2024-2025学年人教版八年级数学上册复习：等边三角形的性质与判定（解析版）

特训13等边三角形的性质与判定

【特训过关】

1.AZBC中，AB=AC=2,ZB=60°,则8C=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A.

【解析】解：：48=2。=2,

ZC=Z5=60°,

...△4BC为等边三角形，

BC=AB=2.

故选：A.

2.如图，在AZBC中，AB=AC,ZC=30°,ABLAD,AD=4cm,则8C=()

C.12cmD.14cm

【答案】C.

【解析】解：♦••4B=ZC，ZC=30°,

NB=NC=30°,

：.ABAC=180°-ZB-ZC=120°,

ABLAD,

：./BAD=90°,

ZDAC=ZBAC-ZBAD=120°-90°=30°zc,

AD=DC,

AD=4cm,

DC=4cm,

在中，ZB=30°,

BD=2AD=8cm,

：.BC=BD+DC=8+4=12(cm),

故选：c.

3.如图，直线。〃b,等边三角形48c的顶点C在直线6上，Z1=40°,则N2的度数为（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

【答案】C.

【解析】解：设ZC与直线。交于。，4B与直线。交于E,如图所示：

•.•直线。〃b,Z1=40°,

NADE=Z1=40°,

•••△45C为等边三角形，

?.N4=60°,

N2=180°-+ZADE）=180°-（60°+40°）=80°.

故选：C.

4.若一个三角形的最小内角为60。，则下列判断中正确的有（）

（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状

不能确定；（5）不存在这样的三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C.

【解析】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三

个角均为60度，即是一个等边三角形；

其最大角不大于90度，所以是锐角三角形；

等边三角形是特殊的等腰三角形.

所以前三项正确，即正确有三个.

故选：C.

5.如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3,则六边形的周长为（）

【答案】A.

【解析】解：设等边△NBC的边长为服

•••9个三角形都是等边三角形，

NA=AC=AB=BN=BC=a,CD=CE=DE=DF=a+3,GF=WF=WG=a+6,

MN=ME=NE=a+9.

'：NE=NA+AE,

a+9=2a.

a=9.

拼成的六边形的周长为：

NB+8C+CD+DF+GF+MG+MN=a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9=7a+27=90.

故选：A.

6.如图，已知NMON=30。，点4,A2,4，…在射线ON上，点与，B2,…在射线（W上,

△）

△4为4,…均为等边三角形，若。4=2,则△4线4的边长为（）

A.16B.32C.64D.128

【答案】c.

【解析】解：•••△45/2为等边三角形，

AB{A{A2=60°,/圈=44，

・•・乙4]用。=-AMON=60°-30°=30°,

ABXAXA2

・・・乙440=AMON,

A[B]=OAX,

/.A]B、=44=。4,

同理可得过与=44==2。4,

2

A3B3=44—。4—2OA2=2-OA{,

A4B4=44—04=2。4~23•。4,

；・4A=44M=2104=2〃，

的边长：=26=64,

故选：C.

7.如图，△48C中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点/、点2同时出发，沿三角形的

边运动，已知点〃的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达4点时，M、N同时停止运

动.点

M、N运动（）s后，可得到等边

【答案】C.

【解析】解：设点M、N运动xs后，可得到等边

/.AM=xcm,AN=AB-BN=（12-2x）cm,

•••△48。是等边三角形，

NZ=60°,

=时，AZMM是等边三角形，

x=12-2x,

x=4,

...点四、N运动4s后，可得到等边A/A/N.

故选：C.

8.如图，点P在NMON内，点P关于（W,ON的对称点分别为£,F,若EF=OP,则NMCW的度

数是（）

F

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B.

【解析】解：如图，连接。£,OF.

F

•..点尸关于（W,ON的对称点分别为£,F,

：.OP=OE=OF,ZPOM=ZEOM,ZPON=ZNOF,

：.ZEOF=2ZMON,

EF=OP,

OE=OP=EF,

.•.△。£尸是等边三角形,

ZEOF=60°,

/.AMON=30°,

故选：B.

9.如图，已知△NBC与ACDE都是等边三角形，点2、C、。在同一条直线上，与8E相交于点G,

与NC相交于点凡幺。与CE相交于点”，连接口.给出下列结论：①AACD'BCE；

@ZAGB=60°；③BF=AH；④ACW是等边三角形.其中正确结论的个数是（）

【答案】D.

【解析】解：•••△48C与ACOE是等边三角形，

ABCA=ADCE=60°,AC=BC,CE=CD,

：.ZBCE=ZACD,

在ABCE和△ZCD中，

BC=AC

<NBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS),故①正确；

ABCE'ACD,

ZCBF=ZCAH.

