随机过程论文

目录随机过程在通信中的应用概述 1摘要 1一、随机过程与通信系统 1二、通信中如何应用随机过程 2三、随机过程各概念在通信中的具体定义 3随机过程的数学期望 3随机过程的均方值 3随机过程的方差 3平稳随机过程 4四、随机过程在通信中的具体应用 4马尔可夫过程的应用 4马尔可夫应用概述 4一种新的马尔可夫模型应用举例 6马尔科夫链在分析频谱占用情况时的应用 6排队论在通信网中的运用 8随机过程在信道建模中的应用 9五、随机过程学习心得体会 10参考文献 10摘要本文主要通过自己的调研，结合本学期所学的课程《随机过程》总结出一些随机过程在通信中的具体应用。随着科学的发展，随机过程与通信系统的关系越来越紧密，并且应用场合越来越多，如何在通信系统中正确应用随机过程的知识也越来越重要，随机过程中的一些概念在通信系统中应用中都具有一定的物理意义，掌握其物理意义对于更好地理解随机过程有很大的帮助作用。接着结合自己的研究方向，进一步列举了一些随机过程在通信系统中的具体应用。关键词：随机过程通信系统应用一、随机过程与通信系统随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。通信就是互通信息。从这个意义上说，通信在远古时代就已经存在。人之间的对话是通信，用手势表达情绪也可以算通信。以后用烽火传递战事情报是通信，快马与驿站传送文件也是通信。但是现在的通信一般指的是电信，国际上称为远程通信(telecommunication)，即通过电信号或者光信号传送信息从信息论的角度来说，通信的过程就是不确定度减小的过程。而不确定性就是过程的随机性，所以从这个角度来说通信过程的研究可以归结到对于随机过程特性的研究过程众所周知，通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的、确定的，而是具有不确定性和随机性，这种具有随机性的信号就是随机信号。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。过去对随机现象的研究只是用一两个随机变量来描述，然而现在在工程技术中必须研究动态系统中的随机现象，这需要研究随时间变化的无穷不可数的一族随机变量，即随机过程。通信系统中存在各种干扰和噪声这些干扰和噪声的波形更是随机的、不可预测的，我们称之为随机干扰和随机噪声。当然，尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们还是具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性恶数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数），是时间函数，所有实现构成的集合称作随机过程的样函数空间(Ω)，所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，以大写字母X(t),Y(t)等表示随机过程，以对应的小写字母x(t)，y(t)等表示随机过程的样本函数。在实际的通信过程中，不仅我们用到的信号与噪声是随机信号，而且当我们为无线信道进行数学建模时也必须用到随机过程。所以说只有学好随机过程这一学科，才能为将来从事无线事业打下基础，才能在实际的研究以及工作中，将具体知识应用到实际中，从而获得一定的成果甚至有所创新。二、通信中如何应用随机过程在通信系统中，编码过程分为信源编码和信道编码两种，信源编码是为了压缩信息之间的相关性，最大限度提高传信率，目的在于提高通信效率；而信道编码则相反，通过引入相关性，使信息具有一定的纠错和检错的能力从而提高传输信息的可靠性。对于信源编码，实现降低相关性有两种途径，一种是信源概率分布均匀化，另一种是信源独立化。从概率论和随机过程的角度来说，概率分布均匀化就是每个事件发生的概率大致相同，这样就会使每个信源携带的信息量基本相同，那么不确定性就达到最大，即传输过程中产生的信息量就最大；类似的信源独立化是通过对信源进行扩展达到的，通过信源的高次扩展，是扩展信源中每个符号出现的概率大致相同，这样也实现信息量最大化。对于信道编码，由于信道中存在随机噪声，或者随机干扰，使得经过信道传输后所接收到的码元与发送码元之间存在差异，这种差异就是传输产生的差错。一般，信道噪声，干扰越大，码元产生差错的概率也就越大。所以信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的码字组合。