2024-2025学年牡丹江市高三数学上学期期中考试卷及答案解析

牡丹江市省级示范高中2024-2025学年度高三期中

数学试卷

考试时间:120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若（2—2i）z=i,贝亍=（）

11.11.11.11.

A.—+—1B.----------1C.-------1D.——+—1

44444444

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求得z=+再根据共朝复数的概念分析判断.

1i(2+2i)11.

【详解】因为（2—2i）z=i,贝ijz=------F—1,

2-2i(2-2i)(2+2i)44

所以n

故选B.

2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数

依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,这11个数据的60%分位数是（）

A.16B.30C.32D.51

【答案】C

【解析】

【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.

【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,

因为11x60%=6.6,这11个数据按照从小到大排列第7个是32.

故选：C.

3.如图，在ANBC中，NA4c=120°,48=2,NC=1,。是8c边上靠近8点的三等分点，E是BC边

上的动点，则/.画的取值范围为（）

A

V7741047

B.C.D.

V5335T353

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|瑟J,再将向量用基底k,方表示，借助向量运算性质计算即可.

|18|2+I4C|2-|5C|2

I，解得|前|

【详解】由cosNA4C=

2西画

设区=2瓦,OV2<1,

则左•丽=（就+3）•丽=（就+2屈）=g就+=|.就.（而一就）+£九

=-AC-AB--AC2+-A=--+—AE410

3333335T

故选：C

4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、

小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最

后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）

A.4.5尺B,3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】

【分析】由题意构造等差数列{%},设公差为d,利用基本量代换求出通项公式，然后求如.

【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构

成等差数列{%},设公差为d,由题意得：

Q]+。2+。3=28.5

+%1+。12=1•5

为=10.5

解得：1

所以a“=%+(〃一l)d=11.5—〃，

所以的=11.5—7=4.5,

即春分时节的日影长为4.5.

故选：A

【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语

言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)等差(比)数列问题解决的基本方法：基本量代换.

5.若函数/(乃=1。80」(12-办)在区间(3,6)上单调递增.则。的取值范围是()

A.(-®,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.

【详解】/(x)=log01(12-办)在区间(3,6)上单调递增,令/=g⑴/=log。/单调递减，

则g(x)=12-办在区间(3,6)上单调递减且恒为正，

所以。＞0且g(6)=12-6a»0,所以0＜。＜2.

故选：D.

6.已知tan，，tan[§—ej是一元二次方程V+ax—5=0的两个根，则。=()

A.66B.-673C.4GD.-473

【答案】A

【解析】

【分析】结合根与系数关系可得1211，+121111--|=一。，tan，tan[g—，]=-5,再利用两角和的正

切公式可求出。的值.

【详解】因为tan，，tang一。是一元二次方程必+办—5=0的两个根，

(8兀

八(8TInj.

显然△=/+20>0，所以tan^+tanl——6——Q,tant)tanI--6，I=-5,

tan+tan----0

所以-----------------4=tan5=-73—ci

1-tan^tan3

所以a=6V"

故选：A.

7.已知函数/(x)=x3+3x+l,若关于x的方程/卜111%)+/(机+(：05%)=2有实数解，则机的取值范

围为()

A.1,V2JB.[-1,1]C.[0,1]D,V2,V2J

【答案】D

【解析】

【分析】设g(x)=/(x)-1=丁+3%，利用函数的单调性和奇偶性，把/(sinx)+/(加+cosx)=2转化

成机=-sinx-cosx,再结合三角函数的性质求机的取值范围.

【详解】令g(x)=/(x)T=d+3x,则g<x)=3x2+3〉0恒成立，则g(x)在R上单调递增，且g(x)

是奇函数.

由/(sinx)+/(m+cosx)=2,得/(sinx)-l=-[/(m+cosx)-l],即g(siwc)=g(-m-cosx),

从而sinx=-m-cosx,即机=-sinx-cosx=-V2sin(x+^e/0,0]

故选：D

【点睛】方法点睛：设g(x)=/(x)-l=/+3x,可得函数g(x)为奇函数，利用导函数分析函数g(x)

的单调性，把/(5111%)+/(机+(：08%)=2转化成加=-^11；(：一(：05工，再求机的取值范围.

