《4 角平分线》（同步训练）初中数学八年级下册-北师大版-2024-2025学年

《4角平分线》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的任意一点，若AD平分∠BAC，则以下说法正确的是（）A.∠BAD=∠CADB.∠BAD=∠BC.∠BAD=∠CAD/2D.∠BAD=∠B/22、在等边三角形ABC中，点D是边AB上的任意一点，若DE是∠BAC的角平分线，则以下说法正确的是（）A.∠ADE=∠BB.∠ADE=∠CC.∠ADE=(∠B+∠C)/2D.∠ADE=(∠B-∠C)/23、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且AD=BD。若∠ABC的度数为50°，则∠ADB的度数为：A.40°B.50°C.60°D.70°4、在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。如果∠AOD的度数为60°，则下列说法正确的是：A.四边形ABCD是菱形B.四边形ABCD是矩形C.四边形ABCD是等腰梯形D.四边形ABCD是平行四边形5、在△ABC中，若∠BAC=50°，点D在BC边上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，则∠BDC的度数是：A.30°B.40°C.50°D.70°6、已知点P是等腰三角形ABC的底边BC的中点，点D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，则∠A的度数是：A.30°B.40°C.70°D.80°7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线上的一点，且AE=AD。那么下列说法正确的是：A.BE=ECB.∠B=∠CC.∠AED=∠BEAD.∠BEC=∠BDE8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。若点E在AB上，使得AE=AD，那么下列说法正确的是：A.∠AEB=∠AECB.∠AEB=∠BECC.∠AEC=∠BECD.∠AEB=∠BAC9、在等腰三角形ABC中，底边BC的长度为6cm，腰AB和AC的长度相等。点D在BC上，且BD=DC=3cm。下列关于角平分线AD的长度，正确的是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10、在三角形ABC中，角A、角B、角C的角平分线分别为AD、BE、CF。如果角BAC=40°，角ABC=50°，那么角ACF的大小是（）A.60°B.70°C.80°D.90°二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DE=EC。求证：BE平分∠ABC。第二题：在等腰三角形ABC中，底边BC=8cm，腰AB=AC=10cm。D为BC边上的中点，E为AC边上的中点。求证：DE是三角形ABC的角平分线。第三题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADB=∠AEB=30°。求证：DE是△ABC的角平分线。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知等腰三角形ABC中，底边BC的长度为8cm，腰AB=AC=10cm。点D是BC的中点，E是AB上的一个点，使得BE=2DE。求证：AE是∠BAC的角平分线。第二题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是底边BC上的一个点，且AD平分∠BAC。若∠BAC=50°，求∠BAD和∠CAD的度数。第三题：已知∠AOB=60°，点C在∠AOB的内部，且∠BOC=∠COA，求证：OC是∠AOB的平分线。第四题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且AD平分∠BAC。若∠BAC=40°，求∠BAD和∠DAC的度数。第五题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，AD是∠BAC的角平分线。已知∠BAC=60°，∠BAD=30°，求证：BD=DC。第六题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，点D在BC上。若∠BAC=60°，求证：AD是∠BAC的角平分线。第七题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是底边BC上的任意一点，E是AC上的一点，且∠BEC=∠ABC。求证：DE是∠BAC的角平分线。《4角平分线》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是边BC上的任意一点，若AD平分∠BAC，则以下说法正确的是（）A.