第01章 乘法公式与因式分解-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第1章乘法公式与因式分解【知识衔接】————初中知识回顾————1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．2．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．————高中知识链接————我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式；（4）立方差公式；（5）三数和平方公式；（6）两数和立方公式；（7）两数差立方公式．我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：学-科网证明：因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．【经典题型】初中经典题型1．如果，那么代数式的值是（）A．6B．2C．-2D．-6【答案】A【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题是关键．2．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（）A．－1B．0C．D．1【答案】B【解析】分析：首先设a=n－2011，b=2012－n，然后根据完全平方公式得出ab的值，从而得出答案．详解：设a=n－2011，b=2012－n，∴a+b=1，，∴∴ab=1，即(n－2011)(2012－n)=1，故选B．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为1，这是一个隐含条件．3．已知：，则代数式的值是______．【答案】8【解析】分析：先将所求式子化简，然后将a2+a＝4整体代入计算即可求答案．详解：＝＝，∵，∴原式＝4+4＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查了整式的加减运算、整体思想．正确进行计算，并利用整体思想将式子的值直接代入是解题的关键．4．已知x2﹣2x﹣1=0．求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．【答案】0【解析】分析：根据整式的运算法则即可求出答案．详解：原式=x2-2x-1+x2-4x+x2-4=3x2-6x-3∵x2-2x-1=0∴原式=3（x2-2x-1）=0【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．5．把下列各式分解因式：（1）（2）（2）（4）（5）（6）6．把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．【解析】（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－byx－ay－byxx图4－11xy图5－2611图3－1－211图2－1－2xx图1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图4，得＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图5）．7．求证：四个连续正整数（其中表示正整数）的积与1的和是完全平方数．证明：（方法一）由题意，所以得证．说明：将看成整体进行配方即可．（方法二）由题意得，要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于一个式子的平方．令上式，从而求得，所以得证．高中经典题型1．计算：（1） （2）（3） （4）说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．2．已知，试确定的值．解：由题设，得比较对应项系数，得，所以．3．把分解因式．【解析】把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．4．把分解因式．【解析】按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．说明：由此例可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．5．把分解因式．【解析】把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是．6．把分解因式．【解析】先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．学科！网说明：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．如果多项式是一个完全平方式，则的值是2．如果多项式是一个完全平方式，则的值是3．4．已知，，则5．把下列各式因式分解(1) (2)(3)(4)6．把下列各式因式分解：(1) (2)————再战高中题——能力提升————B组1．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）；（2）（3）；（4）（5）；（6）2．运用立方和与立方差公式计算：（1）（2）3．计算： (1) (2) (3) (4)4．若，则的值为( ) A． B． C． D．5．若，则____________；____________．6．已知，求的值．7．展开8．计算9．计算10．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)11．已知，求代数式的值．12．证明：当为大于2的整数时，能被120整除．13．已知，求证：．第1章乘法公式与因式分解答案1．乘法公式答案A组1．2．3．；4．5．(1)，∴．6．(1)