8.若函数/(%)=卜一2百%+；机卜机X—][机eN*)在[0,4]上恰有3个零点，则符合条件的m

的个数是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】就加＞8、机=8、1〈加K8分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.

【详解】令/(x)=0,则机=0或sin(，%》—四］=o,

4143；

由A二卜2^^)—m=8—m,

当加＞8时，y=%2一2后1+；加在［0,4］上没有零点，

则了=sin［；机在［0,4］上应有3个零点，

,,,1兀「兀71

因为一根x€——,所以2兀W加一巴＜3兀，即」＜加〈—―,

43133333

与加＞8联立得8＜加＜—,因为加EN*,所以用的值依次为9,10；

当加=8时，y=%2一2行工+^加在［0,4］上有1个零点、万，

y—sin^2x——在［0,4］上有3个零点0,^-,-^-,不满足题意；

当加＜8时，y=/—2后x+；加在［0,4］上有2个零点，

故了=sin［；机X-1］在［0,4］上应有1个零点，

因为机eN*，所以该零点与j=x2-2瓜+)的零点不相同，

7T714-7171471

所以0V加——＜71,即一W〃i＜—,与14根＜8联立得一V〃1＜—,

33333

因为机eN*，所以机的取值依次为2,3,4,综上得符合条件的机的个数是5.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量)=(-2,1),B=(7,T),则()

A.若GlB，则/=—；B,若2,3共线，则f=—2

C.B不可能是单位向量D.若r0,则内—『5

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C,

利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.

【详解】对于A,由gB,得值.B=-2t-i=o＞解得/=—-，A正确；

对于B,由二B共线，得—2x(—1)—11=0,解得/=2,B错误；

对于C,当t=0时，不是单位向量，C错误；

对于D,当"0时，21-3=(-4,2)—(0,—1)=(—4,3),则百一可=5,D正确.

故选：AD

10.在等比数列｛氏｝中，。1%=2,。3=4，贝I()

A.｛%｝的公比为近B.｛叫的公比为2

C.%+=20D.数列＜log,—＞为递增数列

〔'an\

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.

【详解】设等比数列｛斯｝的公比为4,

a、q=2,ciy—1,,

依题意得4I2解得＜c所以4=2"T,

=4,[q=2,

故的+%=2?+24=20,故BC正确，A错误；

,1,[1~

对于D,log2—=1-〃，则数列log2一＞为递减数列，故D错误.

故选：BC.

11.已知函数/(x)=e*,g(x)=lnx,若/(x),g(x)的图象与直线乙：y=%x+4分别切于点

5(X2,J2)(X1＞X2)＞与直线4：了=。2%+&分别切于点C，D,且/r4相交于点

尸(%，%)，则()

A.玉一In%=0

c2e2

C.ax>2-a2D-Xo+汽〉-^

UJ.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据公切线的有关概念判断占与马的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数

的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点,

判断D的真假.

【详解】由题意得了'(x)=e"g'(x)=，，所以4=/'(xJ=g'(x,)=/t止如J,即

Xxr-x2

।e"1Inx1

%=e*=—=----------由e*=—,整理得％i=—ln%2，且In%。。，A错误；

x2玉-x2X2

把马=二，lnx,=一再，代入炉=士电三，整理得B正确；

e*石一々七一1

两图象有2个交点，所以/(x)图象上的切点有2个，即/(x)与g(x)的公切线有2条.

因为/(x)，g(x)的图象关于直线歹=》对称，所以点2(西,炉)(石70)关于直线>的对称点为

x

,%=e*,出=g'(e~)=,ax+a2=e'+>2,C正确；

因为直线ZB,C。关于直线V=x对称，则点尸就是直线45与直线V=x的交点，

直线28的方程为歹一炉=炉(工一玉)，与歹=x联立得x=®二叵，

eX1-1

济四(西一1)炉的］、［2(Xj-l)eX1

所以%=%=—所以/+%=一口—'

e1ei

%x+1.2

由e।=------=1+-------且西>/可得］<再<2,

花一1%1-1

Op2

设/z(x)=(x-l)e'(l<%<2),则〃(x)=xe”〉0,所以办(%)<〃(2)=/,所以%()+%<—...，D错误.

eX1-1

故选：BC.

