数学课堂探究：任意角和弧度制（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一弧度制的概念角度制和弧度制的比较：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角,而1度的角是指圆周角的的角,大小显然不同．(3）无论是以“弧度"还是以“度”为单位来度量角,角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．（4)用“度"作为单位度量角时，“度”（即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．【典型例题1】下列各种说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度"是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的C．根据弧度的定义,180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关解析：A，B，C正确，D中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关．答案：D探究二角度制与弧度制的转化角度制与弧度制互化的关键与方法(1）关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键．（2）方法:度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数．(3)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．【典型例题2】(1)－405°化为弧度是__________；(2)化为角度数是__________；(3）已知α＝－1480°，则在[0,2π)内与α终边相同的角为__________．解析：(1）－405°＝－405×＝－；（2）＝×°＝660°；(3)∵α＝－1480°＝－5×360°＋320°，∴在［0°,360°）内与α终边相同的角为320°，而320°＝.∴在［0，2π)内与α终边相同的角为。答案：（1)－（2)660°(3)探究三扇形的弧长与面积的计算1．扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积S，弧长l，圆心角α，半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量（通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两个量（通过方程组求得)．2．在研究有关扇形的相关量的最值时，往往转化为二次函数的最值问题．【典型例题3】已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为__________．解析:∵S＝lr，l＝|α｜r,∴S＝｜α｜r2，∴由已知得＝×r2，解得r＝2。答案：2【典型例题4】已知一扇形的周长为8cm,当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大?并求出最大面积．思路分析：先用半径r表示弧长，再根据公式S＝lr建立S与r之间的函数关系，利用二次函数求最大值．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，∴l＝8－2r,∴S＝lr＝(8－2r）r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4。∵0〈r〈4，∴当r＝2cm时，Smax＝4cm2.此时l＝4cm，α＝2rad，∴当半径长为2cm，圆心角为2rad时，扇形的面积最大为4cm2.探究四易错辨析易错点：对含有kπ形式的角理解不到位【典型例题5】已知＋2kπ〈α<＋2kπ,2kπ〈β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的取值范围．错解：由已知两式左右分别相加，可得＋4kπ〈α＋β〈π＋4kπ，k∈Z.错因分析:错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位,误以为两式中的k表示相同的整数．由于两式所表示的角是k分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集,故两式中的k不一定相等，可用k1,k2替换加以区别，然后利用不等式的性质进行求解．正解:∵＋2k1π<α〈＋2k1π,k1∈Z,2k2π<β<＋2k2π,k2