《电工技能实训基础》课件第8章 线性电路的过渡过程

第8章线性电路的过渡过程8.1换路定律与初始条件8.2一阶电路的零输入响应8.3一阶电路的零状态响应8.4一阶电路的全响应

8.5一阶电路的三要素法*8.6RLC串联电路的零输入响应

8.1.1过渡过程的概念

自然界中的物质运动从一种稳定状态（处于一定的能态）转变到另一种稳定状态（处于另一能态）需要一定的时间。例如，电动机从静止状态（转速为零的状态）起动,到某一恒定转速要经历一定的时间,这就是加速过程;同样，当电动机制动时,它的转速从某一恒定转速下降到零,也需要减速过程。这就是说，物质从一种状态过渡到另一种状态是不能瞬间完成的,需要有一个过程,即能量不能发生跃变。过渡过程就是从一种稳定状态转变到另一种稳定状态的中间过程。电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态,也可能经历过渡过程。

8.1换路定律与初始条件图8.1过渡过程演示电路图

为了了解电路产生过渡过程的内因和外因,我们观察一个实验现象。图8.1所示的电路中,三个并联支路分别为电阻、电感、电容与灯泡串联,Ｓ为电源开关。 当闭合开关S时我们发现电阻支路的灯泡L1立即发光,且亮度不再变化,说明这一支路没有经历过渡过程,立即进入了新的稳态;电感支路的灯泡L2由暗渐渐变亮,最后达到稳定,说明电感支路经历了过渡过程;电容支路的灯泡L3由亮变暗直到熄灭,说明电容支路也经历了过渡过程。当然，若开关S状态保持不变（断开或闭合）,我们就观察不到这些现象。

由此可知,产生过渡过程的外因是接通了开关,但接通开关并非都会引起过渡过程,如电阻支路。产生过渡过程的两条支路都存在有储能元件（电感或电容）,这是产生过渡过程的内因。在电路理论中,通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）统称为换路,并认为换路是立即完成的。 综上所述,产生过渡过程的原因有两个方面,即外因和内因。换路是外因,电路中有储能元件（也叫动态元件）是内因。

研究电路中的过渡过程是有实际意义的。例如,电子电路中常利用电容器的充放电过程来完成积分、微分、多谐振荡等，以产生或变换电信号。而在电力系统中,由于过渡过程的出现将会引起过电压或过电流,若不采取一定的保护措施,就可能损坏电气设备,因此,我们需要认识过渡过程的规律,从而利用它的特点,防止它的危害。

8.1.2换路定律

1.具有电感的电路 在电阻R和电感L相串联的电路与直流电源Us接通之前,电路中的电流i=0。当闭合开关后,若Us为有限值,则电感中电流不能跃变,必定从0逐渐增加到Us/R。其原因是:若电流可以跃变,即dt=0,则电感上的电压uL=limL(Δi/Δt)→∞,这显然与电源电压为有限值是矛盾的。若从能量的观点考虑,电感的电流突变,意味着磁场能量突变,则电路的瞬时功率p=dw/dt→∞,说明电路接通电源瞬间需要电源供给无限大的功率,这对任一实际电源来说都是不可能的。所以RL串联电路接通电源瞬间,电流不能跃变。

为分析方便,我们约定换路时刻为计时起点,即t=0，并把换路前的最后时刻计为t=0-,换路后的初始时刻计为t=0+,则在换路瞬间将有如下结论:在换路后的一瞬间,电感中的电流应保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变，即

iL(0+)=iL(0-) (8.1)

这一规律称为电感电路的换路定律。 推理:对于一个原来没有电流流过的电感,在换路的一瞬间,iL(0+)=iL(0-)=0,电感相当于开路。

2.具有电容的电路 在电阻R和电容C相串联的电路与直流电源Us接通前,电容上的电压uC=0。 当闭合开关后,若电源输出电流为有限值，电容两端电压不能跃变,必定从0逐渐增加到Us