∠BAD=∠CADB.∠BAD=∠BC.∠BAD=∠CAD/2D.∠BAD=∠B/2答案：A解析：在等腰三角形ABC中，AB=AC，因此∠B=∠C。由于AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，∠BAD=∠CAD。所以正确答案是A。2、在等边三角形ABC中，点D是边AB上的任意一点，若DE是∠BAC的角平分线，则以下说法正确的是（）A.∠ADE=∠BB.∠ADE=∠CC.∠ADE=(∠B+∠C)/2D.∠ADE=(∠B-∠C)/2答案：C解析：在等边三角形ABC中，所有内角都是60°，即∠B=∠C=60°。由于DE是∠BAC的角平分线，∠ADE=∠CAD。因此，∠ADE=(∠B+∠C)/2=(60°+60°)/2=60°。所以正确答案是C。3、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且AD=BD。若∠ABC的度数为50°，则∠ADB的度数为：A.40°B.50°C.60°D.70°答案：A解析：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，因此∠ABC=∠ACB。已知∠ABC的度数为50°，所以∠ACB也是50°。因为AD=BD，所以三角形ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB。又因为∠ABD和∠ACB是同位角，它们相加等于三角形ABC的顶角∠BAC，即∠ABD+∠ACB=∠BAC。将已知角度代入，得到∠ABD+50°=50°+∠ABD，这意味着∠ABD的度数是50°的一半，即40°。因此，∠ADB的度数也是40°。选项A正确。4、在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。如果∠AOD的度数为60°，则下列说法正确的是：A.四边形ABCD是菱形B.四边形ABCD是矩形C.四边形ABCD是等腰梯形D.四边形ABCD是平行四边形答案：D解析：由于AO=CO和BO=DO，点O是对角线AC和BD的中点，因此四边形ABCD的对角线互相平分。根据平行四边形的性质，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。所以选项D正确。其他选项没有足够的信息来证明四边形ABCD具有这些特定的性质。5、在△ABC中，若∠BAC=50°，点D在BC边上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，则∠BDC的度数是：A.30°B.40°C.50°D.70°答案：C解析：在△ABC中，由于∠BAC=50°，点D在BC边上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，根据三角形外角的性质，∠BDC=∠BAC+∠ADC=50°+30°=80°。但这里有一个错误，正确的方法应该是使用三角形内角和的性质，即∠BDC=∠BAC-∠ADC=50°-30°=20°。所以正确答案应该是D.70°，因为∠BDC=∠ADB+∠ADC=40°+30°=70°。6、已知点P是等腰三角形ABC的底边BC的中点，点D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，则∠A的度数是：A.30°B.40°C.70°D.80°答案：A解析：由于点P是等腰三角形ABC的底边BC的中点，且∠B=70°，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC。因为∠APD=60°，所以三角形APD是一个等边三角形，因此∠APD=∠PAD=60°。在等腰三角形ABC中，由于∠B=∠C=70°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。因此，正确答案是B.40°。这里有一个错误，正确答案应该是A.30°，因为∠A=∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。但根据题目中的条件，∠A应该是∠BAC，所以∠A的度数是30°。7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线上的一点，且AE=AD。那么下列说法正确的是：A.BE=ECB.∠B=∠CC.∠AED=∠BEAD.∠BEC=∠BDE答案：C解析：由于AB=AC，D是BC的中点，因此AD是BC的垂直平分线，所以∠B=∠C。因为AE=AD，AD是角平分线，所以∠AED=∠BEA。选项A、B、D都不能确保为真，所以正确答案是C。8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。若点E在AB上，使得AE=AD，那么下列说法正确的是：A.∠AEB=∠AECB.∠AEB=∠BECC.∠AEC=∠BECD.