2024-2025学年人教版九年级数学上册同步练习：与旋转有关的计算（30题）（原卷版）

专题第01讲与旋转有关的计算

1.（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE,将BE绕点B逆时针

旋转60°得到80,连接。E、AD.

（1）求证：AD=CE；

（2）若BC=8cm,BE=1cm,求△ADE的周长.

2.（2023春•北林区期末）如图，在正方形A8C。中，E,尸是对角线3D上两点，且NEAP=45°,将4

A。尸绕点A顺时针旋转90°后，得到△A2。，连接EQ.

（1）求证：EF=EQ；

（2）求证：EF2=BE2+DF2.

3.（2022秋•同心县期末）如图，△ABC是等边三角形，点。在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE.

(1)求证：是等边三角形；

(2)若A8=8,BD=7,求△ADE的周长.

4.(2023春•清远期末)如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位

置，使得/CAF=/BAE,连接EF,EF与AC交于点G.

(1)求证：BC=EF；

(2)若/A8C=64°,ZACB=25°,求NAGE的度数.

5.(2023春•白银期中)如图，在四边形ABC。中，ZBCZ)=120°,BC=CD,AC±BD,点E在对角线

E

F

BC

BD1.,将线段CE绕点C顺时针旋转120°,得到线段C凡连接。尸.

(1)求证：BE=DF；

(2)若EB=EC,求证：AC1CF.

6.(2023春•南城县期中)如图，点。是等边三角形42c内一点，将C。绕点C顺时针旋转60°得到CD,

连接。£),AO,BO,AD.

(1)求证：BO=AD-,

(2)若。4=10,08=8,OC=6,求/80C的度数.

7.(2023春•罗源县校级期中)如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△OEC,再将线段。E绕点

。顺时针旋转90°得到。G,连接BE、BG、AD,且4C=4.

(1)若/A8C=135°.B、E、。三点在同一条直线上，求BG的长；

(2)若/A8C=90°,AC=2CE,点尸在边A8上，求线段尸。的最小值.

8.(2023春•成武县期中)己知AB^AC,AB>BC.

(1)如图(1),CB平分NACO,求证：四边形A8£)C是菱形；

(2)如图(2),将(1)中的绕点C逆时针旋转(旋转角小于NA4C),BC,DE的延长线相交

于点R用等式表示NACE与NEPC之间的数量关系，并证明.

9.(2023春•九江期末)如图，在RtZXABC中，ZBCA=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,

分别延长与皮）交于点R连接AF、CE.

（1）求证：以平分/CFE；

（2）若S四边形ABFD=12,AC—4,求CE的长.

10.（2023春•叶胎县期末）如图，将矩形ABC。绕点C旋转得到矩形PECG,点E在上，延长即交

FG于点"连接BE、CH.

（1）四边形2E8C是怎样的特殊四边形？证明你的结论；

（2）若BC长为2,则AB的长为时，四边形BEHC

为菱形.

11.（2023春•平山县期末）如图，PQ//MN,A、B分别为直线MN、PQ上两点，且NBAN=45°,若射线

AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点8逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕

点A、点8不停地旋转，若射线AM转动的速度是/秒，射线8。转动的速度是6°/秒，且。、b满足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向)

⑴a—,b—；

(2)若射线AM、射线8。同时旋转，间至少旋转多少秒时，射线AM、射线8。互相垂直.

(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线2。才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之

前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？

管用图

12.(2023春•振兴区校级期中)如图(1),在△ABC中，4B=AC=2,ZABC=30°,射线于点

C,动点。从点8出发沿射线方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为f秒；

（1）以点A为旋转中心，将逆时针旋转120°,得到线段AE,连接BE,8E是否存在最小值，不存

在，则说明理由，存在则求出BE最小时的“直及8E的最小值；

（2）若射线8N为NA8M的平分线，当点。从B点出发时，点厂从点A向8点与点。同时同速运动（0

13.（2023春•迁安市期中）老师在黑板上出示题目:

如图1,在△ABC中，/A=32°,NC=

55°,线段CB'与C8边重合，CB'从现

在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周

回到原来的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有这样的位置，请画出示意图，并

求出的度数，如果没有说明理由

（1）（如图2）嘉嘉认为：有这样一个位置，使得CB'〃48,如图.请你按照嘉嘉的做法，求出N8C8'

的度数.

