山东专用2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第八讲曲线与方程学案含解析

PAGE1-第八讲曲线与方程ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测学问梳理学问点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．学问点二求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又须要相互转化．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论错误的是(ABCD)A．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线B．到两条相互垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2C．y＝kx与x＝eq\f(1,k)y表示同始终线D．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的题组二走进教材2．(必修2P37T3)已知点F(eq\f(1,4)，0)，直线l：x＝－eq\f(1,4)，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线[解析]由已知|MF|＝|MB|，依据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．题组三考题再现3．(2024·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(B)A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0,0)[解析]圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故依据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B．4．(2024·长春模拟)如图所示，A是圆O内肯定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(B)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[解析]由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．5．(2024·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36(y≠0)__.[解析]设A(x，y)，由题意可知D(eq\f(x,2)，eq\f(y,2))．又∵|CD|＝3，∴(eq\f(x,2)－5)2＋(eq\f(y,2))2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一曲线与方程——自主练透例1(多选题)关于x，y的方程eq\f(x2,m2＋2)＋eq\f(y2,3m2－2)＝1，(其中m2≠eq\f(2,3))对应的曲线可能是(ABCD)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．圆[解析]由题，若m2＋2>3m2－2，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2)，3m2－2>0，解得m<－eq\f(\r(6),3)或m>eq\f(\r(6),3)，则当x∈(－eq\r(2)，－eq\f(\r(6),3))∪(eq\f(\r(6),3)，eq\r(2))时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若3m2－2>m2＋2，解得m<－eq\r(2)或m>eq\r(2)，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若3m2－2<0，解得－eq\f(\r(6),3)<m<eq\f(\r(6),3)，此时曲线是焦点在x轴上的双曲线，C正确；当m2＝2时，方程为x2＋y2＝4，所以D正确．故选ABCD．〔变式训练1〕(多选题)(2024·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(AD)A．y2＝4xB．x2＝4yC．eq\f(x2,cos2θ)＋eq\f(y2,sin2θ)＝1(0<θ<eq\f(π,2))D．eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1(0<θ<eq\f(π,2))[解析]y2＝4x的焦点坐标为(1,0)；x2＝4y的焦点坐标为(0,1)；当θ＝eq\f(π,4)时，sin2θ＝cos2θ＝eq\f(1,2)，eq\f(x2,cos2θ)＋eq\f(y2,sin2θ)＝1表示圆；双曲线eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1(0<θ<eq\f(π,2))的焦点在x轴上，且c＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD．考点二定义法求轨迹方程——自主练透例2(1)(2024·沈阳模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(C)A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y(2)(2024·福州模拟)已知圆M：(x＋eq\r(5))2＋y2＝36，定点N(eq\r(5)，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满意eq\o(NP,\s\up6(→))＝2eq\o(NQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，则点G的轨迹方程是(A)A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,31)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,36)－eq\f(y2,31)＝1(3)(2024·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)__.[解析](1)由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.故选C．(2)由eq\o(NP,\s\up6(→))＝2eq\o(NQ,\s\up6(→))，eq\o(GQ,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2eq\r(5)，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2eq\r(5)，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，故选A．(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，且圆M半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，∴|MC2|－|MC1|＝2.即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≤－2)__.[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨道方程为__eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)__.[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)__.[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1__.名师点拨☞定义法求轨迹方程及其留意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则依据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，假如不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．〔变式训练2〕(1)动圆M经过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(B)A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x(2)(多选题)(2024·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是(AB)A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线[解析](1)双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M的轨迹是以F为焦点、原点为顶点、对称轴为x轴的抛物线，故其方程为y2＝－8x.故选B．