新高考数学二轮复习讲练专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大题型）（练习）（解析版）

专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类目录01阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 202蒙日圆 403阿基米德三角形 604仿射变换问题 1005圆锥曲线第二定义 1206焦半径问题 1607圆锥曲线第三定义 1908定比点差法与点差法 2109切线问题 2510焦点三角形问题 2811焦点弦问题 3012圆锥曲线与张角问题 3213圆锥曲线与角平分线问题 3414圆锥曲线与通径问题 3815圆锥曲线的光学性质问题 4016圆锥曲线与四心问题 4301阿波罗尼斯圆与圆锥曲线1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为SKIPIF1<0，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，M为圆O上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题知圆SKIPIF1<0是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，比较两方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，当点M位于图中SKIPIF1<0的位置时，SKIPIF1<0的值最大，最大为SKIPIF1<0.故选：B.2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及动点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则点SKIPIF1<0的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由已知SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为直径的圆，除去SKIPIF1<0点，故圆心为SKIPIF1<0，半径为3，则SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，易知O、Q在该圆内，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在C上存在点M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0三点不共线时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0，故B正确；设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以C上不存在点M，使得SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，等号成立，故D正确.故选：C.02蒙日圆4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的蒙日圆为SKIPIF1<0，则椭圆Γ的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，SKIPIF1<0分别与椭圆相切，显然SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0在蒙日圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：D5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆C的蒙日圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，于是椭圆的上顶点SKIPIF1<0，右顶点SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0两点的椭圆切线方程分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则两条切线的交点坐标为SKIPIF1<0，显然这两条切线互相垂直，因此点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆上，圆心为椭圆SKIPIF1<0的中心O，椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆半径SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆方程为SKIPIF1<0.故选：B6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线SKIPIF1<0的两条相互垂直的切线的交点SKIPIF1<0的轨迹是以坐标原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线与椭圆相切于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是坐标原点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为直角时，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据蒙日圆定义，圆SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0为直角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.03阿基米德三角形7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的SKIPIF1<0倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的动点，则下列结论正确的是（

）①椭圆SKIPIF1<0的标准方程可以为SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】对于①：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，故①正确；对于②：由定义可知SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故②错误；对于③：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故③错误；对于④：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故④正确；故选：D8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线SKIPIF1<0，过焦点的弦SKIPIF1<0的两个端点的切线相交于点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上，且以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0点B．SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上，但以SKIPIF1<0为直径的圆不过SKIPIF1<0点C．SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上，但以SKIPIF1<0为直径的圆不过SKIPIF1<0点D．SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上，且以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0点【答案】D【解析】设SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；同理可得：当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0处的切线方程切线方程为SKIPIF1<0；经检验，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，切线方程为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程为：SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，则抛物线在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0满足直线方程：SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0点必在直线SKIPIF1<0上；AC错误；由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0点；B错误，D正确.故选：D.9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线SKIPIF1<0，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则过A的切线为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得过点SKIPIF1<0的切线斜率为SKIPIF1<0，过点B的切线方程为：SKIPIF1<0，联立两切线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以两条切线的交点SKIPIF1<0在准线上，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也成立），如图，设准线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0最短（最短为SKIPIF1<0），SKIPIF1<0也最短（最短为SKIPIF1<0），此时SKIPIF1<0的面积取最小值SKIPIF1<0．故选：B04仿射变换问题10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆左右焦点，过SKIPIF1<0作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于SKIPIF1<0四点，若当两条弦垂直于SKIPIF1<0轴时，点SKIPIF1<0所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】作仿射变换，令SKIPIF1<0，可得仿射坐标系SKIPIF1<0，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0坐标分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作两条平行的弦分别与圆交于SKIPIF1<0四点.由平行四边形性质易知，三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0四点所形成的平行四边形面积的SKIPIF1<0，故只需令三角形SKIPIF1<0面积的最大值在弦SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时取到即可.当SKIPIF1<0时，三角形SKIPIF1<0面积的最大值在弦SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0左顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上两动点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是非零实数），求SKIPIF1<0.【答案】1【解析】解法1：可得点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边同乘以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．解法2：作变换SKIPIF1<0之后椭圆变为圆，方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的上方，则△SKIPIF1<0内切圆的圆心所在的定直线方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，作仿射变换：SKIPIF1<0，椭圆变为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0变为直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由垂径定理SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0内切圆的圆心所在的定直线方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<005圆锥曲线第二定义13．（2024·四川眉山·校考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设双曲线SKIPIF1<0的右准线为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示：因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由双曲线的第二定义得：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故选：B14．（2024·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知以F为焦点的抛物线SKIPIF1<0上的两点A，B，满足SKIPIF1<0，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【解析】解法1：抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则∵SKIPIF1<0，由抛物线定义可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由①②可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则弦AB的中点到C的准线的距离SKIPIF1<0，d最大值是SKIPIF1<0.∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是SKIPIF1<0，故选：B.解法2：弦AB的中点到C的准线的距离SKIPIF1<0，根据结论SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B.15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为椭圆方程为SKIPIF1<0=1，所以椭圆得离心率SKIPIF1<0，设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，当SKIPIF1<0垂直于右准线时，SKIPIF1<0取得最小值.此时SKIPIF1<0的纵坐标为-1，代入椭圆方程SKIPIF1<0=1，求得SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0.所以点M坐标为SKIPIF1<0，故B，C，D错误.故选：A.16．（2024·山东济宁·统考）过抛物线SKIPIF1<0焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若SKIPIF1<0，则线段BC的中点到准线的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点SKIPIF1<0，渐近线的方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作SKIPIF1<0垂直于准线于SKIPIF1<0，准线交x轴与N,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0x轴，故SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中点的横坐标为3，则线段SKIPIF1<0的中点到准线的距离为SKIPIF1<0，故选：B．06焦半径问题17．（2024·安徽·高二统考期末）过抛物线SKIPIF1<0(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则SKIPIF1<0等于（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】抛物线SKIPIF1<0转化成标准方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0坐标SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设过SKIPIF1<0的SKIPIF1<0直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由韦达定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据抛物线性质可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0，故选：C．18．（2024·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线SKIPIF1<0的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由双曲线SKIPIF1<0可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当F、A、B共线且SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0轴时，m取得最小值，此时SKIPIF1<0．检验:如图，当F、A、B共线且SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0为双曲线的通径，则根据通径公式得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0轴不满足题意.综上，当F、A、B共线且SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0轴时，m取得最小值，此时SKIPIF1<0．故选：B．19．（2024·全国·高三专题练习）抛物线SKIPIF1<0的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定【答案】A【解析】抛物线的焦点SKIPIF1<0，准线x＝－1，设SKIPIF1<0，把它代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由抛物线定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴m＋n＝mn．故选:A20．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是该抛物线上的两点，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴的距离为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】抛物线的准线为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是该抛物线上的两点，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为梯形的中位线，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0，故选C.07圆锥曲线第三定义21．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）过抛物线SKIPIF1<0的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若SKIPIF1<0的中点的纵坐标为2，则SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：SKIPIF1<0(m为常数),与抛物线方程联立消去SKIPIF1<0,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标F(1,0),准线方程SKIPIF1<0,