。其原因是:若电容两端电压可以跃变,即dt=0,则电路中的电流,这与电源的电流为有限值是矛盾的。

若从能量的角度考虑,电容上电压突变意味着电场能量突变,则电路的瞬时功率p=dw/dt→∞,说明电路接通瞬间需要电源提供无穷大的功率,这同样是不可能的。所以RC串联电路接通电源瞬间,电容上电压不能跃变。因此,在换路后的一瞬间,电容上的电压应保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变，即

uC(0+)=uC(0-)（8.2） 这一规律称为电容电路的换路定律。推理:对于一个原来未充电的电容,在换路的一瞬间uC(0+)=uC(0-)=0,电容相当于短路。

8.1.3初始值的计算

换路后的最初一瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值统称为初始值。研究线性电路的过渡过程时,电容电压的初始值uC(0＋)及电感电流的初始值iＬ(0＋)可按换路定律来确定。

例8.1

图8.2（a）所示电路中,已知Us=12V,R1=4kΩ,R2=8kΩ,C=1μF,开关S原来处于断开状态,电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后t=0+时各电流及电容电压的数值。

图8.2例8.1电路图(a)电原理图；(b)t=0+时的等效电路

解选定有关参考方向如图8.2所示。

(1)由已知条件可知:uC(0-)=0。

(2)由换路定律可知:uC(0+)=uC(0-)=0。

(3)求其它各电流、电压的初始值。 画出t=0+时刻的等效电路,如图8.2（b）所示。由于uC(0+)=0,因此在等效电路中电容相当于短路。故有由KCL有

例8.2

图8.3（a）所示电路中,已知Us=10V,R1=6

Ω,R2=4Ω,L=2mH,开关S原处于断开状态。求开关S闭合后t=0+时各电流及电感电压uL的数值。

解选定有关参考方向如图8.3所示。

(1)求t=0-时的电感电流iL(0-)。由原电路已知条件得

(2)求t=0+时iL(0+)的值。 由换路定律知

iL(0+)=iL(0-)=1A (3)求其它各电压、电流的初始值。 画出t=0+时的等效电路，如图8.3（b）所示。由于S闭合,R2被短路,则R2两端电压为零,故i2(0+)=0。

图8.3例8.2电路图(a)电原理图；(b)t=0+时的等效电路

由KCL有

i3(0+)=i1(0+)-i2(0+)=i1(0+)=1A

由KVL有

Us=i1(0+)R1+uL(0+)故

uL(0+)=Us-i1(0+)R1=10-1×6=4V

例8.3图8.4（a）所示电路中,已知Us=12V,R1=4Ω,R2=8Ω,R3=4Ω,uC（0-）=0,iL（0-）=0,当t=0时开关S闭合。求开关S闭合后各支路电流的初始值和电感上电压的初始值。

图8.4例8.3电路图

(a)电原理图；(b)t=0+时的等效电路

解

(1)由已知条件可得

uC(0-)=0,iL(0-）=0 (2)求t=0+时,uC(0+)和iL(0+)的值。 由换路定律知

uC(0+)=uC(0-)=0, iL(0+)=iL(0-)=0

（3）求其它各电压、电流的初始值。 先画出t=0+时的等效电路图,如图8.4（b）所示。此时，因为uC(0+)=0,iL(0+)=0,所以在等效电路中电容相当于短路,而电感相当于开路。故有

思考题

1.由换路定律知,在换路瞬间电感上的电流、电容上的电压不能跃变,那么对其余各物理量,如电容上的电流，电感上的电压及电阻上的电压、电流是否也遵循换路定律？

2.图8.5所示电路中,已知R1=6Ω,R2=4Ω。开关闭合前电路已处于稳态,求换路后瞬间各支路电流。图8.5思考题

2图

3．图8.6所示电路中,开关闭合前已达稳态,已知R1=4Ω,R2=6Ω,求换路后瞬间各元件上的电压和通过的电流。图

8.6思考题

3图

8.2一阶电路的零输入响应

8.2.1RC串联电路的零输入响应 图8.7（a）是电阻与电容串联的电路,当开关S接于“1”位置时电容器充电,电压表的读数为U0。下面我们讨论当S由“1”拨到“2”时电路中的响应。