,/ZBFC=NAFG,

AZAGB=ZACB=60°,故②正确；

在ABCE和中，

"NCBF=ZCAH

<BC=AC,

ZBCF=ZACH

/.ABCF^AACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正确;

*/CF=CH,ZACH=60°,

.••△CW是等边三角形；故④正确.

故选：D.

10.如图，在△48C中，NBZC和N48C的平分线ZE,RF相交于点O,AE交BC于E,BF交

AC

于尸，过点。作0。，8c于。，下列三个结论：①NZO5=90°+；NC；②当NC=60°时，

AF+BE=AB；③若0。=。，AB+BC+CA=2b,则其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】C.

【解析】解：；N&4C和ZABC的平分线相交于点。

ZOBA=-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

/.ZAOB=1800-ZOBA-ZOAB=180。」ZCBA--ZCAB=180。」(180。-NC)=90。+工NC,

222V'2

①正确；

•••ZC=60°,

：.ZBAC+ZABC=120°,

AE,BF分别是ABAC与AABC的平分线，

ZOAB+ZOBA=^(ZBAC+/ABC)=60°,

/.ZAOB=120°,

ZAOF=60°,

ZBOE=60°,

如图，在48上取一点〃，使BH=BE,

•；AF是N4BC的角平分线，

/.ZHBO=ZEBO,

在&HBO和AEBO中，

BH=BE

<ZHBO=ZEBO,

BO=BO

：.AHBO沿AEBO(SAS),

NBOH=NBOE=60°,

ZAOH=180°-60°—60°=60°,

ZAOH=ZAOF,

在AHAO和&FAO中,

'NHAO=NFAO

<AO=AO,

ZAOH=ZAOF

：.AHAO^AFAO(ASA),

：.AF=AH,

：.AB=BH+AH=BE+AF,故②正确;

作。于H,。河，45于〃;

VNBAC和ZABC的平分线相交于点O,

...点。在NC的平分线上,

/.OH=OM=OD=a,

•・・AB+AC+BC=2b,

：.S^3C=^xABxOM+^xACxOH+^xBCxOD=^(AB+AC+BC)-a=ab,③正确.

故选：C.

11.下列三角形：①有两个角等于60。；②有一个角等于60。的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰

上

的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的是.

【答案】①②③.

【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；

②这是等边三角形的判定2,故正确；

③根据等边三角形三线合一性质，故正确.

所以能判定是等边三角形的是①②③.

故答案为：①②③.

12.如图，△NBC是等边三角形，点。、E、尸分别在28、BC、AC±,若N1=N2,ADFE=80°,

KJZEDF=度.

【答案】40.

【解析】解：,••△45C是等边三角形,

ZB=60°,

•••/DEC是△QBE的外角，

/./DEC=NB+N1,

即NDEE+N2=N8+N1,

*/Zl=Z2,

ZDEF=4B=60°,

•/ADFE=80°,

ZEDF=180°-ZDEF-ZDFE=180°-60°-80°=40°,

故答案为：40.

13.如图，在等边△48C中，AB=6,8。平分N48C,点E在5c的延长线上，且NE=30°,则

CE

的长为_______

【答案】3.

【解析】解：是等边三角形，AB=6,BD平分NABC,

：.AD^CD=-AC=-AB=3,ZACB=60°,

22

,/NE=30°,

ZCDE=ZACB—NE=30°,

/.NE=ZCDE=30°,

CE=CD=3.

故答案为：3.

14.如图所示，过等边的顶点/,B,C依次作48,BC,C4的垂线MG,MN,NG,三条垂

线围成AMNG,已知CG=4cm,则AMNG的周长是cm.

【答案】36.

【解析】解：•••△4SC为等边三角形，

/.AB=AC,ABAC=ZABC=60°,

VACLGN,BAIMG,CBLMN,

：.ZACG=ZBAM=ZCBN=90°,

：.ZCAG=90°-ZBAC=30°,ZABM=90°-ZABC=30°,

：.AABM^ACAG(ASA),

/.MA=CG,

即MG=W+ZG=CG+ZG,

•••△45C为等边三角形，

ABAC=60°,

VACLGN,BAIMG,

：.ZACG=ZBAM=90°,

ZCAG=90°-ZBAC=30°.

/.ZM=90°-ZABM=60°,

同理：ZN=ZG=60°,

ANNG为等边三角形，

,/ZCAG=30°,

AG=ICG=8cm,

'：MG=CG+AG=12cm,

所以AMNG的周长=3MG=3x12=36cm,

故答案为：36.

15.如图，己知NMZN=60°,AB=6,依据尺规作图的痕迹可求出5。的长为

【解析】解：由作图可知4B=ZC,

,/ABAC=60°,

.•.△N5C是等边三角形，

BC=AB=6,

,/AD平分N5ZC,

：.BD=CD=-BC=3.

