北京市房山区2022-2023学年高二上学期数学诊断性评价试卷（含答案）

北京市房山区2022-2023学年高二上学期数学诊断性评价试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．椭圆x2A．6 B．8 C．10 D．122．直线y=k(x+2)−3经过定点（）A．(2，3) B．(2，−3) C．3．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是()A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断4．“mn<0”是“方程x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知椭圆x28+y24=1A．两条平行线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆6．直线3ax−y−1=0与直线(a−23A．－1或13 B．1或13 C．－13或－1 7．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为（）A．8 B．16 C．32 D．648．过定点P(3，1)作圆A．4x−3y−9=0 B．4x−3y−3=0C．4x−3y−9=0或y=1 D．4x−3y−3=0或y=19．已知双曲线C过点(3，2)A．双曲线C的方程为xB．双曲线C的离心率为3C．曲线x2+xy−2=0经过双曲线D．直线x−2y−1=0与双曲线10．已知F1，F2是双曲线x2a2A．(1，52) B．(1，7二、填空题11．直线y=x+3的倾斜角是．12．抛物线y2=x的准线方程为．13．圆P：x2+y14．已知双曲线M满足以下条件：①离心率为2；②焦点在坐标轴上；③对称轴是坐标轴．则满足上述条件的双曲线M的一个方程是．15．已知点A(−1，−3)是圆①a=6；②圆C的圆心为(4，−3)；③圆C的半径为25；④点其中正确结论的序号是．16．已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M．且MF1⋅MF三、解答题17．已知△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x−3y+1=0，x+y=0﹐顶点（1）求顶点C的坐标；（2）求BC边所在的直线方程．18．已知圆C：x2（1）求圆C的圆心坐标与半径大小；（2）求|PA|219．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．20．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且|AF|+|BF|=6．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线l经过焦点F，求直线l的方程21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0，−1)．离心率为22，右焦点为F﹐过（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点．证明：∠OMA=∠OMB．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由x216+y225=1得：c故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出椭圆的焦距。2．【答案】D【解析】【解答】令x+2=0，得x=−2，此时y=−3，所以直线y=k(x+2)−3经过定点(−2，故答案为：D

【分析】利用已知条件结合点斜式直线方程得出直线过的定点的坐标。3．【答案】B【解析】【解答】因为|AM|=32+4．【答案】C【解析】【解答】当mn<0，则m>0且n<0或m<0且n>0，此时方程x2若方程x2m+故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而推出“mn<0”是“方程x25．【答案】D【解析】【解答】根据椭圆的定义可知|AF由于|AB|=|AF2|即|BF1|=42，所以B点的轨迹是以故答案为：D

【分析】利用椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|的值，由于|AB|=|AF2|，进而得出|A6．【答案】D【解析】【解答】因为直线3ax−y−1=0与直线(a−所以3a(a−2故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出a的值。7．【答案】B【解析】【解答】∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，p2=2，∴∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），联解y=x−2y2=8x∴x1+x2=12，根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+p2=x1+2，|BF|=x2+p2=x∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．故答案为：B．【分析】求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x﹣2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．8．【答案】C【解析】【解答】依题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y−1=k(x−3)，即kx−y+1−3k=0，圆(x−1)2+y所以|k−0+1−3k|k2+1=1，解得所以切线方程为y=1或43即y=1或4x−3y−9=0。故答案为：C

【分析】依题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y−1=k(x−3)，再转化为直线的一般式方程为kx−y+1−3k=0，再利用圆(x−19．【答案】A【解析】【解答】由题意设双曲线方程为x2将点(3，2)代入x所以双曲线方程为x2因为a2=3，b2=1，所以因为双曲线的焦点坐标为(±2，0)，代入联立x−2y−1=0x23所以直线x−2y−1=0与双曲线故答案为：A

【分析】由题意结合代入法和双曲线的渐近线方程求解方法，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出双曲线标准方程；再利用已知条件结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值；再结合双曲线的标准方程得出焦点坐标，再利用代入法得出双曲线C的焦点坐标不在曲线x2+xy−2=0上；再联立直线与双曲线方程结合判别式法判断出直线x−210．【答案】D【解析】【解答】设F1(−c，0)，设直线AF1方程为y=k(x+c)，则因点F2到直线AF1|2kc|则k2则e>7故答案为：D

【分析】设F1(−c，0)，F2(c，0)，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，则c2=a2+11．【答案】1【解析】【解答】直线y=x+3的斜率为1，倾斜角范围是[0，π），所以倾斜角为14故答案为：14