（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得CB'//AB你是否同意琪琪的

说法？如果同意，请画出图形，并求出此时的度数；如果不同意，请说明理由.

图1图2图3

14.（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题:

（1）如图①等边△A8C内有一点尸，若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/APB的度数.

为了解决本题，我们可以将△A8P绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACPg△A8P,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段以、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/4尸8=

（2）基本运用

图②图③

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②,ZVIBC中，/CAB=90°,AB=AC,E1"为8c上的点且NEAP=45°,^iiE：£F2=B£2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，点。为Rt^ABC内一点，连接A。，BO,

CO,且/AOC=/COB=/BQA=12(r,求OA+OB+OC的值.

15.（2023春•清江浦区期末）如图1,MN〃P。，点A在直线上，点8在直线P。上，射线AC绕点A

顺时针从射线AM旋转至射线AN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便

立即回转：射线AC、射线8。不停地来回旋转.若射线AC转动的速度是a度/秒，射线8。转动的速度

是6度/秒，且。、b是方程。+36=6的正整数解.

图2备用图

(1)a=,b=；

(2)如图2,若/BAN=45°,两条射线同时转动，在射线AC到达AN之前，若两条射线交于点E,过

E作EFJ_AC交尸。于尸，若/BEE=20°,求/BAC的度数；

(3)若射线2。先转动30秒，射线AC才开始转动，在射线BO到达BQ之前，射线AC转动几秒，射

线AC与射线8。互相平行？

16.(2023春•蒸湘区期末)如图，有一副直角三角板如图1放置(其中/。=45°,ZC=30°),PA,PB

与直线MN重合，且三角板B1C,三角板尸8。均可以绕点P逆时针旋转.

（1）在图1中，ZDPC=；

（2）①如图2,若三角板尸8。保持不动，三角板必C绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三

角板B4c就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC〃DB成立;

②如图3,在图1基础上，若三角板E4C的边外从PN处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3。/秒，同时

三角板尸8。的边PB从尸M处开始绕点尸逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与位置重合时，

两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？

17.（2023春•雄县期中）教材中有这样一道题：如图1,四边形A8CZ）是正方形，G是BC上的任意一点,

OE_LAG于点E,BF//DE,且交AG于点尸.求证：AF-BF=EF.

(1)若图1中的点G为C8延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时AF,BF,EE之间

的数量关系，并证明你的结论.

(2)将图1中的△A8P绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点尸的对应点为点尸，如图3

所示，若正方形的边长为3,求EF的长度.

18.(2023春•长垣市期末)综合与实践

数学社团的同学以“两条平行线AB,C£＞和一块含45°角的直角三角尺EFG(/EPG=90°)”为主题

开展数学活动，已知点E,尸不可能同时落在直线A8和CO之间.

探究：（1）如图1,把三角尺的45°角的顶点E,G分别放在AB,C£）±,若/BEG=150。，求NFGC

的度数；

类比：（2）如图2,把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在和C。之间，

且A8与所所夹锐角为25°,求NPGC的度数；

迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在C。上，且保持不动，旋转三角尺，若存在/R7C=5NQGE（/

DGE<45°）,直接写出射线GP与AB所夹锐角的度数.

19.（2023春•阳城县期末）如图1,将一副直角三角板放在同一条直线上，其中/OM/=30°,ZOCD

=45。.图1图2图3

（1）观察猜想：将图1中的三角尺。8沿A3的方向平移至图2的位置，使得点。与点N重合，CD

与相交于点E,则NCEN=；

（2）操作探究：将图1中的三角尺。8绕点。按顺时针方向旋转，使一边。。在/WON的内部，如

图3,且OD恰好平分/MON,CD与NM相交于点E,求NCEN的度数；

（3）深化拓展：将图1中的三角尺。。绕点。按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC

旋转多少度时，边C。恰好与边平行？

20.（2023春•岱岳区期末）知识探究：如图1,点E是正方形A8C。对角线AC上任意一点，以点E为直

角顶点的直角△E/G两边EREG分别角与A。，A8相交于M点，N点.当EfUA。时，请探究与

EN的数量关系，并说明理由；

拓展探究：当△£人?绕点E顺时针旋转到点M与点。重合时，如图2,请探究与EN的数量关系,

并说明理由；

21.(2023春•顺平县期末)如图，正方形ABC。的对角线相交于点。，点。又是正方形EFG。的一个顶点,

且这两个正方形边长相等.OE与BC相交于点M,OG与CD相交于点N.