从信道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码字。这些码字的引入时信息之间具有相关性，虽然降低了信息所能携带的信息量，但是通过相关性可以克服由于随机噪声引入的误码情况。三、随机过程各概念在通信中的具体定义随机过程是一类随时间作随机变化的量不能用确切的时间函数描述。随机过程的分布函数分为一维分布函数、二维分布函数及二维以上的分布函数。随机过程的各种数字特征分别从各个侧面间接的反映了随机过程的概率分布特性，不同的维的分布的数字特征具有不同的物理含义。随机过程的数学期望随机过程的均值函数m(t)=E[X(t)]在通信中的物理意义是：如果X(t)是电流或电压，则m(t)可理解为t时间点上的电压或电流的直流分量。随机过程的均方值随机过程X(t)的均方值E[|X(t)|2]在通信中的物理意义是：如果X(t)表示电压或电流，则E[|X(t)|2]可以理解为在t时刻上这个电压或电流在1Ω电阻上的平均功率。随机过程的方差随机过程X(t)的方差D(t)=E[X(t)-m(t)]2在通信中的物理意义是:如果X(t)表示电压或电流，则D(t)可以理解为在t时刻上电压或电流的起伏分量在1Ω电阻上耗散的平均功率。平稳随机过程平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。定义：若一个随机过程X(t)发热任意有限维分布函数与时间的起点无关,即对于任意的正整数n和所有的实数△，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+△,t2+△,…,tn+△)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。它的一维分布函数与时间t无关：f(x,t)=f(x)而二维分布函数只与时间间隔=t2-t1有关：f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;)其均值和自相关函数分别为：E[X(t)]=R(t1,t2)=E[X(t1)X（t2）]=即平稳随机过程具有简明的数字特征：1)均值与t无关，为常数a；2)自相关函数只与时间间隔=t2-t1有关。在通信系统分析中我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足1)和2)的过程定义为广义平稳随机过程。在通信系统中所遇到的噪声及信号，绝大部分为广义平稳的随机过程。所以，平稳随机过程的研究也具有实际的意义。四、随机过程在通信中的具体应用马尔可夫过程的应用马尔可夫应用概述马尔可夫随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。下面简略介绍一下马尔可夫随机过程本身在各方面的应用情况。

在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联(或倍增)现象,在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程(见点过程)的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程(见马尔可夫过程)来描述。

随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。

在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到马尔可夫随机过程。一种新的马尔可夫模型应用举例 隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel，HMM）是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态变迁概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。隐马尔可夫模型是马尔可夫链的一种，它的状态不能直接观察到，但能通过观测向量序列观察到，每个观测向量都是通过某些概率密度分布表现为各种状态，每一个观测向量是由一个具有响应概率密度分布的状态序列产生。所以，隐马尔可夫模型是一个双重随机过程具有一定状态数的隐马尔可夫链和显示随机函数集。自20世纪80年代以来，HMM被应用于语音识别，取得重大成功。