数学课堂探究：6微积分基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一利用微积分基本定理计算定积分1．求函数f(x)在某个区间上的定积分时，要注意:(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的原函数．当这个原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数以及常数的和或差．(2）精确定位积分区间,分清积分上限与积分下限．2．常见函数的定积分公式（1）Cdx＝Cx(C为常数)．（2）xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1(n≠－1）．（3)sinxdx＝－cosx。(4)cosxdx＝sinx。(5)eq\f（1，x)dx＝lnx(b＞a＞0)．（6)exdx＝ex。(7)axdx＝eq\f（ax,lna)(a＞0且a≠1)．【典型例题1】计算下列定积分:(1）(x2＋2x＋3)dx;（2）（cosx－ex）dx；（3）eq\f(1，x)dx；(4)eq\f（2x3－1，x2）dx.思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．解:(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3＋x2＋3x)）′＝x2＋2x＋3，∴（x2＋2x＋3)dx＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3）x3＋x2＋3x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（8，3）＋4＋6））－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）＋1＋3））＝eq\f（25，3).(2)∵（sinx）′＝cosx，（ex）′＝ex,∴(cosx－ex)dx＝(sinx－ex)＝（sin0－e0）－［sin（－π）－e－π］＝eq\f（1,eπ）－1。(3)∵(lnx)′＝eq\f(1,x），∴eq\f（1，x）dx＝lnx＝lne－ln1＝1.(4）∵eq\f（2x3－1，x2)＝2x－eq\f(1,x2)且eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f（1，x）))′＝2x－eq\f（1,x2),∴eq\f（2x3－1，x2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1，x）)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（9＋\f（1，3））)－2＝eq\f(22,3)。探究二分段函数与复合函数定积分的求解1．在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a，b]上的积分分成几段积分和的形式．分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分段即可．2．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来．例如：对于被积函数y＝sin3x，其原函数应为y＝－eq\f(1，3）cos3x，而其导数应为y′＝3cos3x。【典型例题2】计算下列定积分:（1）|x－3|dx；（2)若f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2，x≤0，，cosx－1，x〉0，））求f（x)dx；(3)e2xdx；（4）eq\f（2,2x＋1)dx.思路分析：(1)（2)写成分段函数,利用定积分性质求解;（3）(4)利用复合函数求定积分．解：（1)∵|x－3|＝∴|x－3|dx＝|x－3｜dx＋｜x－3｜dx＝（3－x)dx＋（x－3)dx＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3x－\f（1,2)x2)）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)x2－3x)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(9－\f(1，2）×9－6＋2))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（25，2)－15－\f(9,2)＋9))＝eq\f(5,2）。（2）由已知f(x）dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝eq\f（1,3)x3＋(sinx－x）＝eq\f(1，3)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(π,2))）＝eq\f(4，3）－eq\f(π，2）.(3)∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）e2x)）′＝e2x，∴e2xdx＝eq\f(1，2)e2x＝eq\f(1，2）e－eq\f（1，2）。（4）∵［ln(2x＋1)]′＝eq\f(2,2x＋1）,∴eq\f(2，2x＋1）dx＝ln（2x＋1）＝ln3－ln1＝ln3。探究三微积分基本定理的应用定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而可利用该函数的性质求参数的值．也可对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中通常应用转化的思想方法．【典型例题3】设f(x）＝ax＋b，且［f(x）］2dx＝1，求f（a）的取值范围．思路分析：由定积分求出a，b的关系，消元转化为二次函数的值域问题．解：由[f（x）]2dx＝1可得,（ax＋b）2dx＝(a2x2＋2abx＋b2）dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a2,3)x3＋abx2＋b2x)）＝1，即2a2＋6b2＝3，且b2＝eq\f(3－2a2,6)≤eq\f(3，6)＝eq\f(1,2）,即－eq\f(\r(2),2)≤b≤eq\f（\r（2），2).于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋eq\f(3,2）＝－3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(b－\f（1,6）)）2＋eq\f(19，12），所以－eq\f(\r（2），2）≤f（a）≤eq\f（19,12）。探究四易错辨析易错点：对微积分定理记忆不准确而导致运算错误【典型例题4】计算eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,x))）2dx.错解：eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，x）））2dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1，x2）))dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）x3－\f（1，x)＋2x))＝eq\f（1,3)x3－eq\f(1,x）＋2x＝eq\f(1,3)（13－23）－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2）))＋2（1－2）＝eq\f(1,3)×(－7)－eq\f（1，2）－2＝－eq\f（29,6）.错因分析：本题产生错误的主要原因是对微积分基本定理记忆不准,定理中的式子应为f(x)dx＝F(x）＝F(b）－F(a)，而非f(x）dx＝F（a)－F(b）．正解：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，x)))2dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1，x2）))dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)x3－\f(1,x)＋2x)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）×23－\