平面向量的数量积教学讲义

平面向量的数量积教学讲义11知识梳理⑥双基自测ZHISHISHULISWUANGJIZlCE11知识梳理⑥双基自测ZHISHISHULISWUANGJIZlCEZHISHISHULI知识梳理 ).向量的夹角两个非零向量a与b，过。点作(OA=a,(OB=b,则NAOB叫做向量a与b的夹角；范围是[0,n].a与b的夹角为n时，则a与b垂直，记作a±b..平面向量的数量积⑴定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为仇则数量|a||b|cos6叫做a与b的数量积(或内积)，记作a-b，即a-b=|a||b|cos6，规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.(2)几何意义：数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos6的乘积..平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a=(x1,%),b=(x2,%),6为向量a,b的夹角.①数量积：a-b=|a||b|cos6=x1x2+yp2.②模：|a|=%；a-a=■.Jxj土库.③设A(x1,y1),B(x2，y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|=\.'(x]x)+依一y2)2.a-b x,x,+yy④夹角：c0s6=丽=诉飞正.⑤已知两非零向量a与b,a±b台a•b=0台xIx2+y1y2=0；a〃b台a•b=±|a||b|.(或|a|=|a|-|b|).⑥Qb|<|a||b|(当且仅当a〃b时等号成立)台|x1x2+y1y2|Wx/x2+y2•\jx2+y2.(2)平面向量数量积的运算律①a•b=b•a(交换律).②丸a•b=丸(a•b)=a•(Xb)(结合律).③(a+b)•c=a•c+b•c(分配律).ZHONGYAOJIELUN重要结论).两个向量的数量积是一个实数..•.0・a=0而0a=0..数量积不满足结合律(a世Wa•(b)c

.a胪的 不能省略.a-a=a2=\a\i..两向量a与b的夹角为锐角台〃或且〃与。不共线；两向量a与b的夹角为钝角台a物，且a与。不共线.当〃、。为非零向量时a、。同向台a务回|臼；a、。反向台a办一1all瓦.a在。方向上的投影=|0-cose=3p'SHUANGJIZICE双基自测)(2018•辽宁鞍山一中模拟)向量a=(2,-1),b=(—1,2),则(2a+b)-a=(A)A.6 B.51 D.-6［解析］由题意知2a+b=(3,0),「.(2a+b)•a=(3,0)。，-1)=6,故选A.n2n2.(教材改编)已知向量a与b的夹角为n|a|=尬，则a在b方向上的投影为(C)<3c.*-..,23<3c.*-..,23D.-V乙［解析］:a在b方向上的投影为|a|-cosa,b 二飞12cos齐一.选C.J乙3.(2016•3.(2016•全国卷III)已知向量BA=(2,g),BC=(乎，1w,2),则NABC=(A)A.30°C.A.30°C.60°［解析］cosNABC二BA•BC二至|ba\\bC\2，所以NABC=30°.故选A.B.45°120°.(教材改编)已知向量a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a—kb互相垂直，则实数k=(D)［解析］由已知a=(1,2),b=(3,4)，若a+kb与a-kb互相垂直，则(a+kb)•(a-kb)=0,即a2-k2b2=0，即5-25k2-0，即k2=^,所以k=金^故选D..(2017•全国卷I)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=2<3.［解析］由题意知|a+2b|=(a+2b)2

=\/22+4X2X1Xcos60°+4=2G.(教材改编)在圆O中，长度为\/2的弦AB不经过圆心，则AO-AB的值为1.［解析］设向量AO，AB的夹角为8，则AO•AB=|AO||ABpcos"|AO|cos田AB|二；|AB|-|AB1=2义陋)2=1.考点1考点1平面向量数量积的运算——师生共研计例1(1)(2014•重庆)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(—2,—6),|b|=＞，丽，则aDb=10.(2)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,—2),AD=(2,1),则AD•AC=(A)A.5 B.4C.3 D.2(3)已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB•bC+bC•CA+CA•AB的值是一25.［分析］(1)利用数量积的定义求解；(2)利用数量积的坐标公式求解；(3)由已知可得△ABC为Rt△，因此可用多种方法解决.［解析］(1):a=(-2,-6),•.|a|二.、卜2)2+(-6)2=2飞而•・a\b=2-...'10X...1'TOcos60°=10.(2)在口ABCD中，:AB=(1,-2),AD=(2,1),•.AC=AB+AD=(3,-1)二(2,1)-(3,-1)=5.故选A._ _n 3 -(3)解法一：如图，根据题意可得^ABC为直角二角形，且B=2,cosA=-,cosC=4=5，