2

故答案为:3.

16.如图，六边形48CDEP的六个内角都相等.若4B=2,BC=CD=4,DE=3,则这个六边形的

周长为.

【解析】解：如图，分别作边48、CD、EE的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P.

•：六边形ABCDEF的六个角都是120。，

六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.

；.“AHF、&BGC、ADPE、AG//。都是等边三角形.

GC=BC=4,DP=DE=3.

：.GH=GP=GC+CD+DP=4+4+3=11,FA=HA=GH-AB-BG=\\-2-4=5,

EF=PH-HF-EP=l1-5-3=3.

.•.六边形的周长为2+4+4+3+5+3=21.

故答案为：21.

H

/、

17.边长为。的等边三角形，记为第1个等边三角形.取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形,

记为第1个正六边形.取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个

等边三角形.取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按

此方式依次操作.则第6个正六边形的边长是.

【答案】—a.

96

【解析】解：如图，延长N8与第1个等边三角形的边相交于点。,

为中点，

.•.第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的工，

2

:正六边形的边长是相应等边三角形边长的工，

3

.•.下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的工，

2

根据题意，第一个正六边形的边长是，

3

所以，第6个正六边形的边长：-axW=—a.

3（2J96

故答案为：—a.

18.如图，已知ANBC是等边三角形，BD=CD,£是边ZC上的点，DE//AB,与8c交于点足下面

四个结论：①连结4D,则2。垂直平分线段5C；②ACEE是等边三角形；③若48=8,CE=2,

则

CF=4；④若NC5£>=40。，则NEZX?=10。，其中所有正确结论的序号是

【答案］①②.

【解析】解：如图，连接/£),

•••△N5C是等边三角形，

AB=AC,ZABC=ZCAB=ZECF=60°,

BD=CD,

...点/、。都在线段5c的垂直平分线上，

；.幺。垂直平分线段BC；故①正确；

DE//AB,

：.ZABC=ZEFC=60°,ZCEF=ZCAB=60°,

...△CEE是等边三角形，故②正确；

•••△CEE是等边三角形，CE=2,

：.CF=2,故③错误，

BD=CD,ZCBD=40°,

ZDCB=ZDBC=40°,

•/ZEFC=60°,

ZCDE=ZEFC-ZDCB=60°-40°=20°,故④错误；

故答案为：①②.

19.如图，在AZBC中，8。是高，点。是NC边的中点，点£在3C边的延长线上，ED的延长线交

AB

于点足且若NE=30°.

(1)求证：△NBC是等边三角形；

(2)请判断线段/。与CE的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=CE,理由见解析.

【解析】（1）证明：•••AD_LZC,点。是ZC边的中点,

...8。垂直平分ZC,

/.AB=CB,

'：EFLAB,

：.ZABC+ZE=90°,

,/NE=30°,

ZABC=60°,

.•.△48C是等边三角形；

（2）解：AD=CE,理由如下：

•••△48C是等边三角形，

/.ZACB=60°,

•：ZACB=ZE+ZCDE,ZE=30°,

/.ZCDE=30°=ZE,

/.CD=CE,

:点。是ZC边的中点，

AD=CD,

AD=CE.

20.如图，点O是等边AABC内一点，。是△45C外的一点，ZAOB=110°,ZBOC=a,

△BOCAADC,

ZOCD=60°,连接00.

(1)求证：AOCQ是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断AZOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△ZOD是等腰三角形.

【答案】（1）证明见解析；（2）△Z。。是直角三角形，理由见解析；当a=110°或125°或140°时,

△ZOD是等腰三角形.

【解析】证明：（1）VABOC^ADC,

：.OC=DC,

,/ZOCD=60°,

AOC。是等边三角形.

解：（2）△NOD是直角三角形.理由如下：

•••△OCD是等边三角形，

ZODC=60°,

VABOC^AADC,a=150°,

ZADC=ZBOC=a=150°,

ZADO=ZADC-NODC=150°-60°=90°,

是直角三角形.

（3）：△OCT）是等边三角形，

?.ZCOD=ZODC=60°.

'：ZAOB=110°,NADC=NBOC=a,

ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°—110°—a—60°190。-a,

ZADO=ZADC-ZODC=a-60°,

ZOAD=180°-ZAOD—ZADO=180°-(190°-«)-(«-60°)=50°.

①当时，190°—a=a—60°,

a-125°.

②当=时，190°—a=50°,

a=140°.

③当=时，

a—60°=50°,

.,.(7=110°.

综上所述：当a=110°或125°或140。时，△ZOQ是等腰三角形.

21.在AZBC中，AB=AC,ZBAC=120°,ADLBC,垂足为G,且40=45.AEDF=60°,

其两边分别交边AB,NC于点E,F.

(1)求证：AZB。是等边三角形；

(2)求证：BE=AF.