图8.7一阶RC电路的零输入响应(a)电路图；(b)换路瞬间等效电路

当t=0+时,由于电容上电压不能突变,仍为U0,也就是R两端加有电压U0，因此换路瞬间电路中电流为U0/R,此后随着电容放电,电容电压逐渐下降,电容所储存的电场能量经电阻R转变为热能。

忽略电压表内阻，根据KVL,(式中负号表明iC与uC的参考方向相反)。将 代入uC=Ri,得

(8.3)

式(8.3)是一个线性常系数一阶齐次微分方程。由数学知识可知,此方程的通解为

uC=Aept (8.4)

为了求出p的值,将式(8.4)代入式(8.3)得

RCpAept+Aept=0

或

(RCp+1)Aept=0

即

RCp+1=0 (8.5）

称式（8.5）为式（8.3）的特征方程。其特征根为

于是有

uC=Aept=(8.6)

下面利用初始条件求解A的值。由换路定律知：uC(0+)=uC(0-)=U0,即U0==Ae0=A。 将A=U0代入式（8.6）,得 曲线如图8.8(b)所示。

(8.7)图8.8一阶RC电路的零输入响应波形

(a)uC波形；(b)i波形

从图8.8可见,电容上电压uC(t)、电路中电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的。 理论上要t=∞才停止。若在式(8.7)中,令τ=RC,当R的单位为Ω,C的单位为F时,则τ的单位是s。τ的数值大小反映了电路过渡过程的快慢,故把τ叫做RC电路的时间常数。

t=0-时，uC=U0，i≤0;t=0+时，uC=U0,i=U0/R。 换路时，uC没有跃变，

i发生了跃变。

为了研究过渡过程与时间常数τ之间的关系,将不同时刻电容电压uC和电流i的数值列表,如表8.1所示。

表8.1电容电压及电流随时间变化的规律

由表8.1可知,时间常数τ是电容器上的电压（或电感中的电流）衰减到原来值的36.8%所需的时间。当t=3τ时,电压（或电流）只有原来值的5%。一般当t=(3～5)τ时,就可以认为过渡过程基本结束了。

时间常数τ=RC仅由电路的参数决定。在一定的U0下,当R越大时,电路放电电流就越小,放电时间就越长;当C越大时,储存的电荷就越多,放电时间就越长。实际中常合理选择RC的值来控制放电时间的长短。

例8.4

供电局向某一企业供电电压为10kV,在切断电源瞬间,电网上遗留有10kV的电压。 已知送电线路长L=30km,电网对地绝缘电阻为500MΩ,电网的分布每千米电容为C0=0.008μF/km,问:(1)拉闸后1分钟,电网对地的残余电压为多少？

(2)拉闸后10分钟,电网对地的残余电压为多少？

解电网拉闸后,储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电,这是一个RC串联电路的零输入响应问题。 由题意知,长30km的电网总电容量为

C=C0L=0.008×30=0.24μF=2.4×10-7F

放电电阻为

R=500MΩ=5×108Ω

时间常数为

τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s

电容上初始电压为

U0=10kV

在电容放电过程中,电容电压(即电网电压)的变化规律为

uC(t)=U0

故

由此可见,电网断电,电压并不是立即消失,此电网断电经历1分钟,仍有8.6kV的高压,当t=5τ=5×120=600s时,即在断电10分钟时电网上仍有95.3V的电压。

8.2.2ＲＬ串联电路的零输入响应 电路如图８.9所示,当开关S闭合前,由电流表观察到,电感电路中电流为稳定值I0,电感中存储有一定的磁场能。在ｔ＝０时将开关Ｓ闭合,由电流表观察到:电感电路中电流没有立即消失,而是经历一定的时间后逐渐变为零。由于Ｓ闭合后,电感电路没有外电源作用,因此此时的电路电流属零输入响应。图8.9一阶RL电路的零输入响应