【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线的倾斜角。12．【答案】x=﹣1【解析】【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴p∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣1故答案为：x=﹣1【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．13．【答案】2【解析】【解答】由圆P：(x+2)2所以圆心为P(−2，则P到直线l：d=|−2+0−2|故答案为：22

【分析】利用圆的方程得出圆心坐标，再结合点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。14．【答案】x2【解析】【解答】由双曲线x2−y所以双曲线x2故答案为：x2

【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程得出a，b的值，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合双曲线的离心率公式，焦点的位置和双曲线的对称性，进而得出满足条件的双曲线的一个方程。15．【答案】①②④【解析】【解答】由于点A(−1，−3)是圆所以1+9+8−3a=0，a=6，圆的方程为x2+y故圆心为(4，−3)，半径为5，②正确，(1−4)2+(1+3)2=25故答案为：①②④

【分析】利用已知条件结合代入法得出a的值，再结合圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用代入法判断出点与圆的位置关系，进而找出结论正确的序号。16．【答案】22；【解析】【解答】在椭圆C1中，因为上顶点为M．且MF1所以b=c，所以a=b2+设双曲线方程为x2a1则由|PF1|+|PF2在△PF1F所以12整理得a2+3a所以1e12+3故答案为：22；6

【分析】在椭圆C1中，利用上顶点为M且MF1⋅MF2=0，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以∠F1MF2=90∘，所以17．【答案】（1）解：因为△ABC的边AC的高所在直线方程为2x−3y+1=0，所以kAC=−3所以直线AC的方程为y−2=−32(x−1)又△ABC的边AB上的高所在直线方程为x+y=0，由3x+2y−7=0x+y=0，解得x=7所以顶点C(7，（2）解：由△ABC的边AB上的高所在直线方程为x+y=0，得kAB=1﹐又顶点所以直线AB的方程为y−2=x−1，即x−y+1=0，又△ABC的边AC的高所在直线方程分别为2x−3y+1=0，由2x−3y+1=0x−y+1=0，解得x=−2所以顶点B(−2，所以BC边所在的直线方程y+7x−7=y+1【解析】【分析】（1）利用三角形△ABC的边AC的高所在直线方程为2x−3y+1=0，进而得出直线AC的斜率，再利用顶点A(1，2)结合点斜式得出直线AC的方程，再利用三角形△ABC的边AB上的高所在直线方程为（2）由△ABC的边AB上的高所在直线方程为x+y=0，进而得出直线AB的斜率，再利用顶点A(1，2)，再结合点斜式得出直线AB的方程，再结合三角形△ABC的边AC的高所在直线方程为18．【答案】（1）解：由题设C：(x−3)2+（2）解：令P(x，而x2+y2为圆所以，只需确定x2+y因为x2+y2∈[|OC所以|PA|2【解析】【分析】（1）利用已知条件结合圆的方程得出圆心坐标和半径长。

（2）令P(x，y)，再利用两点距离公式得出|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)19．【答案】（1）解：当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝12|AB|＝10.故圆的方程为x2＋(y－1)2（2）解：由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为13AB的垂直平分线的方程是y－1＝13由x−3y+3=0，2x−y−4=0，解得即圆心坐标是C(3，2)．又r＝|AC|＝(3−1)2+(2+2)所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】【分析】(1)根据题意，求出以线段AB为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程；

(2)求出线段AB的中垂线与直线2x-y-4=0交点C(3，2)，可得所求圆的圆心为C(3，2)，求出AB的长即为圆的半径长，由此即可得到圆心在直线2x-y-4=0上圆的方程.20．【答案】（1）解：设抛物线方程x2=2py(p>0)，A(x由条件可知，y1|AF|+|BF|=y1+所以抛物线C的标准方程是x2（2）解：由（1）可知，直线l的斜率存在，且焦点F(0，设直线l：y=kx+1，联立y=kx+1y1+y所以直线l的方程是y=±2【解析】【分析】（1）设抛物线方程x2=2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y221．【答案】（1）解：由题意，列式得b=1ca=所以椭圆C的方程为x2（2）证明：当直线l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0当直线l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当直线l与x轴不重合也不垂直时，由题意，F(1，设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，A(x1，则x22+所以x1由题意，直线MA和直线MB的斜率之和为k=(k代入韦达定理得，2kx所以kMA+kMB=0所