【答案】证明见解析.

【解析】(1)证明：：A8=NC,ADLBC,

：./BAD=ZDAC=^-ZBAC,

2

•：ABAC=no°,

：.ZBAD=ZDAC=-xl20°=60°,

2

,/AD=AB,

...△46。是等边三角形；

(2)证明：•••△25。是等边三角形，

/.ZABD=NADB=60°,BD=AD,

•••ZEDF=60°,

ZADB=ZEDF,

NADB-ZADE=NEDF-AADE,

/.ZBDE=ZADF,

在ABDE与"DF中，

"NDBE=ZDAF

<BD=AD,

ZBDE=ZADF

：.ABDE'ADF(ASA),

：.BE=AF.

22.如图，过等边A48C的边48上一点尸，作尸EJ.ZC于E,0为5c延长线上一点，且尸幺=C0,

连接尸。交ZC边于D

(1)求证：PD=DQ；

(2)若AZBC的边长为1,求的长.

【解析】(1)证明:

如图,

A

E

/---------\

过P做PF//BC交ZC于点F,

：.ZAFP=ZACB,ZFPD=ZQ,ZPFD=ZQCD,

•••△48C为等边三角形，

NZ=NACB=60°,

/.N4=ZAFP=60°,

.•.△4P尸是等边三角形；

•：AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ,

：.APFDAQCD,

PD=DQ.

(2)/是等边三角形，

,/PELAC,

AE=EF,

APFDWQCD,

CD=DF,

DE=EF+DF=-AC,

2

,/AC=1,

DE=-.

23.如图，△48C中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点/、点8同时出发，沿三角形

的边运动，已知点M的速度为1c加/s,点N的速度为2c加/s.当点N第一次到达8点时，M、N同时停止运

动.

(1)点、M、N运动几秒时，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形NMN?

(3)当点M、N在5c边上运动时，能否得到以跖V为底边的等腰三角形如存在，请求出此时

M、N运动的时间.

【答案】(1)点M、N运动12秒时，M、N两点重合；(2)点M、N运动4秒时，可得到等边三角形

AMN；(3)当点M、N在5c边上运动时，能得到以跖V为底边的等腰三角形,此时M、N运动

的时间为16秒.

【解析】解：(1)设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，

xxl+12=2x,

解得：x=12；

(2)设点M、N运动f秒时，可得到等边三角形如图①，

AM=txl=t,AN=AB-BN=l2-2t,

•..三角形是等边三角形，

；./=12—2t,

解得/=4,

.•.点”、N运动4秒时，可得到等边三角形

(3)当点M、N在8c边上运动时，可以得到以跖V为底边的等腰三角形，

由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设是等腰三角形，

AN=AM,

：.ZAMN=ZANM,

ZAMC=ZANB,

,/AB=BC=AC,

...△ZCB是等边三角形，

ZC=ZB,

在ANCM和AASN中，

ZAMC=ZANB

•/<ZC=ZB,

AC=AB

：.AACM、ABN（AAS）,

/.CM=BN,

设当点M、N在8c边上运动时，M、N运动的时间〉秒时，AZMN是等腰三角形，

：.CM=y-l2,NB=36-2y,CM=NB,y—12=36—2y,

解得：y=\6.故假设成立.

二当点M、N在8c边上运动时，能得到以TW为底边的等腰三角形4W,止匕时M、N运动的时间为16

秒.

24.如图1,△Z5C为等边三角形，面积为S.D「E「片分别是A4BC三边上的点，且

g=BE\=CFi=；4B,连接〃£］、ER、FR,可得是等边三角形，此时△2〃月的面积

的面积E=；S.

（1）当。2、旦、鸟分别是等边AZBC三边上的点，且Z3=54=。工时如图2,

①求证：△打马心是等边三角形；

②若用S表示AZA8的面积尾，则邑=；若用S表示AAEZ与的面积5，则

（2）按照上述思路探索下去，并填空：

当3、E,、弓分别是等边AZBC三边上的点，40“=5纥=’48时，（〃为正整数）声耳凡

n+1

是三角形；

若用S表示的面积用，则S“=；若用S表示△£>/,£,的面积S：,则

S；=______________

ncc,rr-n+\c

Sn=彳),xJ-―-)•

〃+l)n+277+1

【解析】解：（1）①•••△45C为等边三角形,

：.AB=BC=AC,ZA=ZB=60°,

由己知得AD?,BE?=；BC,5=；ZC,

22

AF2——AC9BD?——AB,

AD2=BE2,AF2=BD2,

^AD2F2^^BE2D2,

/.D2E2=F2D2,

同理可证工62,

D2E2=E2F?=FzD?,

••^D2F2E2为等边二角形;

②S2=|s；

=S--Sx3=-S