2024-2025学年人教版初中数学九年级上册同步练习：二次函数 压轴题训练（原卷版）

第05讲二次函数压轴专题

学习目标

课程标准学习目标

1.能通过二次函数的图像与系数的关系解决二次函数

选择填空的压轴题目。

①二次函数的图像与系数之间的关系

2.能够利用二次函数的顶点式求实际问题中的最值问

②二次函数的最值问题

题。以及三角形四边形的面积最值问题。

③二次函数的存在性问题

3.利用二次函数与几何的关系，解决二次函数中的存在

性问题。

思维导图

知识清单

知识点01二次函数的图像与系数的关系

1.。与开口方向的关系。

2.对称轴与a,6的关系；对称轴在y轴左边或右边与a,b的符号的关系；对称轴与±1的关系可得

2a+〃与0以及2a—b与0的关系。

3.函数与y轴交点坐标与c的关系。

4.函数与无轴的交点个数与庐—4ac的关系。

5.a+Z?+c是自变量为的函数值，a—Z>+c是自变量为的函数值。

4a+2b+c是自变量为的函数值，4a-2b+c是自变量为的函数值。

9。+3b+c是自变量为的函数值，9。—3b+c是自变量为的函数值。

【即学即练1】

1.已知二次函数QWO）的图象如图，有下列5个结论:

①a6c<0；②3a+c>0；③4a+26+c>0；④2a+6=0；©b'>4ac.

C.4个D.5个

【即学即练2】

2.如图，根据二次函数>=以2+6尤+c的图象得到如下结论：①a6c>0②2a-b=0③a+6+c=0®3a+c<0⑤

当x>-2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数xo,使得axj+bxo>a-b成立.上述结论，正确的

A.①②⑤B.②③④C.②③⑥D.③④⑤

【即学即练3】

3.已知二次函数yn/+bx+cQ#。）的图象如图所示，现有以下结论：①a6c>0；②2a-b+c<0；③4a+26+c

=0；④2a-6=0；⑤3a+b」*c=0-其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练4】

4.某二次函数>=〃/+法+。（〃W0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（）

①〃bc>0；

@a-b+c〈O；

③a=-T;

b

④8Q+C>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点02二次函数的最值问题

1.求线段最值问题：

2.求图形的面积最值问题：

将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。

【即学即练1】

5.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=3/-2x+2上运动，过点A作AC_Lx轴于点C,以AC

为对角线作矩形ABC。，连接BD,则对角线3。的最小值为（）

C.5

3

【即学即练2】

6.如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2<m<4）,我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩

形A8CD中，AB=x,AD=y,2（x+y）-xy=-^-,那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小值

为（）

A.4B.泥C.MD.平

【即学即练3】

7.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=?>cm,BC=4cm.点P从点A出发,以lcm/s的速度沿AB运

动：同时，点。从点B出发，2cmk的速度沿8c运动.当点Q到达点C时，P、。两点同时停止运动.设

动点运动的时间为r(s).A

—

(1)当/为何值时，△PB。的面积为2C/2；T

P

(2)求四边形尸QC4的面积S的最小值.

B

【即学即练4】

8.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F,G,H四点一次是边48,BC,CD,D4上一点(不与

各顶点重合)，且AE=A8=CG=CR记四边形EFGH面积为S(图中阴影)，AE^x.

(1)求S关于尤的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围.

(2)求尤为何值时，S的值最大，并写出S的最大值.

【即学即练5】

9.如图，四边形ABC。中，AD//BC,BD±DC,NC=45°,BD平分NABC.

(1)求证：AB±BC；

(2)已知AO=A8=4,8C=8,点P,。分别是线段A。，8C上的点，BQ=2AP,

过点尸作尸交BD于K,记y表示△PR。的面积，x表示线段AP的长度.如果

在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°,那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件,

写出表示变量y与x关系的关系式.

(3)当尤=时，y取得最大值

【即学即练6】

1,

10.如图，抛物线y=-一J+bx+c与X轴交于A(4,0),8两点，与y轴正半轴交于点C(0,4),点

2

P为直线AC上方抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图1,若PQLAC,垂足为。，当尸Q的长度为最大值时，求此时点尸的坐标;

(3)如图2,PQ±AC,垂足为。，且4。=3尸。，求此时点尸的坐标.

