2024-2025学年江西省萍乡市高二年级上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年江西省萍乡市高二上学期期中考试数学检测试卷

本试卷分和两部分.第I卷1至2页，第II卷5至6页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴

的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.客观题选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.主观题用黑色墨水签字笔在答题

卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合"={Mnx<°},N={xC-。叫，若/鼠N,则实数0的取值范围为（

）

A（一吗"B.S'。c.S,e]D.（一”'e）

2.设万，在，2是非零向量，则"aR=a-c，，是花=。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下图是我国2018〜2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（）

2018~2023年中国纯电动汽车销址统计

800T■销量:万辆756.8

201820192020202120222023

A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势

B.这六年销量第60百分位数为536.5万辆

C,这六年增长率最大的为2019年至2020年

D.2020年销量高于这六年销量的平均值

4.直线/过抛物线°：V=2px（p〉0）的焦点，且与0交于48两点，若使|第=2的

直线/恰有2条，则。的取值范围为（）

A0</?<1B0<7?<2cP〉1DP>2

22

T:——+=1（。>Z?>0）

5.已知椭圆b-的右焦点为尸，过/且斜率为1的直线/与T交于

48两点，若线段48的中点M在直线x+2j=°上，则T的离心率为（）

V2V5G72

A.4B.3c,5D,2

6.如图，在平行四边形Z8C。中，12!1/氏40=7,28=5及,40=5,£为边50上异于端

点的一点，且/£・。£=45,则sin/CDE=（）

叵工工工

A.1。B,25c.13D.4

7.在平面直角坐标系内，方程2一+2/一盯=1对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为

（）

旦叵叵叵

A.2B.2C.5D.5

22

-—2=1（。〉。,b〉0）

8.已知。为坐标原点，双曲线C：a-&的左、右焦点分别是尸2，离

V6

心率为2，点0（%，％）是c的右支上异于顶点的一点，过尸2作/耳0鸟的平分线的垂线，

垂足是M,若双曲线C上一点7满足6丁,巴7=5,则点7到双曲线C的两

条渐近线距离之和为（

A.2百B.2百C.2行D,2瓜

9.在V/5C中，若sinZ=2cos8cosC,则cosz8+cos2c的取值范围为（）

,2

A一用B卜唱C6）D

M+lJ

_2J

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

C:^---^=1

10.已知双曲线3-mm+6，则（）

A.机的取值范围是J'3）

_,V7

y-±—x

B.机=1时，°的渐近线方程为‘2

C.C的焦点坐标为（T°），（3,0）

D.C可以是等轴双曲线

11.如图，正方形N5CD的中心与圆。的圆心重合，P是圆。上的动点，则下列叙述正确

的是（）

A.P4PC+PB-PD是定值

B.莎・丽+丽・定+定•丽+丽.方是定值

C,网+网+|因+|囱是定值

-----(-2------(-2------(-2------*2

D.PA”B+PC+PD是定值

Z-BAD兀

12.直四棱柱4sCD—4片。］。1的所有棱长都为％3,点P在四边形及

其内部运动，且满足归旬+归a=8,则下列选项正确的是（

A.点「的轨迹的长度为兀.

B.直线NP与平面8。2与所成的角为定值.

2而

C.点P到平面401用的距离的最小值为7

D.•g的最小值为一2.

第n卷

注意事项：

第1I卷共2页，需用黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答题无效.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

,2,2

2

13.已知双曲线G-j=1,C,乙=1%

m4m的离心率分别为华和C2,则e—的最小值为

14.v2x+x-y）的展开式中//的系数为（用数字作答）.

15.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程-一》-1=0的两个根西城2不同幕的和时，发现

了苞+%=1,x：+x；=3,…，由此推算x；°+E°=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图所示的五面体“8C—4'G为直三棱柱”8C—451G截去一个三棱锥。一4四G后

的几何体，ACLBC,4C=BC=44=2,〃为网的中点，。尸分别为CQ

的中点.

G

(1)判断3尸和CE是否垂直，并说明理由；

(2)设4P=XZC(0W东1),是否存在4,使得平面/BC与平面夹角的余弦值

为7?若存在，请求出几的值；若不存在，请说明理由.