(2)如图两根电杆AB，CD，①当|AB|＝|CD|时，∵∠BPA＝∠CPC，∴|PA|＝|PC|，∴P的轨迹是AC的中垂线，②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ>0)时，由∠BPA＝∠CPC知Rt△ABP∽Rt△CDP，∴eq\f(|AP|,|CP|)＝eq\f(|AB|,|CD|)＝λ，以AC所在直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，不记记A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，则eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝λ，即(x－eq\f(λ2＋1,λ2－1))2＋y2＝(eq\f(2λ,λ2－1))2，轨迹为圆，故选AB．考点三干脆法求轨迹方程——师生共研例3已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A，其弦AB的中点D恰好落在x轴上．(1)求点B的轨迹E的方程；(2)过直线y＝－1上一点P作曲线E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线MN过定点．[解析](1)设B(x，y)，y>0，则AB的中点D(eq\f(x,2)，0)，∵C(0,1)，连接DC，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－eq\f(x,2)，1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\f(x,2)，y)．在⊙C中，DC⊥DB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，∴－eq\f(x2,4)＋y＝0，即x2＝4y(y>0)．∴点B的轨迹E的方程为x2＝4y(y>0)．(2)由(1)可得曲线E的方程为x2＝4y(y>0)．设P(t，－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵y＝eq\f(x2,4)，∴y′＝eq\f(x,2)，∴过点M，N的切线方程分别为y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，y－y2＝eq\f(x2,2)(x－x2)，由4y1＝xeq\o\al(2,1)，4y2＝xeq\o\al(2,2)，上述切线方程可化为2(y＋y1)＝x1x,2(y＋y2)＝x2x，∵点P在这两条切线上，∴2(y1－1)＝tx1,2(y2－1)＝tx2，即直线MN的方程为2(y－1)＝tx，故直线MN过定点C(0,1)．名师点拨☞干脆法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．干脆法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要留意“翻译”的等价性．(4)运用干脆法应留意的问题①在用干脆法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最终的验证可以省略．〔变式训练3〕(2024·湖南省湘潭市模拟)设D是圆O：x2＋y2＝16上的随意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满意2|EQ|＝eq\r(3)|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．[解析](1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|＝eq\r(3)|ED|，点Q在直线m上，所以x0＝x，|y0|＝eq\f(2,\r(3))|y|.①因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝16.②将①式代入②式，得曲线C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由题意可知l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1,y＝kx－2))，得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝eq\f(16k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(16k2－3,4k2＋3).③记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝eq\f(y1－3,x1－2)，k2＝eq\f(y2－3,x2－2)，k3＝eq\f(6k－3,8－2)＝k－eq\f(1,2).因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝eq\f(y1－3,x1－2)＋eq\f(y2－3,x2－2)＝eq\f(y1,x1－2)＋eq\f(y2,x2－2)－3(eq\f(1,x1－2)＋eq\f(1,x2－2))＝2k－3×eq\f(x1＋x2－4,x1x2－2x1＋x2＋4).④把③代入④，得k1＋k2＝2k－3×eq\f(\f(16k2,4k2＋3)－4,\f(16k2－3,4k2＋3)－\f(32k2,4k2＋3)＋4)＝2k－1，又k3＝k－eq\f(1,2)，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．考点四代入法(相关点法)求轨迹方程——多维探究例4(2024·泉州模拟)在直角坐标系xOy中，长为eq\r(2)＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up6(→)).记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．[解析](1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．由eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up6(→))，得(x－m，y)＝eq\r(2)(－x，n－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)n－y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\r(2)＋1x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，))由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)＋1，得m2＋n2＝(eq\r(2)＋1)2，所以(eq\r(2)＋1)2x2＋eq\f(\r(2)＋12,2)y2＝(eq\r(2)＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq\f(4,k2＋2).由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋eq\f(y1＋y22,2)＝1，即eq\f(4k2,k2＋22)＋eq\f(8,k2＋22)＝1，解得k2＝2.此时直线l的方程为y＝±eq\r(2)x＋1.名师点拨☞代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的改变而改变；③在改变过程中P和M满意肯定的规律．(2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝fx，y，,y1＝gx，y；))③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；④检验：留意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2024·河北石家庄模拟)已知点Q在椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1上，点P满意eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(D)A．圆 B．抛物线C．双曲线 D．椭圆[解析]设P(x，y)，Q(x0，y0)，椭圆C的左焦点F1(－2,0)，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x－2,2)，,y0＝\f(y,2)))又eq\f(x\o\al(2,0),16)＋eq\f(y\o\al(2,0),10)＝1，∴eq\f(x－22,64)＋eq\f(y2,40)＝1，故选D．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升参数法求轨迹方程例5(2024·山西临汾)已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的上、下顶点分别为M、N，点P在椭圆C外，直线PM交椭圆与另一点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是(D)A．y＝x2＋1(x≠0) B．y＝x2＋3(x≠0)C．y2－eq\f(x2,2)＝1(y>0，x≠0) D．y＝3(x≠0)[解析]设P的坐标为(x，y)，A的坐标为(m，n)，且m≠0，由题意可知M(0,1)，N(0，－1)，∴kPN＝eq\f(y＋1,x)，kAN＝eq\f(n＋1,m)，kPM＝eq\f(y－1,x)，kAM＝eq\f(n－1,m)，∵PN⊥NA，∴－eq\f(x,y＋1)＝eq\f(n＋1,m).①又知点A(m，n)在直线PM上，∴kPM＝kAM，即eq\f(y－1,x