(1)求证：AOBM咨AOCN；

(2)嘉琪说：当正方形EFGO绕点。转动，且OE与8c垂直时，四边形OMCN的面积最小.你同意

嘉琪的说法吗？请说明理由；

(3)若正方形ABC。的边长为历用含。的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为.

22.(2023春•沈丘县期末)如图，点0在直线AB上，OCLAB,中，ZODE=90°,/EOD=60°,

先将△ODE一边与OC重合，然后绕点。顺时针方向旋转，当与08重合时停止旋转.

(1)当OD在。1与0c之间，且/。。。=20°时，则NAOE=；

(2)试探索：在△ODE旋转过程中，NA。。与/COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差

值；若变化，请说明理由；

(3)在△ODE的旋转过程中，若NAOE=】NCOD,试求/AOE的大小.

23.(2023春•东昌府区期末)在等边三角形ABC的内部有一点。，连接CD,以点8为中心，把

逆时针旋转630°得到m'，连接A。'，DD'.以点C为中心，把C。顺时针旋转60°得到8",

连接4。"，DD"

(1)判断和NO2C的大小关系，并说明理由;

BC

(2)求证：D'A=DC；

(3)求证：四边形AUD。”是平行四边形.

24.(2022秋•河口区期末)感知：如图①，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE=9Q°,

点3在线段上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE,不需证明.

探究：如图②，将绕点A逆时针旋转a(0<a<90°),连结2。和CE,此时3D=CE是否依然

成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.应用：如图③，当△?1£>£绕点A逆时针旋转，使

得点。落在8c的延长线上，连结CE.求：

①乙4CE的度数；

②若A8=AC=2、/^,CD=2,则线段。E的长是多少？

25.(2023春•内乡县期末)将一副直角三角板如图1,摆放在直线上(直角三角板A8C和直角三角板

EDC,ZEDC^90°,/DEC=6Q°,ZABC=90°,ZBAC=45°),保持三角板EDC不动，将三角

板ABC绕点C以每秒5。的速度顺时针旋转，旋转时间为/秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.

(1)如图2,当AC为/。CE的角平分线时，求此时f的值；

(2)当AC旋转至/OCE的内部时，求/OC4与/EC8的数量关系；

(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时f等于(直

接写出答案即可).

26.(2023春•衡山县期末)一副三角板如图1摆放，ZC=ZDFE=90°,ZB=30°,NE=45°,点尸

在BC上，点A在。尸上，且AF平分NC4B,现将三角板。FE绕点/以每秒5°的速度顺时针旋转(当

点。落在射线上时停止旋转)，设旋转时间为f秒.

(1)当片秒时，DE//AB；当片秒时，DE±AB；

(2)在旋转过程中，。尸与AB的交点记为P,如图2,若△APP有两个内角相等，求t的值；

(3)当边QE与边A3、8c分别交于点M、N时，如图3,连接AE,设/8AE=x°,ZAED=ya,Z

DFB=z0,试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

27.(2023春•太原期中)如图，己知△ABC中，AB^AC,ZBAC=100°,点。是平面内一点，将线段

绕点A按逆时针方向旋转100。得到线段AE.

(1)当点。在△ABC内部时，连接8。，CE.请判断线段8。与CE的数量关系，并说明理由；

(2)请从A,2两题中任选一题作答.

A.当点。在△ABC内部时，若直线DE恰好经过点3,直接写出/8EC的度数.

B.当点。在△ABC外部时，若直线DE恰好经过点C,直接写出N2DC的度数.

AA

E

Bz---------

备用图

28.(2023春•遂平县期末)如图1,将一副三角板的直角重合放置，其中/A=30°,ZCDE=45°.

(1)如图1,求NEEB的度数；

(2)若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转.

①当旋转至如图2所示位置时，恰