17.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为口)，设上］表示不超

过实数x的最大整数，I。」的值为随机变量X

x

(1)求在X>°的条件下，7的概率；

(2)求X的分布列及其数学期望.

18.如左图所示，在直角梯形N3CD中，BCHAD,ADLCD,BC=2,AD=3,

CD=M,边4D上一点E满足DE=1.现将"BE沿BE折起到“能的位置，使平面

平面2CDE,如右图所示.

(1)求证：A'C1BE；

(2)求异面直线4c与的距离；

(3)求平面48"与平面48所成锐二面角的余弦值.

19.已知片(—2,0),尸2(2,0),屈是圆°一+「=1上任意一点，片关于点M的对称点

为N,线段片"的垂直平分线与直线月N相交于点八记点T的轨迹为曲线c.

（1）求曲线C的方程；

（2）设（/>0）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线/与曲线C交于G,H两点

（异于£点）.若直线GE,的斜率之积为2,求证：直线/过定点.

20.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图

所示的光滑曲线c：y=上的曲线段前，其弧长为以，当动点从/沿曲线段前运动

到B点时，/点的切线乙也随着转动到8点的切线），记这两条切线之间的夹角为△夕（它

等于0的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就

K=—_

越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段48的平

均曲率；显然当8越接近即As越小，K就越能精确刻画曲线C在点/处的弯曲程度，

因此定义3X（若极限存在）为曲线。在点/处的曲率.（其中

V，，'分别表示y=/（%）在点力处的一阶、二阶导数）

=----73

（3）定义0+了）为曲线y=/（x）的“柯西曲率”.已知在曲线/G）="lnx—2”上

存在两点0（*'/a））和°&2'"々）），且p,0处的“柯西曲率，，相同，求直+苏的取

值范围.

2024-2025学年江西省萍乡市高二上学期期中考试数学检测试卷

本试卷分和两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴

的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.客观题选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.主观题用黑色墨水签字笔在答题

卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第1卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合"LvO},N={x0-。叫，若MqN,则实数0的取值范围为（

）

A（-8,1]B.S』）c,Se]D.Se）

【正确答案】A

【分析】先解出集合再由子集关系求解集合N即可.

【详解】由lnx<°得°<x<l,所以M=W0<x<l},

因为M=所以a<e”对恒成立，

所以a4

故选：A.

2.设心在，己是非零向量，贝。范=是“B=c”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.

一1--a-(b-c\=0a!\b-c\,7-

【详解】若。力=则\J'Jcb=c.

若石=c,贝[]g_c=d,a-6=0gp(7a-b=a-c

“。4=。。”是“»=c”的必要而不充分条件;

故选：B.

3.下图是我国2018〜2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是()

2018~2023年中国纯电动汽车销地统计

800T■销量：万辆756.8

201820192020202120222023

A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势

B.这六年销量第60百分位数为536.5万辆

C.这六年增长率最大的为2019年至2020年

D.2020年销量高于这六年销量的平均值

【正确答案】D

【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可.

【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对；

B：由6x60%=3.6,故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对；

C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%,其它都不超过100%,对;

97.2+111.5+291.6+536.5+668.5+756,8°”

---------------------------------------------------------------=410,35>291.6

D：由6,错；

故选：D

4.直线/过抛物线°：/=2.（夕〉0）的焦点，且与C交于48两点，若使|/a=2的

直线/恰有2条，则0的取值范围为（）

A0<"1B.°<°<2C,P>1D,P>2

【正确答案】A

【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定2夕<2,由

此可得所求范围.

卢,0）

【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为2',通径长为2夕，

当N8垂直于x轴时，48两点坐标为1万'一",

此时1481mm=2。<2,且?>0,

即抛物线的焦点弦中，通径最短，

所以。<"1.

故选：A.

22

T:--+=1（。>Z?>0）

5.已知椭圆。b的右焦点为尸，过尸且斜率为1的直线/与丁交于

48两点，若线段48的中点M在直线x+2y=°上，则T的离心率为（）

V2VsVsV2

A.4B.3c,5D,2

【正确答案】D

【分析】分别联立直线和椭圆，利用M的坐标相等建立齐次方程，求解离心率即可.

