三维旋转的表示

三位旋转的表示一、基本定义坐标系定义 大地坐标系：这是一个球坐标系。GPS常用的经纬高 地心固连坐标系：以地心为原点Oe，Z轴指向北极，X轴指向0°经线与0°纬线的交点，按右手系规则，Y轴正交与X轴的Z当地北东地系：以起飞点为原点On，X轴指向北极，Y轴垂直于X轴指向东，Z轴垂直于XOY平面机载北东地系：以飞行器质心为原点Onv，X轴指向北极，Y轴垂直于X轴指向东，Z轴垂直于XOY平面向下建立的坐标系。整个坐标系随飞行器运动。机体系：以飞行器质心为原点Ob，X轴指向机头，Y轴垂直于X轴指向飞行器右侧，Z轴垂直于XOY欧拉角定义 正欧拉： 偏航(ψ)：北东地坐标系X轴与机体系X轴在北东地坐标系XOY平面上的投影与之间的夹角。机头右偏航为正，左偏航为负。俯仰(θ)：经过一次偏航旋转后的北东地坐标系X轴与机体坐标系X轴之间的夹角。抬头为正，低头为负。其中机体坐标系已经绕Y轴旋转了θ角。横滚(ϕ)：经过两次旋转后的坐标系Z轴与机体系Z轴之间的夹角，右滚为正，左滚为负。其中机体坐标系已经绕X轴旋转了ϕ角。在一些垂直发射的飞行器中，正欧拉会出现俯仰角不唯一的情况（机体系X轴变成一个点了，与北东地坐标系XOY平面没有夹角了）。针对这种情况提出反欧拉概念。反欧拉：俯仰(θ)：机体系X轴与北东地坐标系XOY平面的夹角，抬头为正，低头为负。偏航(ψ)：北东地坐标系X轴与机体系X轴在北东地坐标系XOY平面上的投影与之间的夹角。机头右偏航为正，左偏航为负。横滚(ϕ)：机体系Z轴与通过机体坐标轴X的铅锤面之间的夹角，右滚为正，左滚为负。坐标系转化 机体坐标系角速度与欧拉角速度之间的关系设当前的旋转顺序：偏航->俯仰->横滚。最 先旋转的偏航角速度需要旋转两次才能与机体坐标系下绕z轴的角速度相等。k其中，R俯仰角速度只需旋转一次。0其中，R横滚角速度不需要旋转。p联立上式，有p综上，机体系角速度转化成欧拉角速度：p欧拉角速度转化成机体系角速度：ϕ二、旋转的三维表示欧拉角旋转矩阵飞行器在空间中的姿态通常可以用横滚，俯仰与偏航来表示。在数学上表示如下：(旋转坐标系)横滚角ϕ，绕x轴逆时针旋转：Rx这些都是单位正交阵俯仰角θ，绕y轴顺时针旋转：R偏航角ψ，绕z轴逆时针旋转：R按照偏航-俯仰-横滚的顺序从北东地坐标系旋转到机体系的旋转矩阵旋转矩阵是一个群为旋转矩阵是一个群R=从上述旋转矩阵中解算出欧拉角ϕ=arctan由于旋转矩阵Reb是单位正交矩阵，则其逆矩阵为该矩阵的转置。有R单位正交阵的定义与性质见附录。从旋转矩阵中反解出横滚角ϕ，俯仰角θ，偏航角ψ:ϕ=arctan四元数旋转矩阵同样的旋转，用四元数可以表示为：从北东地系转机体系：Vb=四元数的核表示旋转，外面的常数项表示平动为1的平移运动。故从第2行第2列开始与上面的Reϕ=arctan从机体系转北东地坐标系：Vn=四元数的核表示旋转，外面的常数项表示平动为1的平移运动。故从第2行第2列开始与上面的Rbϕ=arctan计算四元数的方法从旋转矩阵获取设旋转矩阵为 从欧拉角获取绕Z轴的旋转为偏航角ϕ，在四元数中表示为从轴角获取：轴角法轴角法在控制上的应用旋转矩阵求导与指数映射 旋转矩阵满足R 考虑到R随时间变化，则写成R 两端对时间t求导R(t) 即

R 整理得R(t)