2020年山东新高考数列模拟试题(含解析)

专题8数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（）A． B． C．3 D．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路若存在两项使得，则的最小值为A． B． C． D．5．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列中,,.若为等差数列,则()A． B． C． D．二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（）A． B． C． D．7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（）A．m＝3 B．C． D．9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为10．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列满足给出下列四个命题，其中的真命题是（）A．数列单调递增； B．数列单调递增；C．数从某项以后单调递增； D．数列从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.15．（2020届山东省高考模拟）已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列中，，，.（1）求证：数列是等比数列;（2）求数列的前项和.18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列，.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前2020项的和.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列的前n项和为,已知,,.(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和.若，求m.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{an}的首项为a1＝1，且.（Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝log2（an+2）﹣log23，求数列的前n项和.24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列满足：（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列中，前项和为，且，则的最大值为（）A． B． C．3 D．1【答案】C【解析】当时，两式作差可得：，据此可得，当时，的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路【答案】C【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为数列是正项等比数列，，，所以，，，所以，，，，，因为，所以，，，当且仅当时“=”成立，所以的最小值为，故选A。5．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列中,,.若为等差数列,则()A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，即，解得．则，解得．故选：C．二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为，所以，故选：AC.7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，解得，对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于，所以B不正确；对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于，所以D正确，故选：ACD8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（）A．m＝3 B．C． D．【答案】ACD【解析】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)（3n﹣1）•n（3n+1）（3n﹣1）故选：ACD.9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（

）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时的最小值为，故正确.故选：10．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列满足给出下列四个命题，其中的真命题是（）A．数列单调递增； B．数列单调递增；C．数从某项以后单调递增； D．数列从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为，所以，当时,,所以，所以A错误；，，所以是等比数列，，所以B正确；，故，C正确；因为，所以，根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.故选：.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．【答案】【解析】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环需最少移动________次.【答案】16【解析】因为，所以，所以解下个圆环需最少移动的次数为.故答案为：.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．15．（2020届山东省高考模拟）已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）（），①当时，，②①②得，即，，，，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，（），，，.16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列中，，，.（1）求证：数列是等比数列;（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：因为所以,又因为,则,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知,所以,所以18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．∵成等比数列，∴，即，又∴，∴，∴.（2）证明：由（1）得，∴．∴．∴．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.【答案】（1）（2）当或时,有最大值为20．【解析】（1）设的公差为，且．由，得，由，得，于是,．所以的通项公式为．（2）由（1）得因为，所以当或时,有最大值为20．20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列，.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前2020项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由得：解得所以数列的通项；（2）由（1）知数列的最小正周期为，∴数列的前2020项的和21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列的前n项和为,已知,,.(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)∵∴，因为，所以可推出．故，即为等比数列．∵，公比为2∴，即，∵，当时，，也满足此式，∴；(2)因为，∴，两式相减得:即，代入，得．令()，在成立，∴，为增函数，而，所以不存在正整数n使得成立．22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和.若，求m.【答案】（1）（2）.【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，由已知得解得，所以.（2）由（1）可得，是首项为4，公比为2的等比数列，则.由，得，解得.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{an}的首项为a1＝1，且.（Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝log2（an+2）﹣log23，求数列的前n项和.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ），，则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.，，，则.24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列满足：（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）令时，时，，满足所以；（2）由，①②①②得25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.【答案】（1）②，理由见解析；（2）【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，即，得，且，.常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以当时，.因为，所以，所以，.26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】方案一：选条件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：选条件②（1）解得或（舍去）（2）方案三：选条件③解得或（舍去）（2）27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列满足．（1）求数列的通