;、

【详解】

设4（吗必）方（＞2，%），由题意可知直线4B的方程为了=x-c,

线段的中点〃是直线/与直线%+2丁=°的交点,

2

X--C

I3

"1—cI1,1211

1cA—c,——

联立〔x+2y=0,解得y〔=——3c,所以M\【33c人

江+片=1

另_方面，联立卜二x-c,得（。一+力）厂—2。-5+。-。2_/6~=0

2a2c4

%]+%2=5T=一C79

易知A>°,由韦达定理得-a'+b3,解得口-=2价,

,.cV2

a2=2（a~-c2）e=一=丁

所以V）,故离心率a2,故D正确.

故选：D.

6.如图，在平行四边形48c。中，1皿/840=7,45=5啦,40=5,£为边5。上异于端

点的一点，且幺后。£=45,贝ijsin/C£＞£=（）

V22_1

A.10B,25c.13D.4

【正确答案】B

17

cos/BAD=—产,sin/BAD=—产

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出5050,利用共

线定理设屉=彳比（°＜几＜1）,表示出京二方+几而，DE=/5+GT）赤，根据

______2=3

/£•£)£=45建立等式求解5,分别求出各边的长度，然后即可求解.

…csmZBADr

tan^BAD=----------二7

【详解】由cosNBAD,

知/R4Q为锐角,

又因为siM/BXD+cosZ/BZD=1,

1.7

cos^TBAD——-f=,sin/B4D——产

所以5逝5V2

设5£=45。(0</1<1),即屉=4通,

J__

AS-AD=|2§|-|2D|COS^BAD=572x5入XI——J5

5V2

AE=AB+BE=AB+AAD

DE=AE-AD=AB+(力-1”。

由/£•£>£=45,

--*2/、---*2/、--*---*

(A8+2AD^^45+(2-1)20)=AB+2(2-1)^/)+(2A-1)AB-AD

得

=2522-152+45

=45

2=3

又0<%<1,故5

--—■2—■

=2,DE=AB——AD

则5

------24—*24—(■—(■

AB+—AD——ABAD50+4-1x5=5A/2

因此255

CEDE

即DEM50.在△<?£>£中，由正弦定理sin/CQEsinC,

以及sinC=BAD

7

sin/CDE=—

整理计算得25

故选：B.

7.在平面直角坐标系内，方程2一+2/-町=1对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为

（）

旦叵叵叵

A.2B.2C.5D.5

【正确答案】C

【分析】根据题意，分别将＞=》与^=一》代入方程解得交点坐标，即可得到名"°,再由

离心率的公式代入计算，即可得到结果.

【详解】易得该椭圆的对称中心为（°'°）,且关于直线了=±'对称，

鹿目［_同_叵

将＞=x代入方程，解得两交点的坐标为i^,

座_且］r_Vs目

将》—代入方程，解得两交点的坐标为I（IA

V6,VTo1222^15

a——b-........0=J=

所以该椭圆的长半轴长3,短半轴长5,所以半焦距V3515,

cV10

e—_—____

所以其离心率为。5.

故选：C.

22

-—=1（。〉0,6〉0）

8.已知。为坐标原点，双曲线C:。后的左、右焦点分别是Q,F2,离

V6

心率为2，点0（X”％）是c的右支上异于顶点的一点，过尸2作/耳尸月的平分线的垂线，

垂足是若双曲线C上一点7满足月丁,用7=5,则点7到双曲线C的两

条渐近线距离之和为（）

A.2也B.2百C.2#＞D.2a

【正确答案】A

【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程,

再设T(M,V),由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.

设半焦距为c,延长巴拉交尸片于点N,由于尸河是㈤里的平分线，F2MLPM

所以ANPK是等腰三角形，所以忸M=|明，且/是限的中点.

根据双曲线的定义可知附H%=2%即|g|=2a,由于0是相

的中点，

八NT口口\M0\=—|A7\\=a=V2

所以〃。是鸟的中位线，所以।,

2

aX2_

=

—国—y

又双曲线的离心率为2,所以。=々3,b=l,所以双曲线c的方程为2

所以耳(-国)，鸟(①0),双曲线c的渐近线方程为"历叫

S_|M+V2vIIw-yj2vI

设7®,v),「到两渐近线的距离之和为s,则GG,

22

由片=—G)(M+K)+V2=W+V-3=5；即/+/=8,

-----y=]-----V=]2222

又T在2'上，则2，即M-2V-=2,解得M=6,丫-=2,

2u

S-\\-2-J1

由故V3,即距离之和为2J5.