到了90年代，HMM还被引入计算机文字识别和移动通信核心技术“多用户的检测”。近年来，HMM在生物信息科学、故障诊断等领域也开始得到应用。马尔科夫链在分析频谱占用情况时的应用马尔可夫过程是一个具有无后效性的随机过程，无后效性是指随机过程在时刻t的状态已知的条件下，在时刻t+1所处状态仅与时刻t的状态有关，而与过程在时刻t以前的状态都无关。那些时间离散、状态离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简称马氏链。马尔可夫链是一个建立在随机过程之上的数学模型，基于马尔可夫过程假设，系统有一定数目的状态，任意一个时刻的状态为状态集合I={i1,i2,i3,…}中的一个。假定在时刻t的状态是qi，定义其中设A为由时刻t的i状态到时刻t+1的j状态转换城的矩阵aij，其中，根据前面的定义，同时设定每个状态的初始化概率，即在初始时刻πi=p(ql=i)满足πi≥0，，这就是最常用的一步转移概率p。频谱在无线通信中是稀缺的资源。传统的频谱分配方式静态地分配频谱，频谱利用率很低，很多时候频谱并没有被完全利用，而近年来对无线服务的需求不断增大，因此频谱资源日益紧张。而以马尔科夫链为原理的认知无线电技术可以有效地解决频谱资源紧张问题。认知无线电是一种智能通信系统。具有认知功能的无线通信设备可以感知周围的环境，再利用已经分配给授权用户，但在某一特定的时刻和环境下并没有被占用的频带，即动态再利用“频谱空穴”；并能够根据输入激励的变化实时地调整其参数，在有限信号空间中以最优的方式有效地传送信息，以实现无论何时何地都能保证通信的高可靠性和无线频谱利用的高效性。频段状态实时预测模型一般情况下CR将待查的频段分为以下3种不同的情况：1)黑空。被主用户的原始分配业务大部分占据，存在高功率的干扰，不能被感知用户使用。2)灰空。被授权用户的原始分配业务部分占用，存在一定程度的功率干扰，基本不被感知用户使用。3)白空。末被授权用户的原始分配业务占用，仅存在环境噪声，可以被感知用户非授权地使用。为了能更好地进行频谱共享，对待查频段这3种情况，有必要利用马氏链建模来实时估计和预测状态变化情况，为频谱共享和动态频谱接入提供参考。假如，经过一段时间的检测并通过概率统计分析，得到状态转移图，其状态转移概率矩阵为P=黑空1-a-bab灰空c1-c-dd白fe1-f-e状态转移图为根据马尔可夫原理，大多数情况下，随着时间的推进，马尔可夫过程都会演化到一个稳态概率分布。根据平稳分布的公式黑空+灰空+白空=1黑空×（1-a-b）+灰空×c+白空×f=黑空黑空×b+灰空×d+白空×（1-f-e）=白空可分别求得黑空、灰空、白空，再根据检测周期T，可分别求得平均返回时间，这样就可以为CR优化动态频谱分配提供参考。排队论在通信网中的运用排队论又称随机服务系统,主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队(或拥塞)现象的规律的一门学科,排队论的创始人Erlang是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。它适用于一切服务系统,包括通信系统、计算机系统等。随着电子计算机的不断发展和更新,通信网的建立和完善,信息科学及控制理论的蓬勃发展均涉及到最优设计与最佳服务问题,从而使排队论理论与应用得到发展。顾客通过网络必须经过三个环节,即顾客到达、排队等候处理(服务)、离去。如图：顾客到达顾客离去顾客排队机构服务机构排队规则服务规则排队系统的组成包括三个部分:1.输入过程2.排队规则3.服务机构。其中，在输入过程中，顾客的相继到达时间间隔可分为确定型和随机型，顾客到达系统的方式可以逐个或成批;顾客到达系统可以是独立的或相关的,输入过程可以是平稳、马氏、齐次的。排队规则可分为损失制，等待制和混合制。(1)损失制，顾客到达系统时,若系统中所有服务窗均被占用,则到达的顾客随即离去,比如打电话时碰到占线,计算机限定的内存等均为此种情况;(2)等待制，顾客到达系统时,虽发现服务窗均忙着,但系统设有场地供顾客排队等待之用,于是到达系统的顾客按排队规则进行排队等候服务;(3)混合制，它是损失制与等待制混合组成的排队系统,此系统仅允许有限个顾客排队等候排队。服务机构系统可以一个窗口或多个窗口为顾客进行服务各窗口的服务时间可以是确定性或随机型,顾客在系统内逗留的时间均值Ws;顾客排队等候服务的时间均值Wq;服务时间的均值t;显然Ws=Wq+t。