数学课堂探究：导数的运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导,应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】求下列函数的导数:（1）y＝xeq\r（x);(2)y＝x4－eq\f(2，x);（3)y＝sinx＋3x；（4）y＝cosx·lnx；(5）y＝(x－1)（x－2）（x－3）;（6)y＝eq\f(x－3,x＋2).思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导,必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1）y′＝(xeq\r（x))′＝（)′＝eq\f(3,2)·＝eq\f（3，2)eq\r(x）;（2）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x4－\f(2，x)））′＝4x3＋eq\f（2，x2）；(3）y′＝（sinx＋3x）′＝cosx＋3xln3;(4)y′＝(cosx·lnx)′＝－sinx·lnx＋cosx·eq\f（1，x)＝eq\f（cosx，x）－sinx·lnx；(5）方法1:y′＝［（x－1)（x－2）（x－3)]′＝[(x－1）(x－2)］′（x－3)＋(x－1）(x－2)(x－3）′＝[(x－1)′（x－2)＋(x－1)(x－2)′](x－3)＋（x－1）（x－2)＝(x－2＋x－1)(x－3)＋（x－1)(x－2）＝3x2－12x＋11。方法2：由于(x－1）（x－2)（x－3)＝(x2－3x＋2）（x－3）＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝［（x－1)（x－2)（x－3)］′＝（x3－6x2＋11x－6)′＝3x2－12x＋11。(6)方法1：y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x－3,x＋2）))′＝eq\f（x－3′x＋2－x－3x＋2′，x＋22)＝eq\f（x＋2－x－3,x＋22）＝eq\f(5，x＋22)；方法2：由于y＝eq\f(x－3,x＋2)＝1－eq\f（5，x＋2)，于是y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（5,x＋2)）)′＝－eq\f（－5x＋2′,x＋22）＝eq\f(5，x＋22）.探究二利用导数公式和运算法则求复杂函，数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时,必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】求下列函数的导数:(1)y＝eq\f（\r(x5)＋\r（x7)＋\r（x9),\r(x));(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x，4))）4＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（x,4)))4；(3)y＝eq\f(cos2x，sinx＋cosx）；（4）y＝xlneq\r（x）。思路分析：对于较为复杂,不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后,再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y＝eq\f(\r（x5)＋\r（x7)＋\r(x9),\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝4x3＋3x2＋2x.（2）y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin2\f(x,4)＋cos2\f（x,4)）)2－2sin2eq\f(x,4）cos2eq\f(x,4）＝1－eq\f（1，2)sin2eq\f(x，2)＝1－eq\f（1，2)·eq\f（1－cosx，2）＝eq\f（3，4)＋eq\f（1,4)cosx，∴y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，4）＋\f(1,4）cosx））′＝－eq\f(1,4)sinx。(3）y＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx）＝eq\f（cos2x－sin2x,sinx＋cosx）＝cosx－sinx，∴y′＝(cosx－sinx）′＝－sinx－cosx.(4)y＝xlneq\r（x）＝eq\f(1,2)xlnx，∴y′＝eq\f（1,2）（x）′·lnx＋eq\f（1,2)x·(lnx）′＝eq\f(1,2）lnx＋eq\f（1，2)。探究三复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下:复合函数y＝f(g（x）)的导数和函数y＝f（u）,u＝g（x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′（其中yx′表示y对x的导数)．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：（1）分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．（3）根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写．【典型例题3】求下列函数的导数：（1）y＝(3x－1)2；(2）y＝ln（5x＋2)；(3）y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)2x＋1；（4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3)）);(5)y＝cos2x.思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y＝u2，u＝3x－1。则y′＝y′u·u′x＝2u·3＝6（3x－1)＝18x－6;(2）设y＝lnu，u＝5x＋2,则y′＝y′u·u′x＝eq\f（1，u）·5＝eq\f(5，5x＋2）；（3)设y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））u，u＝2x＋1。则y′＝y′u·u′x＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）ulneq\f（1，2)·2＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））2x·ln2;(4）设y＝sinu,u＝2x－eq\f(π,3）,则y′＝y′u·u′x＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,3）)）;(5）y＝cos2x＝eq\f(cos2x＋1，2），设y＝eq\f(1,2)cosu＋eq\f（1，2），u＝2x，则y′＝y′u·u′x＝－eq\f（1，2）sinu·2＝－sin2x。探究四导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】用导数的方法求和：1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋2014x2013（x≠0，x≠1）．思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f(x）＝1＋2x＋3x2＋…＋2014x2013,g（x)＝x＋x2＋x3＋…＋x2014，则f（x）＝g′(x)．而由等式数列求和公式可得g（x)＝eq\f(x1－x2014，1－x）＝eq\f（x－x2015，1－x）,于是f(x）＝eq\b\lc\（\rc\