故选：A.

由平面几何知识，归M=l?闻，依据双曲线的定义，可将也。|=正转化为用°表示，进

而的双曲线的标准方程.

9.在V45C中，若sin4=2cos8cosC,则cos?8+cos?C的取值范围为()

V2+1

A.4D.

V2+1

『I

【正确答案】B

［分析］先由已知条件结合sm/=sm（8+C）整理得tan8+tanC=2,tan8〉0,

tanC>0,再对cos?8+cos2c进行弦化切，结合换元法、基本不等式、对勾函数性质即

可求解取值范围.

［详解］由sinN=2cosBcosC以及s^n4=s^n［乃一（8+C）］=sin（5+C）得

sin8cosc+cosBsinC=2cos8cosC,

又由"e（°"）得sinZ=2cos8cosC>0,

所以tan8+tanC=2,且-c均为锐角，即tan8>0,tanC>0,

cos2B+cos2C11

cos2B+cos2C=

222222

所以sinB+cosBsinC+cosC1+tanB1+tanC

2+tan2B+tan2C_tan25+tan2C+2

（1+tan25）（1+tan2C）tan2Btan2C+tan2B+tan2C+l

tan2B+tan2C=（tanB+tanC）2-2tan5tanC=4-2tanBtanC

因为

6-2tanBtanC

所以cos2B+cos2C=tan2Btan2C-2tanBtanC+5,

设3-tanBtanC=m,

八d（tanB+tanCy兀

tanBtanCW---------------=1A-B--

因为I2J,当且仅当4时等号成立,

81-i

掰e「23)m+—e472,6

所以"e*，力，故由对勾函数性质mL」

2m2rV2+1

2m

cos25+cos2C=m2-4m+8

（3-m）2-2（3-m）+5

则m

故选：B.

思路点睛：解三角形取值范围问题通常结合使用辅助角利用三角函数有界性、一元二次函数

单调性、基本不等式等求解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

C:^---^=1

10.已知双曲线3-mm+6，则（）

A.机的取值范围是J'3）

_,V7

y-±—x

B.机=1时，°的渐近线方程为2

C.C的焦点坐标为（T°），（3,0）

D.C可以是等轴双曲线

【正确答案】ACD

【分析】选项A,利用双曲线的标准方程，即可求解；选项B,根据条件，利用求双曲线渐

近线的求法，即可求解；选项C,由选项A知焦点在％轴上，再由c?=机+6+3-机=9,

即可求解；选项D,利用等轴双曲线的定义，即可求解.

22

【详解】对于选项A,因为,3—mm+6表示双曲线，所以（加+'）。—加）解

得一6（根<3,所以选项A正确;

x2

对于选项B,当机=1时，双曲线方程为27,其渐近线方程为

J22,所以选项B错误;

对于选项C,由选项A得机+6〉°，3一机〉o,所以焦点在x轴上，设C的半焦距为c（c>°）,

则。2=机+6+3一机=9,解得c=3,故其焦点坐标为（一3,0），（3,0）,所以选项c正确;

m=--G（-6,3）

对于D,若°为等轴双曲线，则3—机=机+6,解得2,所以选项D正确,

故选：ACD.

11.如图，正方形NBC。的中心与圆。的圆心重合，P是圆。上的动点，则下列叙述正确

的是（）

A.西定+而・丽是定值

B.莎.而+而.定+定,而+而.莎是定值

I万H而H4H丽I是定值

-----(-2-----(-2-----(-2-----(-2

D.PA”B+PC+PD是定值

【正确答案】ABD

【分析】依题意建立以。为原点的坐标系，设正方形边长为2°,圆的半径为厂，P点坐标

为尸（”/）,对选项中的表达式进行化简可得选项ABD中的表达式可写成只含有。和厂的式

子，结果为定值，而C选项中的结果最终含有X，〉，即与夕点位置有关，不是定值.

【详解】根据题意，以。为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示:

不妨设正方形边长为2。，圆的半径为厂，P点坐标为尸（XJ）；

则可得。,。）,。（一。,一。）,。（",一。）且—+y2=/.