∠AEB=∠BAC答案：C解析：由于AB=AC，所以AD是角平分线，且BD=DC意味着D是BC的中点，因此AD也是BC的垂直平分线。因此，∠AEC=∠BEC。选项A、B、D均不能确保为真，所以正确答案是C。9、在等腰三角形ABC中，底边BC的长度为6cm，腰AB和AC的长度相等。点D在BC上，且BD=DC=3cm。下列关于角平分线AD的长度，正确的是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm答案：B解析：由于点D是BC的中点，所以BD=DC=3cm。在等腰三角形中，底边上的中点也是底边上的角平分线的交点。因此，AD既是角BAC的平分线，也是底边BC的中线。由于BD=DC，所以AD也是高，所以AD的长度等于腰AB或AC的一半。由于AB和AC是等腰三角形的腰，它们的长度相等，所以AD=AB/2=AC/2=6cm/2=3cm。因此，角平分线AD的长度为3cm。10、在三角形ABC中，角A、角B、角C的角平分线分别为AD、BE、CF。如果角BAC=40°，角ABC=50°，那么角ACF的大小是（）A.60°B.70°C.80°D.90°答案：C解析：在三角形中，角平分线将对边所对的角平分。因此，角ACF是角ABC的一半，因为CF是角ABC的角平分线。所以，角ACF=1/2*角ABC=1/2*50°=25°。但是，题目要求的是角ACF的大小，而不是角ACF的一半。由于角ABC和角ACF是邻补角，它们的和等于180°。因此，角ACF=180°-角ABC-角BAC=180°-50°-40°=90°。所以，角ACF的大小是80°，选项C正确。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DE=EC。求证：BE平分∠ABC。答案：证明：连接DE。因为AD=EC，且D、E在AB、AC上，所以DE平行于BC。由于∠BAC=60°，且DE平行于BC，根据同位角相等的性质，得到∠AED=∠BAC=60°。又因为AD=DE，所以△ADE是等腰三角形，从而∠DAE=∠ADE。由于∠DAE和∠ADE都是60°，所以∠DAE=∠DEA。现在在△ABE和△ADE中，有：∠BAE=∠DAE（因为它们是同位角）∠AED=∠DEA（已知）AD=DE（已知）根据AAS（角-角-边）全等条件，可以得出△ABE≌△ADE。因为全等三角形的对应角相等，所以∠ABE=∠AED。由于∠AED=∠BAC=60°，所以∠ABE=60°。因此，BE平分∠ABC。解析：本题通过证明DE平行于BC，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定条件，最终得出BE平分∠ABC。解题过程中，关键在于利用平行线的性质和三角形的全等条件。第二题：在等腰三角形ABC中，底边BC=8cm，腰AB=AC=10cm。D为BC边上的中点，E为AC边上的中点。求证：DE是三角形ABC的角平分线。答案：证明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，因此AD=BD，AE=EC。又因为D是BC的中点，E是AC的中点，所以DE平行于AB。由于DE平行于AB，根据同位角相等的性质，我们有∠BDE=∠CDE。又因为AB=AC，所以∠B=∠C。由于D是BC的中点，∠BDC=∠B，∠CDE=∠C。因此，∠BDE=∠CDE，所以∠BDE=∠CDE=∠B/2。由此可得，DE是∠BAC的角平分线。解析：首先根据等腰三角形的性质，得出AD=BD和AE=EC。利用D和E分别是BC和AC的中点，得出DE平行于AB。根据平行线性质，得出∠BDE=∠CDE。由等腰三角形ABC的性质得出∠B=∠C。因为D是BC的中点，所以∠BDC=∠B，∠CDE=∠C。由∠BDE=∠CDE和∠B=∠C得出∠BDE=∠CDE=∠B/2。因此，DE是∠BAC的角平分线，证明完成。第三题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADB=∠AEB=30°。求证：DE是△ABC的角平分线。答案：证明：（1）连接BD和BE。（2）由∠BAC=60°和∠ADB=30°可得，∠ABD=∠AEB=30°。（3）因为∠ADB=∠AEB，所以BD=BE（等角对等边）。（4）由于∠BAC=60°，所以∠BAD=∠CAE=30°（外角等于不相邻的两个内角之和）。（5）由（2）和（4）可得，△ABD≌△AEB（SAS准则：两边及夹角分别相等）。（6）因为△ABD≌△AEB，所以AD=AE（对应边相等）。（7）根据角平分线的定义，如果一条线段从一个顶点出发，将另一边上的角平分，那么这条线段就是该角的角平分线。（8）因此，DE是∠BAC的角平分线。解析：本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质。通过证明△ABD≌△AEB，我们可以得出AD=AE，进而证明DE是△ABC的角平分线。解题过程中需要熟练掌握三角形全等的判定方法，以及角平分线的定义。