设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，SKIPIF1<0,∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：SKIPIF1<0(m为常数),代入抛物线的方程消去x并整理得：SKIPIF1<0,设A,B的纵坐标分别为SKIPIF1<0,线段AB中点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴直线AB的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故选：C.22．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）过椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，且切线的斜率小于SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，交椭圆另一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的斜率（

）A．为定值SKIPIF1<0 B．为定值SKIPIF1<0 C．为定值SKIPIF1<0 D．随SKIPIF1<0变化而变化【答案】C【解析】设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点,故SKIPIF1<0.代入化简可得SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0.又直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直,故SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,代入圆SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0为定值.故选：C23．（2024·陕西咸阳·统考）已知双曲线SKIPIF1<0上存在两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，且线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线上，整理可得SKIPIF1<0，进而可得到离心率.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相减可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，故选：B.08定比点差法与点差法24．（2024·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）如图，P为椭圆SKIPIF1<0上的一动点，过点P作椭圆SKIPIF1<0的两条切线PA，PB，斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0为定值，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0则过SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0将直线方程与椭圆SKIPIF1<0联立可得SKIPIF1<0化简可得SKIPIF1<0因为相切,所以判别式SKIPIF1<0展开得SKIPIF1<0同时除以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0合并可得SKIPIF1<0同除以SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0展开化简成关于SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.因为SKIPIF1<0为定值,可设SKIPIF1<0由韦达定理,SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0在椭圆上,代入可得SKIPIF1<0化简可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故选:C25．（2024·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），那么SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0【答案】A【解析】先设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由点差法求出SKIPIF1<0，再由点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆内，求出SKIPIF1<0的范围即可得解.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆内，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0内有一定点SKIPIF1<0，过点P的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0交于A、C和B、D两点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0变化时，直线CD的斜率总为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0两点坐标代入椭圆方程并化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两式相加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A.27．（2024·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点A、SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，则点A的坐标是．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则左焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上，则有SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<009切线问题28．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：SKIPIF1<0的切线，切点为Q，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】圆C的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，标准单位圆的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可知圆C与标准单位圆外离，即点P在圆C外，由题意可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.29．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一个动点，过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为切点，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0/4.5【解析】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.