^,PA二（a-x,a-y^PB=（-a-x.a-y^.PC二（-a-x,-tz-y）,PD=（a-x,-a-y^）

勿i7'U

所以对于A选项，

PA-PC+PB-PD=-2[(Q-X)(Q+x)+(a+y)(〃-y)]=-2(a2-x2+a2-y2^=2户-4a2

，为定值，即A正确；

对于B选项画.而+方.无+无.而+丽.可=_(a_x)(a+x)+(q_y)2

+(a+x)~-(a+v)(a-(a~x)(a+x)+(a+j)2+(a-xj-(a+v)(a-j)

=4(x2+/)=4r2^为定值，所以B正确；

H+HI+IPCI+H9

对于C选项，易知।1I〔III।表达式中不能表示成只含有边长2a和半径厂的式

子，

即与尸（x,y）有关，故其不是定值，所以c错误;

对于D选项,PA+PB+%一+0O=("—垃+("—城+("+垃+("N)2

+(a+x)-+(a+v)-+(a-x)-+(a+yJ=2[(a+x)~+(a-yJ+(a-x)-+(a+y]

=8/+492+y2)=8/+4r2

为定值，故D正确;

故选：ABD

关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的直角坐标系，将向量坐标化，再由向量数量积

的坐标表示求解是否为定值.

/BAD兀

12.直四棱柱4ss-4gG2的所有棱长都为4,7,点P在四边形8OQ/1及

其内部运动，且满足归$+归a则下列选项正确的是（）

ac,

A.点P的轨迹的长度为兀.

B.直线NP与平面B'O/i所成的角为定值.

2亚

C.点P到平面如旦的距离的最小值为7

D.PCi的最小值为-2.

【正确答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，表示忱H+PC=8,化简后得点尸的轨迹方程，得轨迹长

度判断A；向量法求线面角判断B,向量法求点到平面距离，结合点尸的轨迹得最小值判断

C；坐标表示向量数量积，结合点尸的轨迹最小值判断D.

【详解】直四棱柱"BC。—481G2的所有棱长都为4,则底面4BC。为菱形，

71

ZBAD=-

又3,则△4BQ和A△C8O都是等边三角形,

设AD与NC相交于点°,由8£>J_4C,以。为原点，（必为x轴，为歹轴，过。垂

直于底面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则有AQ瓜0,01B（0,2,0）,C《28,0,0）0（0,-2,0）

4G百,0,4）与（0,2,4）,G《26,0,4）〃（O,_2,4）

点尸在四边形以油用及其内部运动，^P（0,j,z）；-2<y<2,0<z<4

+^2>/3^+y2+z2=8

+/+2Z2

,有

/+z2=4(-2<y<2,0<z<2)

所以点p的轨迹为>°z平面内，以。为圆心，2为半径的半圆弧,

所以点P的轨迹的长度为2兀，A选项错误;

平面BDDA的法向量为加=6°，°）,AP=（一2"），2）,

AP-m2A/3V3

sin6=

22

直线/p与平面所成的角为e,则AP\\myJ12+y+z2

0&0,-

又由L2」，则

所以直线/P与平面所成的角为定值，B选项正确;

为=（-28,2,4）四（-20,-2,4）,设平面的一个法向量痴=（叩,幻，

ABX•n=-2A/3X+2y+4z=0

则有「方=—2Gx—2y+4z=0,令x=2,得y=0,z=G,）=@，°，百），

|-2V3X2+V3Z||-4V3+V3Z|

"丁呵一.

所以点尸到平A面DiBi的距离、'',

卜46+2阎2721

cc^min=------耳----=二一

0<z<2,所以Z=2时，<77,

2而

所以点尸到平面'〃片的距离的最小值为7,c选项正确；

网=©君，r，4-z）属=G26,-y,4-z）

囤・西=T2+/+（Z-4）2,其几何意义为点08*）到点（％）距离的平方减12,

由/+z?=4,点P8,z）到点94）距离最小值为4-2=2,

,°G的最小值为22-12=-8,D选项错误.

故选：BC.

方法点睛：

空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的

角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.

第II卷

注意事项：

第II卷共2页，需用黑色墨水签字笔在答题卡上作答，若在试题卷上作答，答题无效.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

222

Q：-「=1，G：土_匕=]

13.己知双曲线机4机的离心率分别为6和02,则602的最小值为

3

【正确答案】2##1.5

e=

【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解.

