第18章 圆-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第18章圆【知识衔接】————初中知识回顾————垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．切线的性质与证明：切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质：学科-网（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．证明四点共圆的方法有：（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆（3）线段同旁张角相等，则四点共圆．（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若，则它的四个顶点共圆．圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形————高中知识链接————直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离．圆和圆的位置关系 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离．两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切． 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交．两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切． 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含．弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【经典题型】初中经典题型例1：如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()10cmB．16cmC．24cmD．26cm【答案】C例2：如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则eq\o(AD,\s\up8(︵))的度数是________度．【答案】140【解析】如解图，连接AD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝20°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝20°，∴∠AOD＝180°－20°－20°＝140°，即eq\o(AD,\s\up8(︵))的度数为140°．例3：如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．【分析】（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；（2）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OA，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．例4：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆．AABQSRP证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆∴∠QBA＝∠RPQ又∵SB为切线，AB为直径∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB∴∠RPQ＝∠QSB∴P、Q、S、R四点共圆例5：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝ABAADCOEB解：在AB上截取BE＝BC，连结OC，OD，DE，CE．∴∠BEC＝（180°－∠B）∵ABCD内接于圆，∴180°－∠B＝∠ADC∴∠BEC＝∠ADC又DA，DC为半圆切线，∴∠ADC＝∠ADO＝∠ODC∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四点共圆．∴∠AED＝∠OCD＝∠BCD＝（180°－∠A），∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC．高中经典题型1、如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．(1)求证：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．【答案】（1）详见解析（2）162、如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠BAD等于________．【答案】99°3、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，则∠MPB＝________．【答案】20°【解析】由切割线定理得，MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即eq\f(MB,MP)＝eq\f(MP,MC)，又∠BMP＝∠PMC．故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB＝180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°．4、如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．【答案】eq\r(35)5、如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．【答案】eq\f(8,3)【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．D．【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．2、⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为．【答案】75°或15°．【解析】试题分析：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案为：75°或15°．3、将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么=．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而得出结论．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴=，∴===．4、如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度．【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN===a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．5、如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1)B（，2）．(2)证明见解析．∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．6、如图，设A为⊙O外一点，AB，AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆．AABGPCOMQ解：连接OB，OC，BC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴A，B，O，C四点共圆，∵BR//AQ，∵∠GBR=∠BAQ，而∠GBR=∠BCR，∴∠BAQ=∠BCR，即∠BAM=∠BCM，∴A，B，M，C四点共圆，但A，B，C三点确定一个圆，∴A，B，C，O，M五点共圆．7、如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又，求证：（1）PA＝PD；（2）．AAPBDOEC解：（1）连接AB∵∵∵∠E＝∠F∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD∵PA切⊙O于点A，∴∠E＝∠PAB∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA（2）∵PA切⊙O于点A，∴∵D为PC中点，∴PC＝2PD，∵PD＝PA，∴,∴DP＝2PB，∴B为PD中点，DC＝2BD，∴8、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE长为2，CD＝1，求DE的长度．AACDPOHEB解：连PO交AB于H，设DE＝x，则，在Rt△APH中，∴①在Rt△PHD中，②由相交弦定理，知而∴③由①②③可知，，∴DE＝————再战高中题——能力提升————B组1．如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．2．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则．【答案】【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．3．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延