数学课堂探究：向量的加法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一作向量的和应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题:(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连"．(2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的始点重合．(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．【例1】如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c．分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和,由于这两个向量的和仍为一个向量,然后再作出这个向量与另一个向量的和,方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．解：作法1：如图(1）所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a,接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c,则向量＝(a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求．图（1）作法2:如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．图（2)再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．探究二向量的加法运算多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则,也可以观察向量的字母直接运算（必要时，注意利用向量加法的运算律)．【例2】化简下列各式:（1）＋＋．(2）(＋）＋＋．（3)＋＋＋＋．解：(1）＋＋＝(＋)＋＝＋．(2）(＋)＋＋＝（＋)＋(＋）＝＋＝．（3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．技巧点拨：求和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接"的两个向量放在一组．在解答本题（3)时，易出现＋＋＋＝0的情况，导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量．【例3】如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1,＝3e2,则等于（)A．(5e1＋3e2）B．（5e1－3e2）C．(－5e1＋3e2）D．－(5e1＋3e2)解析：由矩形的性质及向量加法的平行四边形法则得＝＝(＋)＝(＋）＝(3e2＋5e1）．故选A．答案：A点评结合图形分析，向量的平移常用向量相等来实现，此题也可用三角形法则＝＋＝＋．探究三利用向量的加法证明几何问题利用向量加法可以证明线段相等和平行，可以证明三点共线，证明的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论,然后再把向量关系转化为几何关系．【例4】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图所示）．用向量的方法判断:四边形AECF的形状．解:如图所示,标记向量，=+,=+．因为四边形ABCD是平行四边形，所以=．又=，所以=，即AE,FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．反思利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原为几何问题．【例5】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋．分析：用多边形法则把用不同的向量形式表示出来，然后相加即可得到结论．证明：如图所示，在四边形CDEF中，+++=0，所以＝－－－＝＋＋．①在四边形ABFE中,＋＋＋＝0，所以＝＋＋．②①＋②得＋＝＋＋＋＋＋＝(＋）＋（＋)＋（＋)．因为E,F分别是AD,BC的中点，所以＋＝0,＋＝0．所以＋＝＋．探究四向量的加法在实际问题中的应用利用向量加法解决实际应用问题主要步骤如下:（1）由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；（2）利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加法进行运算；（3）构造三角形（一般是直角三角形),利用三角形边和角的关系解题．【例6】雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度是4m/s．现在有风，风使雨滴以3m/s的速度水平向东移动,那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？解：如图所示,为雨滴无风时的下落速度