2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE9-1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[目标]1.会依据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则.3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则，求简洁函数的导数．[重点]基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则．[难点]函数的求导法则及其应用．学问点一基本初等函数的导数公式[填一填][答一答]1．函数y＝ex的导数与函数y＝ax的导数有何关系？提示：(ex)′＝ex是(ax)′＝axlna，当a＝e时的特别状况．2．若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为随意实数)，都有f′(x)＝ex.3．当α∈R时，公式2成立吗？提示：成立．由于(x－1)′＝(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，我们可以认为α∈R时，公式2也是成立的，但不要求证明．4．以下两个求导结果正确吗？为什么？①(3x)′＝x·3x－1；②(x4)′＝x4ln4.提示：这两个求导结果皆错．①中函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln3；②中函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.学问点二导数的运算法则[填一填]1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．[答一答]5．假如f(x)的导数为f′(x)，c为常数，那么如何求函数f(x)＋c与cf(x)的导数？提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则1、2，得[f(x)＋c]′＝f′(x)，[cf(x)]′＝cf′(x)．6．两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？提示：能推广．简洁证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．7．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)和[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′x,g′x)是否成立？提示：依据导数运算法则可知，这两个式子一般状况下是不成立的．分类记忆基本初等函数的导数公式第一类为幂函数，即y′＝(xα)′＝αxα－1(α≠0)(留意幂指数α可推广到不为零的全体实数)．对解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数；其次类为三角函数，可记正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．留意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号；第三类为指数函数，即y′＝(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)，当a＝e时，(ex)′＝ex；第四类为对数函数，即y′＝(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1，x>0)，也可记为：(logax)′＝eq\f(1,x)logae，当a＝e时，(lnx)′＝eq\f(1,x).类型一利用导数公式求导【例1】(1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝eq\r(4,x3)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.【解】(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝()′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2).(4)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必需熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则.在实施化简时，首先要留意化简的等价性，避开不必要的运算失误.给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，则y′＝2x·ln2；④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).其中正确命题的数目为(C)A．1 B．2C．3 D．4解析：仅①不正确．类型二利用导数的运算法则求函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).【解】(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(4)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式.在不宜干脆应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导.这样可以削减运算量，优化解题过程.求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(x,4x)＋ln2；(2)y＝(eq\r(x)＋2)(eq\f(1,\r(x))－2)；(3)y＝eq\f(xlnx,1＋x)；(4)y＝2xtanx.解：(1)y′＝(eq\f(x,4x))′＋(ln2)′＝eq\f(x′4x－x4x′,4x2)＝eq\f(1－xln4,4x).(3)y′＝(eq\f(xlnx,1＋x))′＝eq\f(xlnx′1＋x－xlnx1＋x′,1＋x2)＝eq\f(lnx＋1＋x,1＋x2).(4)y′＝(2x)′tanx＋2x(eq\f(sinx,cosx))′＝2tanx＋eq\f(2x,cos2x).类型三导数几何意义的应用【例3】(1)已知P，Q为抛物线y＝f(x)＝eq\f(1,2)x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．(2)已知两条曲线y＝f(x)＝sinx，y＝g(x)＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．【解析】(1)y′＝x，kPA＝f′(4)＝4，kQA＝f′(－2)＝－2.∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－8，,y＝－2x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4.))∴A(1，－4)．(2)解：设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝f′(x0)＝cosx0，k2＝g′(x0)＝－sinx0，要使两切线垂直，必需k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不行能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．【答案】(1)(1，－4)(2)见解析依据导数的几何意义，可干脆得到曲线上某一点处的切线的斜率.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后依据已知条件求出切点坐标.已知函数y＝kx是曲线y＝f(x)＝lnx的一条切线，则k＝eq\f(1,e).解析：设切点(x0，y0)，由题意得：f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝k，①又y0＝kx0，②而且y0＝lnx0，③由①②③可得：x0＝e，y0＝1，则k＝eq\f(1,e).导数运算法则的应用【例4】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．【思路分析】【解】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0,12a＋4b＋c＝0,a＋b＋c＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－9,c＝12)).故f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.【解后反思】已知一个详细函数，我们可以用导数公式和运算法则求函数的导数；对于含有参数的函数，我们可以通过已知的某一个(或多个)点的导数值或函数值反过来确定参数或参数间的关系，此即逆向思维的体现．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(a,x)(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)的导数为F′(x)．(1)解不等式F′(x)<0；(2)若函数y＝F(x)(x∈(0,3])在随意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求实数a的最小值．解：(1)因为F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(x>0)，所以F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)．因为a>0，由F′(x)<0⇒0<x<a，所以不等式F′(x)<0的解集为(0，a)．(2)F′(x)＝eq\f(x－a,x2)(0<x≤3)，k＝F′(x0)＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)(0<x0≤3)恒成立⇔a≥(－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0)max，当x0＝1时，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取得最大值eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2)，所以amin＝eq\f(1,2).1．若f(x)＝coseq\f(π,4)，则f′(x)为(C)A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)解析：f(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.2．若f(x)＝xlnx，且f′(x0)＝2，则x0＝(B)A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2解析：∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由已知得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.3．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为2x－y＋1＝0.解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝3×12－1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.4．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝eq\f(10,3).解析：f′(x)＝3ax2＋6x，则3a－6＝4，故a＝eq\f(10,3).5．求下列函数的导数：(1)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)；(2)f(x)＝x2＋sineq\f(x,