•・AB-BC+BC•CA+CA•AB二BC•CA+CA•AB=4X5cos(n-C)+5X3cos(n-A)=-20cosC-15cosA=-20X4-15x|=-25.解法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0),B(0,0),C(0,4).•.B=(-3,0),BC=(0,4),CA=(3,-4).AB•B=-3X0+0X4=0,B•CA=0X3+4X(-4)=-16,CA•AB=3X(-3)+(-4)X0=-9.•・AB•bC+BC•CA+CA•AB=-25.解法三：CA在C上的投影为数量CB,CA与AB上的投影为数量BA，因此BC•cA=-BC2=CA•AB=-AB2=-9,AB•BC=0.•・AB•bC+BC•cA+CA•AB=-25.解法四：屈•BC+BC•CA+CA•AB=0+CA•(BC+冲)=CA•AC=-AC2=-25.解法五：:AB+BC+CA=0,将其两边平方可得B2+B2+CA2+2(B•B+AB•CA+B•CA)=0,故B•B+B•CA+BC•CA=-1(B2+B2+CA2)=-25.名师点拨争向量数量积的四种计算方法⑴当已知向量的模和夹角e时，可利用定义法求解，即初。二|«||b|cos夕

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1,y1),b=(x2,72)，则加b=x1x2+y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(3))．〔变式训练1〕(1)(2018•课标全国II,4)已知向量a,b满足|a|=1,a•b=-1,则a・(2a-b)=(B)TOC\o"1-5"\h\zA．4 B．3C．2 D．0(2)(2015・山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，/ABC=60°,则BD•CD=(D)A3 3A.12a2 B.—4a2八3 3C.4a2 D.2a2(3)(文)(2018•湖南五市十校教改共同体联考)在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=4,则AC•DB=—7.(理)在菱形ABCD中，对角线AC=4,E为CD的中点，则AE•AC=(C)A.8 B.10C.12 D.14［解析］(1)本题考查数量积的定义和运算。(2a-b尸2|a|2-。力=2X12-(-1)=3.故选B.(2)解法一：如图(2)解法一：如图BD=BC+CD，又NABC=60°，・•.NBCD=120°，从而可知BC与CD夹角为60°，又BC=CD二a「.BD•CD=(BC+CD)•CD=BC•CD+|CD|2二a•acos60°+a2=2a2故选D.•a•J23-|a2.故选D.解法二：由菱形ABCD的边长为a，NABC=60°得NBCD=120°，NABD=30°，在^BCD中，由余弦定理得BD二承a，所以BD•CD=•a•J23-|a2.故选D.解法三：如图建立平面直角坐标系，则C(。,0),A(a,容),B(0,0)，222a),又CD=B-(a,ga)「.BD-CD=(学，空)•(2,季尸苧+竽二竽，故选D.(3)(文)在平行四边形ABCD中，AB-3,AD-4,AC-AB+AD,DB-AB-AD,则AC•DB-(B+AD)•(诵-AD)-AB2-B2-9-16--7.(理)解法一：转化法：注意到菱形的对角线AC±BD.故用AC、BD表示花，由题意知成-AC+CE-AC+1CD-B+4(BD-B)-4BC+4BD・•.AE•AC-(4AC+4BD)•AC-4|成|2+4BD•Ac-4|AC|2-12，故选C.解法二：坐标化：如图建立平面直角坐标系，则A(-2,0)，C(2,0)，不妨设D(0,2a)，则E(1,・•.AE-(3，a)，AC-(4,0)・•・AE•AC-(3，a)(4,0)-12，故选C.考点2向量的模、夹角——多维探究角度1向量的模2例2(1)(2018•四川绵阳一诊)已知向量a=(x—1,2),b=(x,1),若a〃b，则|a+b|=(D)A.--.；2 B.2C.2\-'2 D.30(2)(2018・四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60°,且a=(1,—\”)，|b|=3,则|2a一，|的值为(C)A.13 B.4C.\［13 D.1(3)(2018•云南昆明一中模拟)已知向量a=(2J),a多=10,|〃+臼=5啦,则|〃=£.［分析］(1)由a〃。求出x,从而求a+A的坐标，进而求|a+〃；(2)求出同，再由|2a—。|=寸(2〃-〃)2求解;(3)由(仅+力)2=50求解.［解析］(l),.a=(x-1,2),b=(x,l)fia//b,■'-x-1=2x,.'.x=-1,.'a=(-2,2),b-{-1,1),；a+b-(-3,3),+b\=4-3)2+32=30.故选D.(2):”(1,-小)，.・.|a|=2..ab|«||A|cos60°=3,HX］a-b\=4(2a-b)2-yj4a2-4ab+岳-.故选C.(3),.'«=(2,1),.,.|«|=>75,又+〃=5y［2,.".\a\2+2ah\b\2=50,.a010,.*.5+20+\b\2=50,=5.名师点拨至平面向量的模的解题方法⑴若向量a是以坐标(％，V)形式出现的，求向量a的模可直接利用同=yjxi+yi.(2)若向量a,b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式同2二&=a截口±如=(。±。)2二即±2优3b2冼求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.即“模的问题平方求解角度2向量的夹角例3(1)(2018•河北武邑中学调研)已知向量a=(2,l),A=(l,3),则向量2a—A与a的夹角为(A)A.135° B.60°C.45° D.30°(2)(2018•广西梧州、柳州摸底)设平面向量mA满足同=1,回=2,|a—2〃=仃.则向量用。的夹角的余弦值为(B)111 B.1C.一行 D.—［分析］利用夹角公式求解.［解析］(1)-.*«=(2,1),^=(1,3),，同二^22+1=^［5,2a-b=(3,-1),从而12a-b\=432+(-1)2-^/TO,且(2仅-b)a=(3,-1)(2,1)=5,记2a-。与优的夹角为0,mil。Qa-b)a_ 5_也贝I」cos。= 二-^= 至二爷|2«-b\-\a\410X452又OWeWjr,：.Q-今,故选A.(2),.-|«-2b\=-^15,.,.|«|2-4ab41Al2=15,又同=1,回=2, ,乙记a、b的夹角为3,.'.cos0= ，故选B.\a\-\b\4［弓I申］本例⑵中〃在"+A方向上的投影为坐［解析］a/•'•1«+b\=yj\a\2+2ab\b\2=-^6.A1+lTOC\o"1-5"\h\z十，七石八M不。(。+办)_同2+"2 2_&..q在。〃方向上的投影为 ―F-\a+b\\a+b\? 4名师点拨至求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cose⑵注意：数量积大于o说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于。说明两向量的夹角为直角，数量积小于o且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