图1图2

知识点03二次函数的存在性问题

1.存在等腰三角形:

设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式表示出三角形的三边，分别选取其中两边为腰，利用腰相

等建立方程求解。

2.存在直角三角形：

设出所求点的坐标，利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边的平方，在利用各自为斜边的平方

等于两直角边的平方的和建立方程求解。

3.存在平行四边形：

设出所求点的坐标，结合已知点讨论各自为对角线时的情况。利用中点坐标公式，平行四边形对角线

的性质一一相互平分建立方程求解。即两条对角线两边端点求得的中点坐标相等。

【即学即练1】

11.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线丫=办2-2x+c与直线都经过A(0,-3),B(3,0)

两点，该抛物线的顶点为C

(1)求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E,在线段上是否存在一点M,过点M作无轴的垂线交

抛物线于点N,使四边形CEMN是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)设点尸是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求出点P的坐标，并求出

面积的最大值.

【即学即练2】

12.如图1所示，已知直线＞=h+“7与抛物线〉=办2+法+(;分别交于无轴和＞轴上同一点，交点分别是点8

(6,0)和点C(0,6),且抛物线的对称轴为直线x=4.

(1)请分别求出左，如a,b的值；

(2)如图2,点。是线段8c上一点，且CQ=4&，点M是＞轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△P8C是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在

请说明理由.•/、1,

【即学即练3】

13.如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点A(-4,0),B(0,4),且抛物线的对称轴为

直线x=-1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点N在第四象限的抛物线上，且是以A8为底的等腰三角形，求N点的坐标;

(3)点P是直线A8上方抛物线上的一动点，当点尸在何处时，点P到直线的距离最大，并求出最

大距离.

【即学即练4】

14.如图，直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=-2/+以+。经过A、2两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为直线上的动点，当点P绕原点。旋转180°的对应点。在抛物线上时，求点尸的坐标；

(3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以点O,A,M,N为顶点的四边形是平行四边形

时，请直接写出点"的坐标.

【即学即练5】

15.如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA=2OC,将矩形OA8C绕原点。逆时针旋转

90°,得到矩形。。EF.抛物线y=af+bx+c经过不。、g三个点，其顶点在直线y=Zx-」一上，直

212

线L：y=fcv+m经过点E和点A,点尸是抛物线y=a/+b尤+c上第一象限任意一点，过点尸作无轴的垂线

交直线L于点

（1）求abc的值;

（2）设尸点横坐标为3求线段PM的长（用［的代数式表示）;

（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点尸的坐标，如果不会,

请说明理由.

题型精讲

题型01二次函数的图像与系数的关系

【典例1】

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论:

①a灰:<0；

②4a-2b+c>0；

@a-b>m（a/w+6）（〃z为任意实数）；

④若点（-3,yi）和点（3,>2）在该图象上，则yi>”；

其中正确的结论是（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【典例2】

抛物线y=a7-2ax+c（a,c是常数且aWO,c>0）经过点A（3,0）.下列四个结论:

①该抛物线一定经过B（-b0）；

②2a+c>0；

③点Pl(f+2022,ji),尸2(f+2023,”),在抛物线上，且yi>”，贝卜>-2021；

④若加，n（机<w）是方程af+Ztix+cup的两个根，其中0>0,贝!J-3V机<w<l.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例3】

已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO）,图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（-2,0）,对称轴为直线

x=--.对于下列结论：①abc<0；②廿-4ac>0；③a+6+c=0；④am?+Zw?vL(a-2Z?)(其中m片」)；

242

⑤若A（xi,yi）和5（%2,y2）均在该函数图象上，且xi>x2>l,则yi>y2.其中正确结论的个数共有

（）个.

A.2B.3C.4D.5

【典例4】

如图是二次函数y=ax2+bx+c（〃W0）的部分图象，顶点坐标为（-1,-2）.下列结论：①6>0；②方程

〃/+法+0+2=（）有两个相等的实数根；@a+b+c>0；@a-c=2,其中所有正确结论的序号是（)

典例4

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③

【典例5】

如图，是二次函数y=af+bx+c(a,b,c是常数，aWO)图象的一部分，与x轴的交点在点(2,0)和(3,

0)之间，对称轴是直线x=l.对于下列说法：①ab<0；②3a+c>0；③2a+Z?=0；@a+b^m(am+b)(m

为实数)；⑤当-l<x<3时，y>0,其中正确结论为()

A.2个B.3个C.4个D.5个

题型02二次函数的综合应用

【典例1】

如图，抛物线y=a/+bx+c(aWO)与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点

已知A(-2,0),B(4,0),C(0,8).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△PC。是等腰三角形？如果存在，求出点尸的坐标；如果

不存在，请说明理由;

(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点R求△CBF的最大面积及

此时点E的坐标.

