数学课堂探究：回归分析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求回归直线方程在进行线性回归分析时，若给出一组数据,一般要画出散点图或求出两个变量的相关系r数,确定二者之间是否具有线性相关关系；若已具备线性相关关系，则利用公式求出eq\o（a，\s\up6（^）)和eq\o（b，\s\up6(^）），再写出回归直线方程;最后一般要根据得出的回归直线方程进行预测或控制．【典型例题1】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20042006200820102012需求量/万吨236246257276286（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^));（2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．思路分析：(1）利用公式eq\o(b，\s\up6(^)）＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x）\x\to（y)，∑x\o\al（2，）i－n\x\to（x)2),eq\o（a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x）来计算回归系数．（2)获得回归直线方程后，取x＝2014代入，即得所求．解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程．为此对数据预处理如下：年份－2008－4－2024需求量－257－21－1101929对预处理后的数据,容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3。2，eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f(（－4）×（－21)＋（－2)×（－11)＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝eq\f（260,40）＝6。5,eq\o(a,\s\up6（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝3.2。由上述计算结果，知所求回归直线方程为eq\o（y，\s\up6（^))－257＝b（x－2008）＋a＝6.5(x－2008)＋3.2.即eq\o（y,\s\up6（^))＝6。5（x－2008）＋260。2.①（2）利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为6．5×（2014－2008)＋260。2＝6.5×6＋260。2＝299。2（万吨)．点评知道y与x具有线性相关关系,就无须进行相关性检验,否则,应首先进行相关性检验．如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其进行的预测也是不可信的．探究二相关性检验与回归分析的综合运用若给出一组数据,不明确变量x与y的相关性，要采用散点图或利用相关系数r来进行判断;若无线性相关关系，则没有求回归直线方程的必要；若具有线性相关关系，则如同探究一进行运算．【典型例题2】为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x,y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关系数|r|的取值范围是__________．解析：查表得显著性水平0.05，自由度13－2＝11相应的相关系数临界值r0.05＝0.553。所以y与x若具有线性相关关系，则相关系数|r|的取值范围是(0.553,1］．答案：(0。553,1］【典型例题3】要分析学生高一入学时的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一年级学生中随机抽取10名学生,分析他们高一入学的数学成绩(x）和高一期末考试数学成绩（y)（如下表）：编号12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675(1)画出散点图；（2）计算高一入学数学成绩（x)与高一期末考试数学成绩（y）的相关系数；（3)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出y对x的线性回归方程；（4)若某学生高一入学数学成绩为80分，试估计他高一期末考试数学成绩．思路分析：(1)建立坐标系描点即可．(2)借助于散点图可大致判定两变量间的相关性，用相关系数公式可准确判定两变量间的相关程度．(3)先作统计假设,由小概率0.05与n－2在附表中查得相关系数的临界值r0.05,若｜r｜＞r0。05,则两变量线性相关，否则两变量不具有线性相关性．若两变量相关，利用公式求出线性回归方程．（4)直接利用线性回归方程预测．解:(1）高一入学数学成绩（x)与高一期末考试数学成绩（y）两组变量的散点图如图，从散点图看,这两个变量间具有线性相关关系．（2）因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)（63＋67＋…＋76）＝70，eq\x\to(y）＝eq\f(1,10)（65＋78＋…＋75）＝76，∑(xi－eq\x\to(x))（yi－eq\x\to（y））＝1894，∑（xi－eq\x\to（x）)2＝2474，∑(yi－eq\x\to（y））2＝2056,因此求得相关系数为：r＝eq\f(∑(xi－\x\to(x）)(yi－\x\to(y））,\r（∑(xi－\x\to（x))2）\r(∑（yi－\x\to(y)）2）)＝0.839786.结果说明这两组数据的相关程度是比较高的．（3)查表求得显著性水平0.05和自由度10－2＝8的相关系数临界值r0。05＝0。632，因｜r｜＞r0.05，这说明高一入学数学成绩与高一期末考试数学成绩之间存在线性相关关系．设线性回归方程为eq\o(y，\s\up6(^)）＝eq\o(a,\s\up6(^）)＋eq\o(b，\s\up6(^))x，在两组变量具有显著的线性相关关系的情况下，求得eq\o（b，\s\up6（^）)＝0.76556,eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to(x）＝22.4108.因此所求的线性回归方程是eq\o（y,\s\up6（^）)＝22.4108＋0。76556x。