数学课堂探究：向量的正交分解与向量的直角坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法:（1）正交分解；（2)将向量的起点平移到原点，向量的终点,即为向量的坐标;（3)利用转角求横、纵坐标．【例1】如图所示，分别用基底i与j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．解:由题图可知，a＝＋＝2i＋3j，所以a＝(2，3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2，3);c＝－2i－3j＝（－2，－3）；d＝2i－3j＝(2，－3）．点评在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数"与“形”相结合的方法求解．【例2】在平面直角坐标系xOy中，a,b如图所示，分别求它们的坐标．解：设a＝(a1，a2），b＝（b1，b2），则a1＝｜a｜cos45°＝4×＝,a2＝|a|sin45°＝4×＝．b向量相对于x轴正方向的转角为120°．所以b1＝|b|cos120°＝3×＝－,b2＝｜b｜sin120°＝3×＝．所以a＝(，），b＝．评注公式a1＝｜a｜cosθ，a2＝|a｜sinθ中θ是指a的方向相对于x轴正方向的转角，此点不容忽视．探究二向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例3】已知点A（－1，2），B（2，8）及＝，＝－，求点C，D和的坐标．解：设C，D的坐标分别为(x1,y1），(x2，y2），由题意可得＝(x1＋1,y1－2）,＝(3，6），＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，因为＝，＝－，所以（x1＋1，y1－2）＝eq\f（1，3）×（3,6），（－1－x2,2－y2）＝－×(－3,－6)，即（x1＋1,y1－2）＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝（1，2)．所以和所以和所以C，D的坐标分别为（0,4）和（－2,0）．因此＝(－2，－4)．方法技巧此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．探究三向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例4】已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°,设＝a，＝b，＝c，且｜a|＝2,|b|＝1，｜c｜＝3，试用a,b表示c．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a，b表示c．解：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．因为｜a｜=2，所以a=(2，0）．设b=，所以=|b|cos150°=1×=—,y1=｜b｜sin150°=1×=．所以b=．同理可得c=．设c=a+b（，∈R），所以=（2，0）+=（2-，）．所以解得所以c=-3a-3b．探究四易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4，3），B(3,－1)，C(1，－2)，求顶点D的坐标．错解:设顶点D（x，y)，因为＝(－1，－4）,＝(1－x，－2－y），＝,所以解得所以顶点D的坐标为（2,2)．错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解．解：设顶点D(x，y)．①若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，C，D，则＝（3－4，－1－3)＝(－1，－4)，＝（1－x，－2－y）．由＝,得解得故顶点D的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为A，C，B,D,则＝(1－4，－2－3）＝（－3，－5），＝(3－x,－1－y)．由＝,得解得故顶点D的坐标为(6,4）．③若平行四边形四个顶点的顺序为A,B，D，C