【典例2】

如图，抛物线y^a^+bx+c(a=0)与x轴交于点A(-1,0),点、B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),

点。为直线。。与抛物线>=0?+公+。(4=0)在x轴下方的一个交点，点尸为此抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的解析式；

3

(2)若直线。。为丁=——x,求点。的坐标；

2

(3)在(2)的条件下，当点尸在直线0。下方时，求△POO面积的最大值.

【典例3】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=自+人与二次函数y=-/+妙+〃交于点A(3,0),B(0,3)两

点.

(1)求一次函数丁=丘+/?和二次函数y=-x2+mx+〃的解析式.

(2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点尸作y轴的平行线，交直线于点。

当△以8面积最大时，求点尸的坐标.

(3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形

是平行四边形时，求点M的坐标.

【典例4】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+6x+c与无轴交于点A(-1,0),3(6,0),与y轴交于点C.且

直线过点B,与y轴交于点。，点C与点。关于x轴对称，点尸是线段OB上一动点，过点P

作龙轴的垂线交抛物线于点交直线BD于点N.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)连接MB、MD,当的面积最大时，求点尸的坐标;

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点。，使得以。，M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

【典例5】

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a?+b尤+2QWO)与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,

与y轴交于点C,连接BC.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点尸作y轴的垂线交线段BC于过点尸作x轴的垂线

交线段8c于M求△PMN的周长的最大值.

(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以3,C,M,N为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标;

强化训练

1.将抛物线y=2/向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是()

A.y=2(x+3)2B.y=2(x-3)2C.y=2x1+3D.y=2x2-3

2.二次函数yn/+bx+c(a、b、c为常数，aWO)的尤与y的部分对应值如下表：

・・・o1234...

y…212510…

下列各选项中，正确的是()

A.这个函数的图象开口向下

B.abc>0

C.这个函数的最大值为10

D.关于％的一元二次方程〃/+Z?x+c=0无解

3.已知抛物线y=2(x-2)2+1,A(-3,yi),B(3,»),C(4,”)是抛物线上三点，贝!！"，"，”

由小到大依序排列是()

A.yi<y2<y3B.y2<yi<ysC.y3<y2<yiD.y2<y3<yi

4.一次函数1(〃W0)与二次函数》二〃%2-%(〃W0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

5.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从。点正上方2机的A处发出，把球看成点，其运行的高

度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=q(x-k)2+/z.已知球与O点的水平距离为6根时,

达到最高2.6m,球网与O点的水平距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,

则下列判断正确的是()

A.球不会过网B.球会过球网但不会出界

C.球会过球网并会出界D.无法确定

6.若二次函数的图象经过A(xi,yi)、B(%2,”)、C(2-m,〃)、D(m,n)则下

列命题正确的是()

A.若〃>0且由-1|>|%2-1|,则yiV”

B.若〃vo且yiV",贝!)|1一V|1-%2|

C.若以1-1|>|工2-1|且yi>y2,则〃V0

D.若XI+X2=2(XIW%2),则

7.抛物线y=a?+bx+c的对称轴是直线x=一2.抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)

之间，其部分图象如图所示.①-4〃=0；②a+Z?+c>0；③c<3〃；@b1+2b>4ac.所述4个结论中正确

C.②③D.①③④

8.如图，抛物线yuaf+Zzx+c与％轴交于点(-L0),对称轴为x=l.下列结论：①〃Z?c>0；②房>4〃c；

③若关于尤的方程o?+bx+c+l=0一定有两个不相等的实数根；④其中结论正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.点A(2,yi),8(a,”)在二次函数y=/-2x+3的图象上.若yi<”，写出一个符合条件的a的值.

10.关于x的函数y=(k-2)2-(2/-1)x+左的图象与x轴有两个交点，则上的取值范围是.

11.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，桥