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文档简介
高中数学精编资源-2023学年南京师范大学附属实验中学高一下期中考试一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)1.已知向量,不共线,向量,且,则的值为()A.1 B. C.±1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理及平面向量基本定理列出等式解出即可.【详解】解:因为向量,不共线,且,所以,即,,所以,解得或.故选:C2.已知,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标.【详解】因为,,则.故选:A.3.()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算法则即可计算.【详解】.故选:A.4.已知函数,则的最小正周期为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.【详解】,因此,函数的最小正周期为,故选:B.5.已知,则()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】当时,分别求出,,从而求出的值;当时对原式两边同时除以得到,的关系式,利用的公式求出结果.【详解】当时,,即,;原式变为,即,所以,.此时.当时,对两边同时除以,得,即,所以.综上所述,.故选:A.6.已知,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将看成整体,转化,然后利用二倍角整体代换,求解即可.【详解】,,所以,故选:D7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础,根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧,若在B,C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100,则该球体建筑物的高度约为()(cos10°≈0.985)A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60【答案】B【解析】【分析】数形结合,根据三角函数解三角形求解即可;【详解】设球的半径为R,,,故选:B.8.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为A1,A2,A3,…,An,若P点坐标为(0,1),则()A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象,所有交点从左到右依次记为A1,A2,A3,A4,A5根据为的一个对称点,得到关于对称,关于对称,再用中点坐标公式得到求解.【详解】由题意作出图象如图,共得5个交点,根据余弦函数的中心对称性可知,和,和关于对称,,,∴.故选:A.二、多选题(共4小题,每题5分,共20分)9.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.共线 B.相等C.模相等,方向相反 D.模相等【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的加法和减法的几何意义(平行四边形法则),结合矩形的判定与性质进行分析可解.【详解】∵四边形ABCD是矩形,,所以共线,模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,模相等,但的方向不同,故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB,所以的模相等,方向相反,故C正确.【点睛】本题考查向量的共线,相等,模,向量的加减法的几何意义,属基础题,根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键.10.下列各式中,值为1的是(
)A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】选项A利用二倍角的余弦公式计算得出结果;选项B利用二倍角的正弦公式计算得出结果;选项C利用两角和的余弦公式计算得出结果;选项D利用两角和的正切公式计算得出结果.【详解】对于选项A,,故A错误;对于选项B,,故B正确;对于选项C,,故C正确;对于选项D,,故D错误.故选:BC.11.若复数为纯虚数,则()A.为实数 B.为实数C.为实数 D.为实数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意,设且,得到,结合复数的运算法则,逐项判定,即可求解.【详解】因为为纯虚数,设且,则,由,所以A正确;由,所以B错误;由为实数,所以C正确;由为实数,所以D正确.故选:ACD.12.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,则下列说法正确的是(
)A.若B+C=2A,则面积的最大值为B.若,且只有一解,则b的取值范围为C.若C=2A,且为锐角三角形,则c的取值范围为D.为的外心,则【答案】ACD【解析】【分析】对于A,由正弦定理可得,根据求出,再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A;由正弦定理得,利用可判断B;求出,利用为锐角三角形得的范围,由正弦定理得,求出的范围可判断C;做交于点点,则点为的中点,设可得,利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A,由正弦定理可得,因为,所以,所以,若,且,所以,由余弦定理得,由,可得,即,则面积,所以面积的最大值为,故A正确;对于B,若,且,由正弦定理得,所以,当时即,所以时有一解,故B错误;对于C,若C=2A,所以,且为锐角三角形,所以,解得,所以,由正弦定理得,故C正确;对于D,如图做交于点点,则点为的中点,且,设,所以,所以,故D正确.故选:ACD.三、填空题(共3小题)13.函数的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简,由正弦型函数值域可求得结果.【详解】,当时,.故答案为:.14.在中,角,,所对的边分别为,,,且满足,那么的形状一定是______.【答案】等腰或直角三角形【解析】【分析】利用余弦定理化简已知条件,由此判断出三角形的形状.【详解】由和余弦定理得,即,整理得,所以或,即或,所以三角形是等腰或直角三角形.故答案为:等腰或直角三角形【点睛】本小题主要考查余弦定理判断三角形的形状,属于基础题.15.如图在直角梯形中,已知,,,,,则__________.【答案】22【解析】【分析】根据向量的加法原理和数量积求解即可;【详解】解:因为,所以,因为,,,所以,因为直角梯形,所以,故,所以原等式.故答案为:22.16.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称,如图,在平面斜角坐标系中,两坐标轴的正半轴的夹角为,,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量,在该斜角坐标系下的坐标分别为,,当_______时,.【答案】【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量(用两个已知单位向量表示),然后由向量数量积计算可得.【详解】由已知,,,,解得:.故答案为:.四、解答题(共6小题,共70分)17.已知(1)求的值(2)求值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)通过求出然后代入公式求解即可;(2)结合诱导公式与齐次式化简,代入求解即可;【小问1详解】因为,所以;【小问2详解】=,齐次式化简:,故18.平面内给定三个向量,,.(1)求;(2)求;(3)若,求实数k.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根据平面向量夹角的坐标公式即可求解;(2)根据平面向量模长公式坐标表示即可求解;(3)根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】解:因为,,所以,,,所以;【小问2详解】解:因为,,所以,所以;小问3详解】解:因为,,,又,所以,解得.19.如图,在平面四边形中,,,,,.(1)求边的长;(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中利用正弦定理可得解;(2)在中,先由余弦定理得,进而得,最后利用面积公式求解即可.【小问1详解】在中,,由正弦定理得.【小问2详解】在中,由余弦定理得.∴.∴.20.“不以规矩,不能成方圆”,出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺,是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板,以“矩”量之,较长边为10cm,较短边为5cm,如图所示,将这块圆形木板截出一块三角形木块,三角形顶点都在圆周上,角的对边分别为,,,满足(1)求;(2)若的面积为,且,求的周长【答案】(1)(2)cm【解析】【分析】(1)根据题意可求圆的直径,再结合正弦定理运算求解;(2)根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.【小问1详解】设的外接圆半径为,则(cm),由正弦定理,可得.【小问2详解】∵,则,故为锐角,∴,由面积公式,即,可得,由余弦定理,即,可得,解得(cm),故的周长为(cm).21.如图,在边长为2的等边三角形中,D是的中点.(1)求向量与向量的夹角;(2)若O是线段上任意一点,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据平面向量的夹角公式计算可得结果;(2)将表示为的函数,再根据二次函数知识可求出结果.【小问1详解】由题意可得
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