换路后列L所在网孔的方程，在所选各量参考方向下，忽略电流表内阻,由KVL得

uR+uL=0

而

uR=iLR,uL=

故

或

这也是一个线性常系数一阶齐次微分方程,与RC电路的零输入响应微分方程相类似,其解为

(8.8)

式中,τ=L/R称为RL电路的时间常数。若电阻R的单位为Ω,电感L的单位为H,则时间常数τ的单位为s。 电阻上的电压为

电感上的电压为

(8.10)

式（8.10）中负号表示电感实际电压方向与图中参考方向相反。画出式(8.8)、式(8.9)、式(8.10)对应的曲线，分别如图8.10(a)、(b)、(c)所示。图8.10一阶RL电路的零输入响应波形

图8.10中的电压、电流变化规律与图8.8所示的RC电路一样,也是按指数规律变化的。同样，τ=L/R反映了过渡过程进行的快慢。τ越大,电感电流变化越慢,反之越快。t=0－时，

iL=Ｉ0,uR=I0R,uL=0;t=0+时，iL=Ｉ0,uR=I0R,uL=-I0Ｒ。即换路时，iL、uR没有发生跃变，uL发生了跃变。由以上分析可知:

(1)一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变化而衰减到零的,这反映了在没有电源作用的情况下,动态元件的初始储能逐渐被电阻值耗掉的物理过程。电容电压或电感电流从一定值减小到零的全过程就是电路的过渡过程。

(2)零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间常数。

思考题

1.有一40μF的高压电容器从电路中断开,断开时电容器的电压为3.5kV,断开后电容器经本身的漏电阻放电。如漏电阻R=100MΩ,经过30分钟后,电容上的电压为多少？若从高压电路上断开后,马上要接触它,应如何处理？

2.图8.11所示电路中,已知R1=10Ω,则电路中开关S打开瞬间电压表（设电压表内阻为1MΩ）所承受的电压为多少？断开开关后,若在电压表两端并联1Ω的电阻,此时电压表所承受的电压又是多少？

图8.11思考题2图8.3一阶电路的零状态响应

8.3.1RC串联电路的零状态响应

图8.12所示的电路中,开关闭合前,电容C上没有充电。t=0时刻开关S闭合。在图示参考方向下,由KVL有

uR+uC=Us

(8.11)

将各元件的伏安关系uR=iR和代入式(8.11)得(8.12)图8.12

RC电路的零状态响应

式(8.12)是一个线性常系数一阶非齐次微分方程,由数学知识可知,该微分方程的解由两部分组成,即

uC=uＣ′+uＣ″(8.13)

式中,uＣ′为方程式的特解,电路动态过程结束时,uＣ=Us是它的稳态解,即

uＣ′=Us(8.14)

uC″是方程当Us=0时的解,即齐次方程的通解,也叫暂态解,其形式与式（8.6）相同,即

(8.15)

上式中τ=RC。 将式（8.14）、式（8.15）代入式（8.13）,得

uC=uC′+uC″=Us+A(8.16)

式中,常数A可利用换路定律求得,即

uC(0+)=uC(0-)=0 A=-Us

于是

(8.17)

式中,Us为电容充电电压的最大值,称为稳态分量或强迫分量。 是随时间按指数规律衰减的分量,称为暂态分量或自由分量。将式（8.17）改写为

（8.18）式（8.18）为RC串联电路中电容电压的零状态响应方程

利用电容元件的伏安关系,可求得RC串联电路的零状态电流的响应表达式为

式中,I0=Us/R为充电电流的初始值i(0+)。容易理解,换路瞬间由于uC=0,电源电压Us全部加在电阻R上,则i(0+)=Us/R。

(8.19)

利用欧姆定律可以求得电阻上电压的响应为

画出式（8.18）、式（8.19）、式（8.20）对应的曲线，如图8.13所示。(8.20)

