如图2,点A,0,B在同一条直线上，0C为直线上方的一条射线.

①若。P,。。分别为/AOC和/80C的三倍分线，(NCOP>/POA,ZCOQ>ZQOB)已知，ZAOC

=120°,则/P00=135°；

②在①的条件下，若/AOC=a,ZPOQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发

生变化，请说明理由.

③如图3,已知NMON=90°,且OM,ON所在射线恰好是分别为NAOC和230C的三倍分线，请直

接写出NAOC的度数.

【分析】(1)根据题意可得：ZBOP=2ZAOP,ZBOP+ZAOP=60°,进而得出答案；

(2)①由题意可得：ZCOP=3ZAOP,ZCOQ=3ZBOQ,根据NAOC=120°,得出NAOP=90°,

ZBOQ=45°,再求解即可；

②不变，根据题意得出/COP=3/AOC，ZCOQ=—ZBOC)再代入即可得出答案；

44

③设/MOC=a,则NNOC=90°-a,根据题意得出NCOM=3NAOM,NBON=3NCON,列出方程

—a+a+90°-a+3(90°-a)=180°，求得NMOC=67.5°,ZMOA^22.5°,进而得出答案.

3

【解答】解：(1)'：ZAOB=6Q°,OP为/AOB的二倍分线，且NBOP>/POA,

ZBOP=2ZAOP,ABOP+ZAOP=60°,

AZAOP=20°,

：.ZBOP=40°,

故答案为：40；

(2)@'：OP,OQ分别为NAOC和N30C的三倍分线(NCOP>NPOA,ZCOQ>ZQOB\

：.ZCOP=3ZAOP,NCOQ=3NBOQ,

VZAOC=120°,

AZBOC=60°,

・・・/AOP=30°,ZBOQ=15°,

：.ZCOP=90°,ZCOQ=45°,

：.ZPOQ=ZPOC+ZCOQ=135°,

故答案为：135；

②不变，

•：OP,。。分别为NAOC和N50C的三倍分线，ZCOP>ZPOA,ZCOQ>ZQOB,

2Q

・・

•ZC0P=T4/A0C'ZC0Q=T4/B0C'

：.ZPOQ=ZCOP+ZCOQ,=^-ZA0C+4ZB0C'=,(NA0C+NB0C)，=T-ZA0B>=-7X侬

44444

=135°；

③设NMOC=a,

VZMON=90°,

AZNOC=90°-a,

•・,OM,ON所在射线恰好是分别为NAOC和N50C的三倍分线，

・・・ZCOM=3ZAOM,/BON=3ZCON,

・.・NAOM+NCOM+NCON+N8ON=180°,

a+a+90。-a+3(90°-a)=180°,

o

；.a=67.5°,

：.ZMOC^61.5°,ZMOA=22.5°,

：.ZAOC=90°.

20.(2022秋•广宗县期末)阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图1,ZAOB=80°,OC平分NAOB,若/3。£>=20°,请你补全图形，并求NCOO的度数.

以下是小明的解答过程：

解：如图2,因为0c平分NAOB,NAOB=80°,

所以/BOC=工ZAOB=400.

-2----------

因为NBO£）=20°,

所以NCO£>=/BOC+/BOD=60°.

小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是。。在/AO8外部的情况，事实上，。。还可能在/

AOB的内部”.

完成以下问题：

（1）请你将小明的解答过程补充完整；

（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时/COD的度数.

【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；

（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时NC。。的度数.

【解答】解：（1）因为OC平分/AOB,NAO8=80°,

所以/BOC=』NAOB=40°.

2

因为/8。。=20°,

所以NCOO=/BOC+N8Or>=60°.

故答案为：40,ZBOC+ZBOD,60；

2

(2)如图3,

图3

因为OC平分/AOB,ZAOB=80°,

所以NBOC=』NAOB=40°,

2

因为/80。=20°,

所以NCO£>=/BOC-/80。=40°-20°=20°.

21.(2023春•牟平区期末)如图所示，以直线AB上的一点。为端点，在直线的上方作射线OP,使/

BOP=70：将一块直角三角尺的直角顶点放在点。处，且直角三角尺(/MON=90°)在直线AB的

上方.设(0<n<90).

(1)当”=32时，求NPON的大小；

(2)若0<〃<70时，求NAON-NPOM的值.

【分析】(1)利用角的计算求得NPOM的度数，继而求得NPON的度数；

(2)利用角的计算表示出NPOM,然后表示出NAON,最后代入NAON-/POM中计算即可.

【解答】解：(1)'：ZBOM=32°,/BOP=10°,

：.ZPOM=ZBOP-ZBOM=10°-32°=38°,

'：ZMON=90°,

；.NPON=90°-38°=52°；

(2)VZBOM=n°,ZBOP=10°,

:.NPOM=NBOP-NBOM=70°-n,

'：ZMON=90°,

：.ZAON+ZBOM=90Q,

：.ZAON=90°-n°,

：.ZAON-ZPOM^9Q°-n-(70°-n)=20°.