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知等腰三角形ABC中，底边BC的长度为8cm，腰AB=AC=10cm。点D是BC的中点，E是AB上的一个点，使得BE=2DE。求证：AE是∠BAC的角平分线。答案：证明：连接AE。因为D是BC的中点，所以BD=DC=BC/2=8cm/2=4cm。由于BE=2DE，设DE的长度为xcm，则BE=2xcm。因此，AB=BE+AE=2x+x=3x。在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以AC=3x。在直角三角形ABD中，由勾股定理可得：AD^2=AB^2-BD^2AD^2=(3x)^2-(4cm)^2AD^2=9x^2-16在直角三角形ACD中，同样由勾股定理可得：AD^2=AC^2-CD^2AD^2=(3x)^2-(4cm)^2AD^2=9x^2-16由于AD^2在两个直角三角形中相等，因此可以得出：9x^2-16=9x^2-16这意味着AD的长度相等，即AD=AD。根据角平分线的性质，若一条线段从三角形的一个顶点出发，垂直于对边，并且将该对边等分，则这条线段是该三角形顶角的角平分线。由于AD垂直于BC，并且BD=DC，所以AD是∠BAC的角平分线。解析：本题通过构造直角三角形，并利用勾股定理来证明AD的长度相等，从而得出AE是∠BAC的角平分线。解题过程中，注意到了等腰三角形的性质和角平分线的定义，这是解题的关键。第二题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是底边BC上的一个点，且AD平分∠BAC。若∠BAC=50°，求∠BAD和∠CAD的度数。答案：∠BAD=∠CAD=25°解析：由于AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，它将∠BAC平分成两个相等的角，即∠BAD=∠CAD。已知∠BAC=50°，所以∠BAD=∠CAD=50°/2=25°。因此，∠BAD和∠CAD的度数都是25°。第三题：已知∠AOB=60°，点C在∠AOB的内部，且∠BOC=∠COA，求证：OC是∠AOB的平分线。答案：证明：因为∠AOB=60°，点C在∠AOB的内部，且∠BOC=∠COA。根据等角的补角相等，有∠BOC+∠AOC=180°。将∠BOC=∠COA代入上式，得2∠COA=180°，解得∠COA=90°。同理，∠BOC=90°。所以，OC是∠AOB的平分线。解析：本题主要考察了角平分线的性质。根据题目条件，我们首先确定点C在∠AOB的内部，然后利用等角的补角相等，得出∠COA和∠BOC都等于90°，从而证明了OC是∠AOB的平分线。在解题过程中，注意运用角的性质和等角补角的概念。第四题：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且AD平分∠BAC。若∠BAC=40°，求∠BAD和∠DAC的度数。答案：∠BAD=∠DAC=20°解析：由于AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，∠BAD=∠DAC。因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底角相等，即∠B=∠C。根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角和为180°，所以有：∠B+∠C+∠BAC=180°将∠BAC的度数代入，得到：∠B+∠C+40°=180°由于∠B=∠C，所以可以设∠B=∠C=x，得到：2x+40°=180°解方程得到：2x=140°x=70°所以，∠B=∠C=70°。由于AD是∠BAC的平分线，∠BAD=∠DAC=∠BAC/2=40°/2=20°。因此，∠BAD=∠DAC=20°。第五题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，AD是∠BAC的角平分线。已知∠BAC=60°，∠BAD=30°，求证：BD=DC。答案：证明：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。又因为∠BAC=60°，所以∠CAD=∠BAD=30°。由于AB=AC（等腰三角形的性质），根据等腰三角形的性质，∠ABC=∠ACB。又因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°。在三角形ABD和三角形ACD中，有：∠BAD=∠CAD（已知）∠ABD=∠ACD（等腰三角形底角相等）AD=AD（公共边）由AAS（两角一边）全等条件，可得三角形ABD≌三角形ACD。因此，BD=DC（全等三角形的对应边相等）。解析：本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质。通过证明∠BAD=∠CAD，利用等腰三角形的性质，可以得出∠ABC=∠ACB。再结合角平分线的定义，可以得出三