新高考数学二轮复习讲练专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）（原卷版）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题目录01倍长定比分线模型 202倍角定理 303角平分线模型 404隐圆问题 605正切比值与和差问题 706四边形定值和最值 807边角特殊，构建坐标系 1008利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 1209利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 1310三角形中的几何计算 1711三角形的形状判定 1801倍长定比分线模型1．（2023·四川成都·统考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且满足____．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若△ABC的面积为SKIPIF1<0，D在边AC上，且CD=SKIPIF1<0CA，求BD的最小值．4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设SKIPIF1<0中角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的中线，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的长度；(2)求SKIPIF1<0的面积；(3)点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（不含端点）分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．02倍角定理5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且________．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为SKIPIF1<0三个内角A，B，C的对边，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角三角形，求SKIPIF1<0的取值范围．7．（2023·湖南·高三校联考期末）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.03角平分线模型8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0之间的等式关系；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且SKIPIF1<0(1)求角A的值；(2)若SKIPIF1<0，BC边上的中线长为1，SKIPIF1<0为角A的角平分线，求SKIPIF1<0的长．10．（2023·河南·模拟预测）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，SKIPIF1<0的面积记为S，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．11．（2023•甲卷）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线，则SKIPIF1<0．12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线交BC于点D，求SKIPIF1<0的长．13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得SKIPIF1<0，连接AD．已知SKIPIF1<0为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0长．04隐圆问题14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0的面积最大时，它的内切圆的半径为.15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的面积最大时，则SKIPIF1<0的长为.16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数SKIPIF1<0的动点轨迹”，设SKIPIF1<0的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，SKIPIF1<0的一个阿氏圆上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为SKIPIF1<0，则三角形的面积为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点SKIPIF1<0的距离的和等于常数（大于SKIPIF1<0）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．6 B．10 C．12 D．205正切比值与和差问题18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<020．（2023·湖北·统考一模）锐角SKIPIF1<0中，角A所对的边为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，给出以下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0有最小值8.其中结论正确的是A．1 B．2 C．3 D．421．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．06四边形定值和最值22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时SKIPIF1<0的值；若没有，请说明理由．23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.(2)求SKIPIF1<0的最大值.24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.

(1)求SKIPIF1<0的大小；(2)如图，SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0的右侧取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0为何值时，四边形SKIPIF1<0面积的最大，并求出该最大值．25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外一点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成平面四边形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在SKIPIF1<0四个点分别建造了供老年人活动的器械.SKIPIF1<0四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六条步行道，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0的面积.

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值:(2)求SKIPIF1<0的最大值，并求SKIPIF1<0取到最大值时SKIPIF1<0的值.27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，四边形ABCD面积为4，求SKIPIF1<0的值．07边角特殊，构建坐标系28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则△ABC的面积的最大值为．29．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0所在的平面内存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积的最大值为．30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的中线，SKIPIF1<0，则该三角形面积最大值为．31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的三边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.32．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0为等边SKIPIF1<0内一动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为三角形内满足SKIPIF1<0的动点，则SKIPIF1<0最小值为.34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，有以下四个命题中正确的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不可能是直角三角形C．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<035．（2023·福建·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上的一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．25 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<008利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值，及取最值时对应的SKIPIF1<0的值；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，并且满足__________.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的平分线，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.39．（2023·全国·高三专题练习）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求a的最小值；(2)若SKIPIF1<0，BC边上的中线长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.09利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．42．（2022•上海）如图，在同一平面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，曲线SKIPIF1<0上任一点到SKIPIF1<0距离相等，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0；（1）若点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，求SKIPIF1<0的大小；（2）SKIPIF1<0在何位置，求五边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最大值．43．（2020•新课标Ⅱ）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最大值．44．（2022•新高考Ⅰ）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为钝角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，SKIPIF1<0成等比数列．(1)若SKIPIF1<0，求角C；(2)若SKIPIF1<0的面积为S，求SKIPIF1<0的取值范围．47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0为三角形的三条高线，且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值.(2)求SKIPIF1<0的取值范围.48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点．

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；(2)求SKIPIF1<0的最大值．49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(