广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷（含答案解析）

广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式得出相应解集，再根据解集之间的包含关系可得结论.【详解】由解得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.2.若双曲线满足，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率公式计算可得答案.【详解】由，得，即.故选：C.3.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交并补集的性质可得再运算即可.【详解】因为，则，即，因为.故选：A4.已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案.【详解】四棱锥的体积，得，直线与平面所成角的正弦值为，故选：B.5.设，，分别为函数，，零点，则，，的大小关系为().A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，f1=0，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；若，则，所以时，，即；若，则，所以时，，即.综上所述，，故选：D.6.已知向量，，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可.【详解】因为，，所以四边形为直角梯形.，，，则面积，故选：B.7.已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调，所以列出不等式，计算出，判断即可.【详解】由题意知，，则，因为，所以，又因为在区间上单调，所以，解得，则的最大值为.故选：B.8.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（）A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可.【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，，即，，从而且.由可得事件；又因为，所以1或2.(1)若，则，即，，此时不满足；(2)若，则，且，又因为，所以或，即或3；①若，，此时或或或，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本点，即有个满足条件的事件；②若，，同理有个满足条件的事件；③若，，此时或或或，即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件；④若，，同理有个满足条件的事件；综上所述，满足条件的事件共计个.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.可以B.若为纯虚数，则的虚部是2C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据复数运算法则计算可得A正确，B错误，C正确，再由复数的几何意义并根据圆上点的距离最值问题可得D错误.【详解】当时，，选项A正确；若为纯虚数，则，选项B错误；易知，选项C正确；由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上，的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误，故选：AC.10.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.B.C.当时，取得最小值D.记，则数列前项和为【答案】BCD【解析】【分析】运用等差数列计算公式，得到通项公式和求和公式，结合二次函数性质可解.【详解】设公差为，因为，则，解得.由得，选项A错误；，则，选项B正确，二次函数性质知道时，最小，选项C正确；，所以bn为等差数列，，前项和为，选项D正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.当时，在上的最大值为B.在上单调递增C当时，D.当且仅当时，曲线与轴有三个交点【答案】ABD【解析】【分析】代入可得分段函数的解析式，求导得出单调新计算可得A正确，对参数进行分类讨论得出解析式，求导得出单调性可判断B正确；取特殊值可知当时，，可得C错误；根据函数图象由交点个数得出不等式可解得，可得D正确.【详解】（1）当时，可得则；则当时，，单调递增；当时，，单调递减，如图（a）；当时，，选项A正确；图（a）图（b）图（c）图（d）（2）当时，易知①当时，恒成立，单调递增，如图（b）；②当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减，如图（c）；（3）当时，易知当时，，单调递增；当时，，单调递减；如图（d）综上所述，在上单调递增，选项B正确；当时，不一定成立，比如时，，选项C错误；只有时，的图象与轴可能有三个交点，此时解得，选项D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对参数进行分类讨论得出解析式，通过求导得出单调性，再根据极值以及函数图象交点个数判断得出结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.12.在中，，，，则________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理，得，解得，又，所以，即.故答案为：13.若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为________.【答案】3【解析】【分析】先由基本不等式得出，当且仅当时，的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.【详解】函数是偶函数，且，当且仅当时等号成立，此时，因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为.故答案为：.14.已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________.【答案】①.；②.【解析】【分析】当直线经过点且垂直于轴时，线段，当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果.【详解】设，易知长半轴长，离心率；设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，所以，得，此时直线，将代入得，所以.若没有经过点，设Ax1,y1由椭圆性质和题意可知，，所以，a-ex1.由椭圆方程得，代入上式有.，则，同理，所以的周长.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下：出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行频数542738421821用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：（1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和；（2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）记“低碳出行”为事件，根据二项分布的期望公式计算可得答案；（2）根据全概率公式计算可得答案.【小问1详解】记“低碳出行”为事件，估计.则，，；【小问2详解】由（1）知，则有，记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，由题意，，所以.16.已知函数.（1）求曲线在点处切线方程；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可得直线斜率，进而可求解直线方程，（2）对分和，求导，即可根据单调性求解，或者将不等式变形为，构造，，分别利用导数求解函数的单调性，求得最值求解.小问1详解】，，则，曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】解法1：定义域为.①当时，，，则，即；②当时，.设，，由于均在上单调递增，故在上单调递增，，所以，所以在上单调递增，，，即，所以在上单调递增，，则，综上所述，.解法2：定义域为.要证，只需证，只需证，令，，，当，，单调递减；当，，单调递增，，，当，，单调递增；当，，单调递减，，综上所述，，也就是，即【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．17.如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.（1）求证；平面；（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；（2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】取的中点为，连接，.点，分别是，的中点，是的中位线，即，，在菱形中，，.，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.【小问2详解】连接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，则，所以.即直线，，两两垂直.如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为n1=x1,y由得取.由得取.设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角的余弦值为.18.在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.（1）求，，，；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3；5；9；13（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；（2）由题意，，再分与两种情况求解即可；（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.【小问1详解】由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.则，，，.【小问2详解】由题意，.当，时，，且满足上式，所以当为奇数时，.当时，.所以【小问3详解】存在时，使得，，，成等比数列证明如下：由（2）可得，，，假设，，成等比数列，则，化简得，所以，即，此时，所以当时，，，，成等比数列.19.已知集合，，设函数.（1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由；（2）已知，求函数是常数函数的概率；（3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）（3），理由见解析【解析】【分析】（1）分情况讨论，运用三角恒等变换诱导公式，同角三角函数关系式，二倍角公式进行化简函数，再结合常数函数概念判定即可；（2）运用常数函数概念，结合和差角公式，结合三角函数方程知识，进行计算，再结合古典概型概率计算即可；（3）运用常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可.【小问1详解】当时，，此时是常数函数；当时，，此时不是常数函数.【小问2详解】设，不妨令..若函数是常数函数，则则，得，所以，得或，，所以或，，同理或，，或，