数学课堂探究：3回归分析的基本思想及其初步应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求线性回归直线方程(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于性质不明确的两组数据，可先作散点图,在图上看它们有无关系,关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．（2）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义．【典型例题1】某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系x35404550y56412811（1）y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率保留一个有效数字）（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1）写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^）），由题知eq\x\to(x)＝42.5，eq\x\to（y)＝34，则求得eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f(\i\su（i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，4，)xi－\x\to（x）2）＝eq\f(－370，125)≈－3。eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6（^））eq\x\to（x）＝34－(－3）×42.5＝161。5。∴eq\o(y，\s\up6(^))＝－3x＋161。5。(2）依题意有P＝（－3x＋161.5）(x－30)＝－3x2＋251。5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(251。5,6)））2＋eq\f(251.52,12）－4845.∴当x＝eq\f(251.5，6)≈42时，P有最大值，约为426.即预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．规律总结先根据所给数据画出散点图，判断y与x是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识求出日销售利润最大时的销售单价．探究二线性回归分析解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上,借助回归方程对实际问题进行分析．【典型例题2】在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x（元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．解：eq\x\to（x）＝eq\f（1,5）×(14＋16＋18＋20＋22）＝18，eq\x\to（y）＝eq\f（1,5）×(12＋10＋7＋5＋3)＝7。4,eq\i\su(i＝1，5，x)eq\o\al（2,i）＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su（i＝1，5,y)eq\o\al（2，i）＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1，5,x）iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o（b，\s\up6（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，5,x)iyi－5\x\to（x)\x\to（y），\i\su(i＝1，5,x)\o\al（2，i)－5\x\to(x2）)＝eq\f（620－5×18×7。4,1660－5×182)＝eq\f（－46,40）＝－1.15。∴eq\o（a，\s\up6（^））＝7.4＋1.15×18＝28。1，∴回归直线方程为eq\o（y，\s\up6（^）)＝－1.15x＋28。1.列出残差表为yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i00。3－0。4－0.10.2yi－eq\x\to（y）4。62.6－0.4－2.4－4.4∴eq\i\su（i＝1，5，)（yi－eq\o(yi，\s\up6（^)））2＝0。3，eq\i\su(i＝1，5，)(yi－eq\x\to(y）)2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su（i＝1，5，）yi－\o（yi,\s\up6（^））2，\i\su(i＝1，5,)yi－\x\to（y）2）≈0.994。故R2≈0。994，说明拟合效果较好．规律总结“相关指数R2、残差图"在回归分析中的作用：（1）相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－eq\f（\i\su（i＝1,n，)yi－\o(yi，\s\up6（^))2，\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y）2）可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．（2)残差图也是用来刻画回归效果的,判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．探究三求非线性回归方程非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图．把它与必修模块数学1中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．【典型例题3】假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元），有如下表的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23。85。56.57.0若由资料知y与x具有线性相关关系，试求：(1)线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b，\s\up6（^）)x＋eq\o（a，\s\up6（^)）。（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？（3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和．（4)求R2并说明模型的拟合效果．解：（1）将已知条件制成下表i12345合计xi2345620yi2。23。85。56.57.025xiyi4.411。422.032.542.0112。3xeq\o\al（2,i）4916253690eq\x\to(x）＝4;eq\x\to(y)＝5；eq\i\su(i＝1,5，x）eq\o\al（2，i）＝90；eq\i\su(i＝1，5,x)iyi＝112.3设回归方程为eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^））x＋eq\o（a,\s\up6（^）)，于是有eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f(\i\su（i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x）\x\to(y），\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2,i）－5\x\to（x2))＝eq\f（112.3－5×4×5，90－5×42）＝1.23，eq\o（a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝5－1。23×4＝0.08，所以线性回归方程是eq\o（y,\s\up6(^））＝1.23x＋0。08.（2)当x＝10时,eq\o(y，\s\up6（^）)＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用10年时维修费用是12。38万元．(3）总偏差平方和:eq\i\su（i＝1，5,)（yi－eq\x\to(y))2＝15.78,残差平方和：eq\o（y1，\s\up6（^))＝2.46＋0。08＝2.54，eq\o(y2，\s\up6(^））＝3。77，eq\o(y3,\s\up6（^）)＝5,eq\o（y4，\s\up6(^)）＝6.23，eq\o（y5,\s\up6（^））＝7.46,eq\i\su（i＝1，5，）(yi－eq\o（yi，\s\up6(^)））2＝0.651，回归平方和：15.78－0。651＝15.129.（4）R2＝1－eq\f（\i\su(i＝1,5，)yi－\o（yi，\s\up6（^)）2,\i\su（i＝1,5，）yi－\x\to（y)2)＝1－eq\f(0。651，15.78）≈0。9587，模型的拟合效果较好，使用年限解释了95.87％的维修费用支出．规律总结把非线性回归问题转化为线性回归问题，拓展了解题思路．探究四易错辨析易错点残差平方和与相关指数的理解不清致误【典型例题4】对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据：（x1,y1)，(x2，y2）,…，（xn，yn)，则下列说法中不正确的是（)A．由样本数据得到的回归方程eq\o(y，\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^