数学课堂探究：两角和与差的正弦

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一给值求值在解三角函数题目时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样变换，我们主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少角的个数．其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．【例1】已知〈β<α<,cos（α－β）＝，sin(α＋β）＝－,求sin2α．分析：注意变角思想（已知角与未知角之间的内在联系)．解：因为<β〈α〈，所以0〈α－β<，π〈α＋β<．又cos(α－β）＝，sin（α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝，cos（α＋β)＝－．所以sin2α＝sin[（α－β）＋（α＋β）]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－．探究二利用两角和与差的正弦公式化简化简三角函数式的标准和要求：（1)能求出值的应求出值;（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；(3)使三角函数式的次数尽可能低；（4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．【例2】化简下列各式：（1)sin＋2sin－cos；(2）－2cos（α＋β)．分析：(1）各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系，所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法．(2)观察三个角之间的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β）,所以首先考虑角的代换，再利用两角和与差公式化复角为单角．解:(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝eq\f（1，2)sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝0．(2)原式＝＝＝＝．探究三两角和与差的公式在三角形中的应用判定三角形的形状，充分利用角的变换，借助A＋B＋C＝π,即A＋B＝π－C，＝－．因而有sin（A＋B)＝sinC，cos(A＋B）＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin．【例3】在△ABC中,已知tanA＝，试判断△ABC的形状．解：因为tanA＝，所以＝．所以sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC,所以cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB，所以cos(A－C)＝cos(A－B），所以A－C＝A－B或A－C＝B－A，即B＝C或2A＝B＋C．所以△ABC为等腰三角形或为A等于60°的三角形．方法规律判断三角形的形状，关键是找出角A，B,C的关系．本题的巧妙之处在于角的和与差的公式的逆用,这也是解这类题的一条重要途径．同时,注意隐含条件A＋B＋C＝π的限制作用．探究四三角函数形式的转化研究形如f(x）＝asinx＋bcosx的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数或余弦函数的形式,方法是提取,逆用公式Sα±β，Cα±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．【例4】已知函数f（x)＝sinx－eq\r（3)cosx，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与值域；（2）求f（x)的单调递增区间．分析：对于此类问题可把asinx＋bcosx化简成sin（x＋θ）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（tanθ＝\f(b，a)）)的形式来求解．解：f（x）＝sinx－cosx＝2＝＝2sin，x∈R．(1)T＝＝2π，