2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.2第2课时组合的综合应用课时分层作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(六)组合的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种C[分两类：一类是2个白球有Ceq\o\al(2,6)＝15种取法，另一类是2个黑球有Ceq\o\al(2,4)＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]2．某探讨性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动须要选择3名同学参与，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120 B．84C．52 D．48C[间接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52种．]3．若将9名会员分成三组探讨问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C.eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)C[由于三组之间没有区分，且是平均分组，故共有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))，故选C.]4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参与竞赛，则不同的选派方法共有()A．56种 B．68种C．74种 D．92种D[依据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,6)种，有一个“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5)种，有两个“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]5．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的安排方案有()A．30种 B．90种C．180种 D．270种B[先将5名老师分成3组，有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),2)＝15种分法，再将3组安排到3个不同班级有Aeq\o\al(3,3)＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]二、填空题6．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．225[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225个．]7．计算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝________.165[Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝Ceq\o\al(3,11)＝eq\f(11×10×9,3×2)＝165.]8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一样的放入方法共有________种．(以数字作答)240[从10个球中任取3个，有Ceq\o\al(3,10)种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一样的方法有2种．∴共有2Ceq\o\al(3,10)种方法．即240种．]三、解答题9．依据下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．[解](1)每个小球都有4种放法，依据分步乘法计数原理，共有46＝4096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(种)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)种方法，按2,2,1,1放入有Ceq\o\al(2,4)种方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)不同放法．10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？[解](1)所作出的平面有三类．①α内1点，β内2点确定的平面，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)个．②α内2点，β内1点确定的平面，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)个．③α，β本身，有2个．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类．①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)个．故最多可作出的三棱锥有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(个)．(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．1．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且随意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种 B．20种C．10种 D．8种C[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即Ceq\o\al(3,5)＝10.]2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种B[分两种状况：①选2本画册，2本集邮册送给4位挚友有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位挚友有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]3．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路途共有________条．126[要使路途最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126种走法，故从A地到B地的最短路途共有126条．]4．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．58[先从8个顶点中任取4个的取法为Ceq\o\al(4,8)种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为Ceq\o\al(4,8)－12＝58个．]5．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中随意取出4只，试求各有多少种状况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．[解](1)从10双鞋子中选取4双，有Ceq\o\al(4,10)种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，依据分步乘法计数原理，选取种数为N＝Ceq\o\a