我们可以讲通信网带入到上述理论中，与排队论中的术语相对应,信道数m相当于窗口数。单位时间内的平均呼叫数相当于顾客的到达率λ，每次呼叫占用线路的平均时间相当于平均服务时间。排队系统模型,相当于电话网中一个具有转发功能节点上的业务情况。在通信过程中,往往要经过通信路径上的转发节点,因此对通信用户间的整个业务来说,构成了多个连接的排队模型。这个由多队列相互连接的一类排队模型,构成排队网。随机过程在信道建模中的应用（1）产生高斯白噪声随机序列：通过具有对象信道特性的滤波器滤波，从而产生仿真数据。这种方法的代表模型是clarke模型。图1所示用两个互相独立的高斯低通噪声产生同分量和正交分量，先在频域用多普勒功率谱成型滤波器对随机信号进行整形，再在仿真器最后一级用快速傅里叶反变换产生多普勒衰落的准确的时域波形。（2）基于马尔可夫过程建模：这种方法是用高阶Markov模型作为衰落信道模型。到目前为止,已有很多研究。特别是近年来移动通信发展迅速，对话音、数据业务进行无线传输的3G以及4G的研究更是蓬勃展开。无线信道衰落对通信网络性能的影响是其中的关键问题之一。已有的通信协议大多没有考虑信道的记忆性,这就使得协议性能下降。对于信道记忆性,一般采用Markov模型,已有的对于衰落信道记忆性的研究,大都采用高阶Markov模型。但是，随着阶数的增加,计算复杂度也增加了，减小了它的好处。同时，一般采用Markov模型大多应用于分组数据通信的协议研究，很少应用于物理信道。（3）使用一定数量的低频正弦波发生器，通过简单的运算得到伪随机噪声序列以逼近对象信道。这种方法是以正弦和理论为基础,用有限加权的正弦信号和近似有色高斯过程,进而建立移动信道的确定性仿真模型。这也是近年来人们研究的重点。该理论的提出能够克服滤波器采样频率和带宽限制给设计与制作带来的困难,而且便于用计算机软硬件来实现。一、马尔科夫原理简介马尔科夫性的定义过程(或系统)在时刻所处的状态为已知的条件下,过程在时刻所处状态的条件分布与过程在时刻之前所处的状态无关。通俗地说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将来”不依赖于“过去”。模型建立的基础设是时刻所处的状态，为了便于研究，首先将连续变化的时间进行“离散化”处理，同时将事物所处的状态分成若干等级，分别与状态空间对应。马尔科夫模型建立的基础是“无后效性”和“平稳性”。其中无后效性是指事物本阶段的状态只与前一阶段的状态有关，而与以前其他任何阶段的状态都无关由于马尔可夫过程满足“无后效性”和“平稳性”，所以(是事物的状态经过步转移的转移概率矩阵)运用马尔可夫预测法进行预测，主要原理是建立马尔可夫预测模型，利用初始状态向量和状态转移概率矩阵来推知预测未来某一时期所处的状态。用示预测对象由状态经过次转移至状态的概率，即步转移概率矩阵称为步转移概率矩阵。其中的元素具有如下性质：用表示第个时期预测对象恰好处于状态的概率，则向量称为第个时期的状态向量。向量元素具有如下性质：第0个时期的状态概率称为初始状态概率，相应的向量称为初始状态概率向量。可以证明，。上式即为马尔可夫预测模型。其中，为一步转移概率矩阵。由模型可知，第期的状态率取决于初始状态概率和一步转移概率矩的次方。显然，若已知初始状态概率向量及转移矩阵，则可求出预测对象在任何一时期处于任何一个状态的概率。表1安徽省各地区人均国内生产总值2002~2006年单位：（元）年份城市20022003200420052006年份城市20022003200420052006合肥2196225252290583979244389阜阳37114052422958206813芜湖2357028024335443745733734宿州47304125490068587784蚌埠1188213868154561770020268巢湖745082388949100819852淮南8175898797841152213871六安23502544303938784490马鞍山2341228825295365181158051亳州49735322631457567282淮北1023011703150071757716704池州541561067290867810357铜陵1902222432298343908549993宣城715379778989936010644安庆1303115488199172064522478黄山1042411685138191695419577滁州1249215713173531746419477由于阜阳市缺少2006年的数据，2003年阜阳市人均GDP增长率为9.2%，2004年阜阳市人均GDP增长率为4.4%，2005年阜阳市人均GDP增长率为37.6%，取这三年阜阳市人均GDP增长率的均值为17.1%，则估计2006年的人均GDP为6813元。