第17章 几种特殊的三角形-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第17章几种特殊的三角形【知识衔接】————初中知识回顾————等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一，因而在等腰中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上．学-科网正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心．图3.2-15图3.2-15————高中知识链接————等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半在有角的直角三角形中，角所对的直角边必为斜边的一半【经典题型】初中经典题型1、在中，求：（1）的面积及边上的高；（2）的内切圆的半径；（3）的外接圆的半径．解：（1）如图，作于．为的中点，,又,解得．（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，连，，即，解得．（3）是等腰三角形，外心在上，连，则中，解得2、如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点．求证：．证明：过A作于D．在中，．在中，．．．．3、已知等边和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，的高为，“若点P在一边BC上，此时，可得结论：．”解：（1）当点P在内时，法一：如图，过P作分别交于，由题设知，而，故，即．法二：如图，连结PA、PB、PC，，，又，，即．（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：．点睛：在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法．高中经典题型1．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：①∵在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1∴AB=（所以①正确）②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，故④正确．故选：C．2．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②DE=2（﹣1）【解析】试题分析：（1）利用判定定理（SAS）可证；（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．（2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE，∴∠FDE=∠FBC又∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，又∵FG=FB，∴∠FGB=∠FBG，∴∠DFG=∠CFB，又∵∠FCB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°，∴∠EDF+∠DFG=90°，∴DE⊥FG②如下图所示，∵△BFG为等边三角形，∴∠BFG=60°，∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，在Rt△FCB中，∠FCB=90°，∴FC=CB•cot60°=，DF=2-，又∵DE⊥FG，∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，在Rt△DFO中，OD=DF•cos30°=-1，∴DE=2（-1）【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力．学！科网3．如图，在菱形纸片ABCD中，，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点分别在边上，则的值为______．【答案】【解析】如图，作EH⊥AD于H，连接BE，BD产AE交FG于O，因为四边形ABCD是菱形，∠A=60°，所以△ADC是等边三角形，∠ADC=120°，∵点E是CD的中点，所以ED=EC=，BE⊥CD，Rt△BCE中，BE=CE=，因为AB∥CD，所以BE⊥AB，设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在Rt△EBF中，则勾股定理得，x2=(3-x)2+()2，解得x=，Rt△DEH中，DH=DE=，HE=DH=，Rt△AEH中，AE==，所以AO=，Rt△AOF中，OF==，所以tan∠EFG==，故答案为．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（）A．6B．4．5C．2．4D．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________．4．已知:是的三条边，，那么的取值范围是_________．5．若三角形的三边长分别为1、a、8，且是整数，则的值是_________．6．如图，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）A．B．C．D．7．如图，在中，，BD是边AC上的高，求的度数．3．如图，，M是AC的中点，AM=AN，MN//AB，求证：MN=AB．4．如图，在中，AD平分，AB+BD=AC．求的值．5．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：．A组参考答案1．B2．D3．4．5．86．A7．8．连，证．9．在AC上取点E，使AE=AB，则，，又BD=DE=EC，10．可证，因而与互余，得．————再战高中题——能力提升————B组1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：BE平分∠ABD；（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：连接OE，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出OE⊥AC，BD⊥AC，证得OE∥BD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得结论；（2）根据sinC=求出AB=BC=4，设⊙O的半径为r，则AO=4-r，得出sinA=sinC，根据OE⊥AC，得出sinA，即可求出半径．（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC∴BC=4，∴AB=4设⊙O的半径为r，则AO=4-r∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC∴sinA===，∴r=2．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AEDB（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）=；（2）AE＝BD．【解析】试题分析：（1）△BCE中可证，∠BCE=30°，又EB=EC，则∠D=∠ECB=30°，所以△BCE是等腰三角形，结合AE=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，用AAS证明△DEB≌△ECF．（2）当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：过E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC．∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°．∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD．∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF(AAS)．∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，等边三角形的三条边相等，三个角也相等，由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质等边三角形都有，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是常用的方法．3．如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，OB＝2，平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D．若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为，则线段PC(PC＜2．5)的长为____________．【答案】－1或2或2－2【解析】【分析】过点A作AE⊥OB交CD于点F，根据已知可求得OE＝，AE＝3，AF＝2，AF⊥CD，然后根据AP＝，OP＝，BP＝三种情况分别讨论即可得．【详解】过点A作AE⊥OB交CD于点F，∵△AOB是等边三角形，OB＝2，∴OE＝，AE＝3，∵OC＝1，CD∥OB，∴CF＝OE＝，AF＝AE－OC＝2，AF⊥CD，∵点P在CD上，AP＝，∴PF＝＝1，且点P可以在点F左侧，也可以在点F右侧；当点P在点F左侧时，PC＝CF－PF＝－1＜2．5；当点P在点F右侧时，PC＝CF＋PF＝＋1＞2．5，舍去；当OP＝时，过P作PH⊥x轴，∴PH＝1，∴OH＝＝2，∴PC＝OH＝2＜2．5；同理当BP＝时，BH＝＝2，∴PC＝OH＝OB－BH＝2－2＜2．5，综上，PC＝－1或2或2－2，故答案为：－1或2或2－2．4．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合