(3)a在b方向上的投影二|a|cos。=需；b在a方向上的投影二1b1cos。二代.”\b\ \a\角度3平面向量的垂直冲例4(1)(2018•广东茂名五校联盟联考)已知向量a=(6,—2),b=(1,⑼，且a-Lb，则|a—2b|=4%,5.(2)(文)(2017•重庆)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且aL(2a+b)，则a与b的夹角为(C)D.D.5n

6(理(理)(2018•河南洛阳期中)向量a,b均为非零向量，为(A)(a—2b)La，(b—2a)Lb，则a，b的夹角an3Can3C型\^.D.5n

6［分析］(1)由aLb台a*0求出m，从而可得a—2b的坐标，进而可求|a—2b|；(2)(文)由条件用|a|表示a,b用向量夹角公式求解；(理)由条件用a表示|a|、|b|,用夹角公式求解.[解析](1);a=(6,-2),b=(1,m),且aLb,「.a=6-2m=0,「.m=3,•・a-2b=(4,-8),「.|a-2b|=.“2+(-8)2=4-..,15.(2)(文);a±(2a+b),「o(2a+b)=2|a|2+ab0,」.ab-2|a|2,记a、b的夹角为0，又|b|=4|a|ab-21a|2 1r；cbcu.cos0= = =-5,又0W0Wn,|a||b| |a|・4|a| 20=2n，故选C.(理)由题意可知(a-2b)•a=|a|2-2ab0,(b-2a)•b=|b|2-2ab0,即|a|2=2a b|b、记a、b的夹角为0，则cos0=-^=1,又0e[0,n],|a||b|20=^，故选A.

名师点拨争平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件«b0求解.名师点拨争平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件«b0求解.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018•山西康杰中学五校期中)已知向量120°,则|a—2b|=(B)a、b满足|b|=2|a|=2,a与b的夹角为A.•.川C.13B.D.21(2)(角度2)(2017•江西七校联考)已知向量a=(1,\,13),b=(3,m),且b在a上的投影为一3,则向量a与b的夹角为年.(3)(角度2)(2018(3)(角度2)(2018・湖北黄冈质检)若向量a,b的夹角为^，且|a|=2,|b|=1则向量a+2b与向量a的夹角为(A)C2n向量a的夹角为(A)C2nC，35nD，石(4)(角度3)(2018・北京，9)设向量a=(1,0)b=(—1,m).若a±(ma-b),［解析］(1)|a|二1，|b|-2，ab-1,」|a-2b|=\；(a-2b)2=\：'|a|2-4a+4|b|2=飞5.故选B.ab3+■■■,'3m(2)由题意可知0-b-3，.=-~2~---3.\a\」m--3-Q」m--3-Q，」|b|=\：'32+(3-...13)2-6，记a与b的夹角为0，则cos0_a二二二\a\\b\ |b|0W0Wn，.」0二号.n(3)v|a|-2,|b|-1,a的夹角为］，•ab1，」.(a+2b)-a-|a|2+2ab6又|a+2b|=\(a+2b)2=--j'a2+4a+4b2=2、.j3记a+2b与a的夹角为0，则c0s”?邛，又0W0w…管，故选a・(4)本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.丁a-(1,0)，b=(-1，m)，.」a2=1，a•b--1，由a±(ma-b)得a•(ma-b)=0，即ma2-a•b=0,即m-(-1)=0,「.m=-1.名师讲坛©素养提升名师讲坛©素养提升INGSHIJIANGTAMSUYANGTHSHENG函数思想与数形结合思想在数量积中的应用n例5设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,y£R.若e1,e2的夹角为6,x则x的最大值等于2.［解析］因为bW0,b=xe1+ye2，所以xW0或yW0.当x=