【详解】

由题意得机〉°,

43

JTI———

m，即机=2时，等号成立，所以e©2的最小值为2.

3

故答案为.5

14.v2x+x-y）的展开式中V/的系数为（用数字作答）.

【正确答案】120

【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.

【详解】由于XV=&);./,

所以(2,的展开式中含XT的项为CG)2X中V(-4=",

所以(2-+X—V)的展开式中//的系数为120.

故120

15.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程必-》-1=0的两个根匹，/不同塞的和时，发现

了再+/=1,x；+x；=3,…，由此推算x；°+E°

【正确答案】123

【分析】利用韦达定理及汇=西+1,后=%+1可先计算立方和，再求五次方和，结合完

全平方公式计算即可.

［详解］因为再+"2=1,X1X2=-1,玉=再+1,%2=%2+1,

所以'；+*="（再+1）+%（工2+1）="I+¥+（再+'2）=2（/+%）+2=4

所以X；+*=X：（石+l）+xf（x2+1）=6+X：）++E）=G：+%2）-2（再工2）2+

G：+%；）=11

所以£。+£。=6+焉)121+2=123

故123

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图所示的五面体ABC-为直三棱柱ABC—481G截去一个三棱锥D-48c后

的几何体，幺℃。，"==2,〃为四的中点，E,尸分别为G。，

4。的中点.

（1）判断2斤和CE是否垂直，并说明理由;

（2）设4P=X4C（0W条1）,是否存在4,使得平面/8C与平面尸8斤夹角的余弦值

2

为7?若存在，请求出力的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）8尸和CE不垂直，理由见解析

（2）存在实数2

【分析】（1）根据给定条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出8尸-CE即可

判断.

（2）利用（1）中坐标系，平面尸2尸的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【小问1详解】

2尸和CE不垂直，理由如下：

以点C为坐标原点，直线C4,CB,℃1分别为x〃，z轴建立空间直角坐标系，如图，

刖2（2,0,0）5（0,2,0）C（0,0,0）4（2,0,2）。（0,2,1）q（0,0,2）

33—►3—3

^（o,l,-）F（l,l,-）5F=（1,-1,-）C£=（0,l,-）

__33s

5F-CE=lxO+(-l)xl+-x-=-^O

因为7224

所以3尸和CE不垂直.

【小问2详解】

2

假设存在几使得平面/8C与平面尸8尸夹角的余弦值为由4?=X/C,得

F(2(l-2),0,0)

显然平面NBC的一个法向量为〃i=(°'°』)，08=(2(4—1),2,0),

n2•PB=2(2-l)x+2)/=0

〈一一►3

\n2-BF=x-y-^--z=0

设平面必尸的法向量为〃2=(Xj*人则〔”2，取x=3,得

n2=(3,3-34-24)

设平面ABC与平面PBF的夹角为夕，

222

J9+9(1-+(-2力)~7

而0W%1.解得

2=1

所以存在实数2,使得平面/3C与平面尸2尸夹角的余弦值为7.

17.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为设卜］表示不超

a

过实数x的最大整数,的值为随机变量X

(1)求在X>°的条件下，6的概率;

(2)求X的分布列及其数学期望.

2

【正确答案】(1)§

41

(2)分布列见解析，36

x=巴

【分析】（1）列举X>0与7的样本点，利用条件概率公式计算即可；

（2）根据离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.

【小问1详解】

（ab）«QV6,1V6V6,a、Z）€N1

记抛掷骰子的样本点为1'人则样本空间为N/样本空

间容量为36,

X=3

设事件/为：X>°,事件8为：b,

则/为：｛（1,1）,（2」），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（2,2）,

（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）,（4,4）,（5,4）,（6,4）

（5,5）,（6,5）,（6,6）｝,其包含的样本点数为21.

^5=｛（1,1）,（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（2,2）,（4,2）,（6,2）,（3,3）,（6,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6））

，其包含的样本点数为14,

尸3)=?上」

根据条件概率得。⑻213；

【小问2详解】

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

p(x=o)=^^=—p(x=l)=—=-p(x=2)=—=-

')3612,17363,v7369,

p(X=3)=—=—P(X=4)=—P(X=5)=—