图

8.13RC

电路的零状态响应曲线

例8.5

图8.14(a）所示电路中,已知Us=220V,R=200Ω,C=1μF,电容事先未充电,在t=0时合上开关S。

(1）求时间常数。 （2）求最大充电电流。 （3）求uC、

uR和i的表达式。 （4）作uC、

uR和i随时间的变化曲线。 （5）求开关合上后1ms时的uC、uR和i的值。

解（1）时间常数为

τ=RC=200×1×10-6=2×10-4s=200μs

（2）最大充电电流为

（3）

uC、uR、i的表达式为

（4）

画出uC、uR、

i的曲线，如图8.14(b)所示。 （5）当t=1ms=10-3s时，有

uC=220(1-e-5×103×10-3)=220(1-e-5)=220(1-0.007)=218.5VuR=220e-5×103×10-3=220×0.007≈1.5Vi=1.1e-5×103×10-3=1.1×0.007=0.0077A

图8.14例8.5图

8.3.2RL串联电路的零状态响应 图8.15所示电路中,开关S未接通时电流表读数为0,即iL(0-)=0。当t=0时,S接通,电流表读数由零增加到一稳定值。这是电感线圈储存磁场能量的物理过程。

S闭合后,在电路给定的参考方向下,不计电流表内阻,由KVL有

uR+uL=Us

根据元件的伏安关系得

图8.15一阶RL电路零状态响应电路

即 这也是一个线性常系数一阶齐次微分方程,仿照式(8.12)求解得 式中,τ=L/R为电路的时间常数;A可由换路定律来求解,将(8.21)(8.22)

即

将A=-Us/R

代入式(8.22),得 式中,I=Us/R。 根据电感元件上的伏安特性,求得电感上的电压为

(8.23)(8.24)

电阻上的电压为

(8.25)

画出iC、

uL、

uR的曲线，

如图8.16所示。

图8.16一阶RL电路零状态响应波形

例8.6

图8.17所示电路为一直流发电机电路简图,已知励磁电阻R=20Ω,励磁电感L=20H,外加电压为Us=200V。 （1）试求当S闭合后,励磁电流的变化规律和达到稳态值所需的时间。

(2)如果将电源电压提高到250V,求励磁电流达到额定值的时间。

图8.17例

8.6图

解(1）这是一个RL零状态响应的问题,由RL串联电路的分析可知

式中，Us=200V,R=20Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以

一般认为当t=（3～5）τ时过渡过程基本结束,取t=5τ,则合上开关S后,电流达到稳态所需的时间为5s。

（2）由上述计算知使励磁电流达到稳态需要5s。为缩短励磁时间常采用“强迫励磁法”,就是在励磁开始时提高电源电压,当电流达到额定值后,再将电压调回到额定值。 这种强迫励磁所需的时间t计算如下:

即10=12.5(1-e-t)

解得

t=1.6s

这比电压为200V时所需的时间短。两种情况下电流变化曲线如图8.18所示。

图8.18强迫励磁法的励磁电流波形

思考题

1.在实验测试中,常用万用表的R×1kΩ挡来检查电容量较大的电容器质量。测量前,先将被测电容器短路放电。测量时,如果:①指针摆动后,再返回到无穷大（∞）刻度处,说明电容器是好的;②指针摆动后,返回速度较慢,则说明被测电容器的电容量较大。试根据RC电路的充放电过程解释上述现象。

2.RC串联电路中,已知R=100Ω,C=10μF,接到电压为100V的直流电源上,接通前电容上电压为零。求接通电源后1.5ms时电容上的电压和电流。

3.RL串联电路中,已知R=10Ω,L=0.5mH时,接到电压为100V的直流电源上,接通前电感中电流为零。求接通电源后电流达到9A所经历的时间。

当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。图8.19所示电路中,如果开关S闭合前,电容器上已充有U0的电压,即电容处于非零初始状态,t=0时开关S闭合(有关电压和电流的参考方向如图所示)。由KVL有

uR+uC=Us

或

8.4一阶电路的全响应图8.19一阶RC电路的全响应

于是有

uC=uC

′+uC″=Us+

将初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0代入上式有U0=Us+A,即A=U0-Us

。所以,电容上电压的表达式为

uC=Us+(U0-Us)（8.26）

由式（8.26）可见,Us为电路的稳态分量,(U0-Us)为电路的暂态分量,即 全响应=稳态分量+暂态分量 波形如图8.20所示,有三种情况:(a)U0<Us;(b)U0=Us;(c)U0>Us