二、实证分析过程（一）状态的划分联合国、世界银行划分国家发展程度的依据是人均GDP，人均GDP是衡量一个地区发展程度重要的指标。在我国，人均GDP是衡量人民生活水平的核心指标之一。世界银行1990年世界发展报告中对121个国家(地区)的排队分组，按照人均GDP将各国家（地区）划为贫困、温饱、小康、富裕和发达国家（地区）五种类型，根据中国的实际情况，我们按照如下标准划分为以下五种状态：G1-贫困（人均GDP在300美元以下）；G2-温饱（人均GDP在300美元~800美元）；G3-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；G4-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；G5-发达（人均GDP在3000美元以上）。我们可以把它看作是一个以{G1，G2，G3，G4，G5}为状态空间的马尔可夫链（由于人均GDP具备无后效应的特点，）。安徽省共有17个市，因此本文将通过2002~2006安徽地区的人均GDP（见表1）原始数据来自中国统计年鉴2002~2006：人民币=1：8的汇率换算）情况来建立马尔可夫预测模型。由表1可以看出安徽省2002年各地区的人均GDP均超过了贫困水平，所以我们将安徽地区的均GDP情况划分为四种状态，分别是：A1-温饱（人均GDP在300美元~800美元）；A2-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；A3-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；A4-发达（人均GDP在3000美元以上）。表22002~2006年的人均GDP类型统计年份类型20022003200420052006A155431A265456A364556A403444根据表1和表2资料得2002~2003年的状态转移情况如下表：下期状态本期状态A1A2A3A4A15000A20510A30033A40000从上可以看出，状态转移矩阵最后一行元素全为0，为了满足转移概率矩阵每一行的行和为1的性质，我们假定状态A4能够完全转移到A4即可。状态转移概率分别为：，，，；，；…。由此可得转移概率矩阵：同理我们可以得到2003~2004年，2004~2005年，2005~2006年的转移概率矩阵：，2003~2004年的转移矩阵，2004~2005年的转移矩阵，2005~2006年的转移矩阵为了减少计算中的随机误差，我们再进一步对以上四个转移概率矩阵求平均值，得到一步转移概率矩阵：我们对步转移概率矩阵求极限可得最终分布为，即在假设没有重大自然灾害、战争和金融危机的情况下，最终所有地区都将成为发达地区这一吸收状态。由此可以看出，所求的最终分布与实际是相吻合的B因此我们可以利用马尔可夫链来预测几年后安徽省各地区人均GDP的情况。我们取2006年人均GDP的状态数。则安徽地区2007年的状态预测为：由上述结果可知，按目前的变化(即转移概率基本保持不变)，安徽在2007年有0.7个地区为温饱地区，5.129个地区为小康地区，6.025个地区为富裕地区和5.125个地区为发达地区。而实际的状态为：2007年有1个地区为温饱地区，5个地区为小康地区，6个地区为富裕地区和5个地区为发达地区。预测结果与真实结果基本相符。安徽地区三年后的人均GDP状态预测为：（0.5196，4.3470，5.8785，6.2547）（0.3745，3.6588，4.7763，7.3569）这个结果表明，在2009年有0.3745个地区为温饱地区，3.6588个地区为小康地区，4.7763个地区为富裕地区和7.3569个地区为发达地区。由以上结果可知，随着转移步数的增加，安徽省温饱和小康的地区数有所减少，而富裕和发达的地区数有所增加。经过数年之后，安徽省的所有地区将成为发达地区，这与马尔可夫链的最终分布式相符的，从而说明了用马尔可夫预测的可行性。但是本文是基于不出现重大自然灾害、战争和金融危机的假设下进行的，而且马尔科夫链的预测仅适用于短期预测，因此具有一定的局限性