(4)若某学生高一入学数学成绩为80分，代入上式可求得，eq\o(y,\s\up6（^)）≈84分，即这个学生高一期末考试数学成绩的预测值为84分．点评对于题目中数据的处理可尝试利用计算机中的有关应用程序来帮助解决．探究三非线性回归分析实际问题中的两个变量很多时候其实不是线性相关关系,要进行变量代换,转化为线性回归问题，再进行处理．建立回归模型需要确定回归方程的类型,这需要利用已经学习过的各种函数图象的特征来进行判断：在一般情况下，样本点大致分布在一条直线附近，利用线性回归模型来解决问题；如果数据呈非线性关系，则选用非线性回归模型,常见的非线性回归模型有：反比例函数模型、二次函数模型、指数函数模型等．【典型例题4】为了研究某种细菌繁殖个数y随时间x的变化情况，收集数据如下:天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190（1）用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量，作出上述数据的散点图;(2）试求出预报变量对解释变量的回归方程．解:(1)根据数据得散点图,如图所示．(2）根据数据的散点图可以发现样本点不是分布在某一条直线附近，而是分布在一条曲线附近．根据已学的函数知识，可以发现样本点分布在某一指数型函数y＝c1ec2x(c1＞0,c2＞0）附近，则将函数两边取对数得lny＝c2x＋lnc1，则令u＝lny，得u＝c2x＋lnc1,根据数据可得x和u的数据表：x123456u1。792。483.223。894。555.25由上面x和u的数据表可得x和u的散点图,如下图所示．从图中可以发现x和u之间有很强的线性相关关系，因此可以用线性回归模型来拟合它们之间的关系．根据公式得到回归直线方程为eq\o(u，\s\up6(^))＝0.6909x＋1.112,即lneq\o（y,\s\up6（^））＝0。6909x＋1.112，则得eq\o（y,\s\up6（^)）＝e0.6909x＋1.112.故我们可以利用eq\o（y,\s\up6(^)）＝e0。6909x＋1.112来描述天数x与繁殖个数y之间的关系．探究四易错辨析易错点：不理解公式中的结构形式而使计算出错【典型例题5】英语老师为了了解学生的词汇量，设计了一份包含100个单词的试卷,现抽取15名学生进行测试，得到学生掌握试卷中单词个数x与该学生实际掌握单词量y的对应数据如下：x6165706983755873y20302140227022502240222019702330x63727168656774y2100230023002200220022002370（1)对变量y与x进行相关性检验;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,则①求y对x的回归直线方程；②求x对y的回归直线方程．错解：（1）由计算器求下列数据:i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2，）i＝71822,∑yeq\o\al（2,)i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2，）i－15eq\x\to（x）＝71822－15×68。93＝70788.05,∑yeq\o\al(2,)i－15eq\x\to(y）＝73298600－15×2208＝73265480，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to（y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468。4，r＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to（y),\r（（∑x\o\al（2,)i－15\x\to（x)）(∑y\o\al(2,)i－15\x\to（y）)））＝eq\f(7468.4，\r（70788.05×73265480））＝0。0033。查相关系数检验的临界值表，得r0。05(15－2)＝0.514.由于｜r|＜r0.05，故y与x无线性相关关系．(2)由（1）得x与y的回归直线方程不存在．错因分析：本题由于对公式r＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\r((∑x\o\al（2,）i－n\x\to（x)2)（∑y\o\al（2，)i－n\x\to（y)2）））的错误记忆而导致错误．正解：(1)列表并用计算器进行计算：i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2,）i＝71822，∑yeq\o\al（2,）i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2,）i－15eq\x\to（x)2＝71822－15×68.932＝551。83，∑yeq\o\al（2,）i－15eq\x\to(y)2＝73298600－15×22082＝169640，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to(y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468.4,r＝eq\f(∑xiyi－15\x\to（x)\x\to(y），\r（(∑x\o\al(2，）i－15\x\to(x)2）(∑y\o\al(2,）i－15\x\to（y）2）））＝eq\f(7468.4,\r（551。83×169640））＝0.772.查相关系数检验的临界值表，得r0.05(15－2)＝0.514.由于|r|＞r0.05，故y与x有线性相关关系．（2）①设y对x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^))x＋eq\o(a,\s\up6(^）），则eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to(y）,∑x\o\al（2，)i－15\x\to（x)2）＝eq\f(7468.4,551。83)＝13.5，eq\o（a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^))eq\x\to(x)＝2208－13。5×68.93＝1277.445,即所求的y对x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝13.5x＋1277。445.②设x对y的回归直线方程为eq\