。

图8.20一阶RC电路全响应曲线

电路中的电流为 （8.27） 可见,电路中电流i只有暂态分量,而稳态分量为零。我们也可以将式(8.26)改写为

(8.28)

式中， 是电容初始值电压为零时的零状态 响应,是电容初始值电压为U0时的零输入响应。故又有 全响应=零状态响应+零输入响应

同样,将电路中电流改写为

式中，为电路电流的零状态响应,为电路中电流的零输入响应,负号表示电流方向与图中参考方向相反。(8.29)

例8.7

图8.21所示电路中,开关S断开前电路处于稳态。已知Us=20V,R1=R2=1kΩ,C=1μF。求开关打开后,uC和iC的解析式,并画出其曲线。图8.21例8.7图

解

选定各电流电压的参考方向如图8.21所示。 因为换路前电容上电流iC（0-）=0,故有

换路前电容上电压为

uＣ(0-)=i2(0-)R2=10×10-3×1×103=10V

即U0=10V。

由于U0<Us,因此换路后电容将继续充电,其充电时间常数为

τ=R1C=1×103×1×10-6=10-3s=1ms

将上述数据代入式(8.26)和式(8.27),得

=0.01e-1000tA=10e-1000tmA

uC、

iC随时间的变化曲线如图8.22所示。图8.22uC、

iC随时间的变化曲线

例8.8

图8.23(a)所示电路中,已知Us=100V,R0=150Ω,R=50Ω,L=2H,在开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时将开关S闭合,求开关闭合后电流i和电压UL的变化规律。

图8.23例8.8图(a)电路图；(b)零输入响应；(c)零状态响应

解法1

全响应=稳态分量+暂态分量 开关S

闭合前电路已处于稳态,故有

当开关S闭合后,R0被短路,其时间常数为

电流的稳态分量为

电流的暂态分量为

i″=A=Ae-25t

全响应为

i(t)=i′+i″=2+Ae-25t

由初始条件和换路定律知

i(0+)=i(0-)=0.5A

故

0.5=2+Ae-25t|t=0

即

0.5=2+A

解得

A=-1.5

所以

解法2

全响应=零输入响应+零状态响应电流的零输入响应如图8.23(b)所示,i(0+)=I0=0.5A。于是电流的零状态响应如图8.23(c)所示,i(0+)=0。所以全响应为

思考题

1.如图8.24所示电路,已知R1=10Ω,R2=20Ω,R3=10Ω,L=0.5H,t=0时开关S闭合,开关闭合前电路处于稳态,试求电感上电流和电压的变化规律。

2.如图8.25所示电路,已知R1

＝１０Ω,R2

＝４０Ω,R3

＝１０Ω,Ｃ＝０.２Ｆ,换路前电路处于稳态,求换路后的iC和uC。

图8.24思考题

1图

图8.25思考题

2图

设f（0+）表示电压或电流的初始值，f（∞）表示电压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常数,f（t）表示要求解的电压或电流。这样,电路的全响应表达式为

(8.30)

将前面学习的RC、RL电路各类响应用式(8.30)验证,如表8.2所示。

8.5一阶电路的三要素法表8.2经典法与三要素法求解一阶电路比较表

三要素法简单易算,特别是求解复杂的一阶电路尤为方便。下面归纳出用三要素法解题的一般步骤: (1)画出换路前（t=0-）的等效电路，求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)。

(2)根据换路定律uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),画出换路瞬间（t=0+）的等效电路,求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。