22.(2022秋•福田区期末)如图，直线AB,C£)相交于点。，OA平分/EOC.

(1)若/EOC=70。，求/BO。的度数；

(2)若/EOC：ZEOD=2：3,求N8OO的度数.

【分析】⑴根据角平分线定义得到/4%=¥或兀=970°=35°,然后根据对顶角相等得到/

BOD=NAOC=35°；

(2)先设NEOC=2x,ZEOD=3x,根据平角的定义得2x+3x=180°,解得x=36°,则NE0C=2x=

72°,然后与(1)的计算方法一样.

【解答】解：(1)平分NEOC,

AZAOC^—ZEOC^—X70°=35°,

22

.•./2O£)=/AOC=35°；

（2）设NEOC=2x,NEOD=3x,根据题意得2x+3x=180°,解得尤=36°,

:./EOC=2x=72°,

Z.ZAOC^AZEOC^Ax72°=36°,

22

：.ZBOD^ZAOC^36°.

23.（2022秋•新化县期末）如图，A,O,B三点在同一直线上，N80D与N20C互补.

（1）/AOC与的度数相等吗，为什么？

（2）已知0M平分NAOC,若射线ON在/CO。的内部，且满足/AOC与NMON互余;

®ZAOC=32°,求NM0N的度数；

②试探究NAON与/。ON之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由.

备用图

【分析】（1）根据补角的性质即可求解；

（2）①根据余角的定义解答即可；

@ZAON=ZDON,根据角平分线的定义以及补角与余角的定义，分别用NAOM的代数式表示出NAON

与/OON即可解答.

【解答】解：（1）ZAOC=ZBOD,

■:/BOD与NBOC互补，

：.ZBOD+ZBOC=1^0°,

VZAOC+ZB(9C=180°,

NAOC=NBOD；

(2)①：NAOC与NMON互余，

，ZMON=900-ZAOC=58°；

®ZAON=ZDON,

理由如下：

；0Af平分NA0C,

ZAOC^2ZAOM,ZCOM=ZAOM,

'：/AOC与/MON互余,

：.ZAOC+ZMON=90°,

：.NAON=9G-ZAOM,

：.ZCON=90°-3ZAOM,

■:NBOD与NBOC互补，

AZBOD+ZBOC=180°,

：.NCON+NDON+2NBOD=180°,

又；ZBOD=ZAOC=2ZAOM,

：./DON=180°-ACON-2ZBOD

=180°-(90°-3ZAOM)-4ZAOM

=90°-ZAOM.

：.NAON=ADON.

24.（2022秋•金华期末）（1）如图（a）,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.

①若/。。£=40°,则NAC2=140°；若NAC2=120°,则NDCE=60°；

②猜想NACB与NOCE的度数有何特殊关系，并说明理由.

（2）如图（6）,两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则NZM8与NC4E的度数有何关系？

请说明理由.

（3）如图（c）,已知NAOB=a，作NCOO=B（a,0都是锐角且a>0）,若0c在NAOB的内部，请

直接写出ZAOD与ZBOC的度数关系.

图（c）

【分析】（1）①先求出入BCD,再代入/AC8=NACD+N8C£＞求出即可，先求出/BC。，再代入NQCE

=ZBCE-NBCD求出即可;

②先计算：ZACB=90°+ZBCD,再加上/DCE可得结果;

（2）先计算NZMB=60°+ZCAB,再加上/CAE可得结果;

（3）分情况讨论：①。。在。2上方；。£＞在N20C内部；③。。在NAOC内部；④0。在0A下方.

【解答】解：（1）①根据题意，ZAC£＞=90°,ZDCE=40°,

ZACE^ZACD-ZDCE^90°-40°=50°,

\'ZBCE=9Q°,

ZACB=ZACE+ZBCE=50a+90°=140°,

根据题意，ZBCE=90°,ZACB=120°,

ZACE=ZACB-ZBCE=120°-90°=30°,

VZACD=90°,

.,.ZDC£=90°-30°=60°.

故答案为：140。；60；

②根据题意,

NACB=NACD+NBCD=90°+ZBCD,

ZACB+ZDCE

=90°+ZBCD+ZDCE

=90°+ZBCE

=180°；

(2)根据题意,

ZDAB+ZCAE=12Q°,

"?ZDAB=ZDAC+ZCAB=60°+ZCAB,

：.ZDAB+ZCAE

=60°+ZCAB+ZCAE

=60°+ZEAB

=120°,

①0。在08上方时，如图：ZAOD+ZBOC=ZAOB+