(3)画出t=∞时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路,电感相当于短路）,求出稳态下响应电流或电压的稳态值

i(∞)或u(∞),即f(∞)。

(4)求出电路的时间常数τ。τ=RC或L/R,其中R值是换路后断开储能元件C或L,由储能元件两端看进去,用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内阻。

(5)根据所求得的三要素,代入式(8.30)即可得响应电流或电压的动态过程表达式。

例8.9

电路如图8.26（a）所示,已知R1=100Ω,R2=400Ω,C=125μF,Us=200V,在换路前电容上有电压uC(0-)=50V。求S闭合后电容电压和电流的变化规律。

图8.26例8.9图

解用三要素法求解: (1)画t=0-时的等效电路，如图8.26(b)所示。由题意已知uC(0-)=50V。

(2)画t=0+时的等效电路,如图8.26(c)所示。由换路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。

(3)画t=∞时的等效电路,如图8.26(d)所示。

(4)求电路时间常数τ。从图8.26(d)电路可知,从电容两端看过去的等效电阻为

于是

τ=R0C=80×125×10-6=0.01s (5)由公式(8.30)得

uC(t)=uC(∞)+［uC(0+)-uC(∞)］

=

画出uC(t)和iC(t)的变化规律，如图8.27所示。

图

8.27例8.9波形图

例8.10

电路如图8.28所示,已知R1=1Ω,R2=1Ω,R3=2Ω,L=3H,t=0时开关由a拨向b,试求iL和i的表达式,并绘出波形图。(假定换路前电路已处于稳态)图8.28例8.10图

解

(1)画出t=0-

时的等效电路,如图8.28(b)所示。因换路前电路已处于稳态,故电感L相当于短路,于是iL(0-)=UAB/R2。 (2)由换路定律iL(0+)=i(0-)得iL(0+)=

A。

(3)画出t=0+时的等效电路,如图8.28(c)所示,求i(0+)。 对3V电源，

R1、

R3回路有

3=i(0+)R1+i2(0+)R3

对节点A有

i(0+)=i2(0+)+iL(0+)将上式代入回路方程,得

3=i(0+)R1+［i(0+)-iL(0+)］R3

即

解得

i(0+)=0.2A (4)画出t=∞时的等效电路，如图8.28(d)所示,求i(∞)和iL(∞)。

(5)画出电感开路时求等效内阻的电路，如图8.28(e)所示。 于是有

(6)代入三要素法表达式,得

画出i(t)和iL(t)的波形,如图8.28(f)所示。

图8.29思考题1图

思考题

1.图8.29所示电路中,开关S闭合前电路达到稳态,已知Us=36V,R1=8Ω,R2=12Ω,L=0.4H,求开关闭合后电感电流iL及电压uL的解析式。

2.电路如图8.30所示,在开关S打开前电路处于稳态。已知R1=10Ω,R2=10Ω,C=2F,求开关打开后i1、i2和i3的解析式。图8.30思考题2图

3.试求图

8.31所示各电路的时间常数。

图8.31思考题3图*8.6

RLC串联电路的零输入响应

图8.32所示的电路,开关起始位置在a点,且电路已达到稳态,当t=0时将开关S拨到b,此时电容C会经过电感L和电阻R放电。图8.32RLC串联电路的过渡过程

应用KVL得 上式对t求导,得 又由于,即，代入上式 得(8.31)

为简化表达式,令,并且称δ为衰减系数,ω0为回路谐振角频率,于是有

式(8.32)为一个二阶常系数线性齐次微分方程。求解此方程,可先设i=Aept,然后再确定p、A。 若i=Aept,则(8.32)

将上述关系代入式(8.32)得到特征方程为

p2+2δp+ω20=0

解出特征根 又令,则有

式(8.32)的解为

(8.33)

当t=0时,回路电流i(0-)=0,于是i(0+)=0,电容上初始电压为Us,与电感上电压相等,即 将初始条件代入式(8.33),得

解得

再将A、B代入式(8.33)得或

(8.34)

其中

在式(8.34)中e-δt是指数衰减的,由于α的取值不同,则会有三种情况:

δ>ω0,δ=ω0,δ<ω0

或

下面分三种情况进行讨论。

1)(或δ>ω0)非振荡放电过程 此时特征根p1和p2是两个不相等的负实数,即p1,2=-δ±α,将p1

、p2代入式(8.34),得(8.35)

由于Us/αL已给定,因此电流随时间变化的规律取决于两个因子:e-δt

和shαt。放电情况的曲线如图8.33所示。由图可见,回路中电流由零增加到某一最大值后,开始下降,最终又趋于零,并没有改变方向,所以称为非振荡放电情况。由于电路中电阻较大,因此又叫过阻尼情况。

图8.33过阻尼放电情况曲线

2)(或δ<ω0)振荡放电过程 这种情况下，特征根p1和p2是一对共轭复根:

p1,2=-δ±jα

因为,若令,则

(8.36)

将式(8.36)代入式(8.34),得

由于

作出式(8.37)的曲线,如图8.34所示。电路中电流按指数规律衰减振荡,ω为振荡角频率,δ为衰减系数。电容的这种放电称为阻尼振荡放电,因R较小,故又叫欠阻尼情况。故

图8.34欠阻尼振荡放电曲线

3) (或δ=ω0)临界情况 这种情况下,p1=p2=-δ,得到重根,有

i=e-δt(C1t+C2)

初始条件t=0时i=0,得C2=0。

又由得

即

所以回路方程为

(8.38)

图8.35画出了式（8.38）对应的波形。电流有一个最大值,但方向不变。这种情况是介于非振荡放电和振荡放电之间的状态,所以又叫临界放电或临界阻尼情况。图8.35临界阻尼情况电流波形

临界阻尼放电时,电流的最大值发生在di/dt=0处，于是有 解得

故

由于,故

例8.11

如图8.32所示电路,已知L=50mH,C=100F,Us=1000V,求: (1)电容放电为非振荡放电时的R。

(2)R=0.4Ω时,电路的振荡频率和衰减系数δ。（3）电路处于临界状态时的最大电流Imax。

解

(1)非振荡放电状态,就是过阻尼放电状态,此时R>2。由已知条件得

(2)当R=0.4Ω时,R<=44.7Ω，为振荡放电状态,由于,其中

因δ<<ω0,所以

ω≈ω0=447.21/s (3)电路处于临界放电状态,即临界阻尼状态,R=44.7Ω。由得

本章小结

由于电路中存在有储能元件,当电路发生换路时会出现过渡过程。

1.换路定律电路换路时,各储能元件的能量不能跃变。具体表现在电容元件的电压不能跃变，电感元件的电流不能跃变。换路定律的数学表达式为

uC(0+）=uC（0-）

iL(0+)=iL(0-)

应该注意,换路瞬间电容电流iC和电感电压uL是可以跃变的。

2.时间常数τ

过渡过程理论上要经历无限长时间才结束。实际的过渡过程长短可根据电路的时间常数τ来估算,一般认为当t=(3～5)τ时,电路的过渡过程结束。一阶RC电路τ=RC;一阶RL电路τ=L/R,τ的单位为s。τ的大小反映了电路参量由初始值变化到稳态值的63.2%所需的时间。

3.经典法 经典法是求解过渡过程的基本方法,它的一般步骤如下:

（1）根据换路后的电路列出电路的微分方程;

（2）求微分方程的特解和通解;

（3）根据电路的初始条件,求出积分常数,从而得到电路解。

4.一阶电路的全响应 全响应=稳态分量+暂态分量 或全响应=零状态响应+零输入响应 以上两个表达式反映了线性电路的叠加定理。 5.三要素法 三要素法是基于经典法的一种求解过渡过程的简便方法。对于直流电源激励的一阶电路，可用三要素法求解。三要素的一般公式可以表示为

式中,f(∞)为待求量的稳态值;f(0+)为待求量的初始值;τ为电路的时间常数。

6.二阶电路 二阶电路中RLC串联电路的零输入响应:

（1）当R＞2时,为非振荡放电过程。 （2