【点睛】关键点点睛（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，这一

性质的应用在判断D选项时很重要.

（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的

求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12已知平面向量西万满足比•为=3,且比（应-2方），则同=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.

【详解】因为龙，（而—2方），

所以加,（机—2”）=0,则应2=2方=6，

所以网=布.

故答案为：V6.

13.若c,且cos2a=cos[a+；J,则。=.

7T

【答案】一五

【解析I

【分析】化简三角函数式，求出sin[a+；]=；,根据即可求解.

【详解】由cos2a=cos[a+,得cos2a—sin2a=^^（cosa—sina）.

因为a,所以coso-sinaw0,则cosa+sina=^~,则sin[a+—^=—.

,「兀八,口兀/兀兀if兀兀E/口71

由一行,0,得夕+二£一二，:卜则。+：=：,解得。二一二.

V2J4144）4612

兀

故答案为:

12

S1t3〃+2

14'设S/"分别为等差数列a｝'.的前〃项和，且方.设/是直线叱外一点，P是直线作

上一点，且万=华氏益则实数％的值为.

9

【答案】一五'

【解析】

【分析】运用三点共线向量公式和等差数列的性质，即可求解.

【详解】依题意，B,C,P三点共线，

4+a.a,

;+2=1,.*.2=1—2x—

4A

依颐音用_2%_%+%_（%+%）xg_s5_3x5+2_17

依出、‘二双一标一―［一丁…一毛

.179

・・2=1—2x——-----

2525

9

故答案为：一工

25

【点睛】关键点睛：本题需要熟练掌握三点共线向量公式，以及等差数列的求和公式的逆运用.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等比数列｛4｝为递增数列，其前〃项和为S）,，？=9，=39.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若数列｛%-2｝是首项为1,公差为3的等差数列，求数列｛4｝的通项公式及前〃项和北.

【答案】⑴4=3"

3日-3/+〃—3

(2)»=3"-3〃+2,T”

2

【解析】

【分析】（1）设等比数列｛%｝的首项为的,公比为q,依题意得到关于4、q的方程组，解得生、q,即

可求出通项公式；

（2）依题意可得，=3"-3”+2,利用分组求和法计算可得.

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的首项为生,公比为4,

a,q=9[q=327

根据题意可得2“，解得｛.或｛1.

ax+axq+axq-39国=3q=一

、3

(7,=3

因为等比数列｛4｝为递增数列，所以「。,

q=3

所以数列｛%｝的通项公式为%=3".

【小问2详解】

因为数列｛%-"｝是首项为1,公差为3的等差数列，

所以氏_a=1+3(“-1)=3"一2,

所以“=3"-3”+2,

所以北=(3+9+27+--+3")-(1+4+7+--+3〃-2)

_3(1-3")n(l+3«-2)_3"+1-3/?2+«-3

~1-32=2'

16.在锐角V4SC中，内角4民。的对边分别为。，“c,且q=

cb~-ac

(1)证明：B=2C.

(2)若点。在边NC上，且CZ)=5Z)=4,求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(4行,4百).

【解析】

【分析】(1)化简己知等式结合余弦定理可得a=c(l+2cosB),再利用两角和的正弦公式即可证明结论;

(2)由已知条件结合正弦定理可得8C=8cosC,根据锐角V4SC确定角C的范围，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：因为3=所以a2c=/c—。3,

cb-ac

整理得=c(a+cX(7-c).

又以力1，所以a-cwO,/Ajfub~=ac+c~=a2+c2-2accosB>

c

整理得a=c(l+2cosB),则sirU=sinC(l+2cos5).

由sirU=sin(8+C)=sinScosC+cosfisinC,得siaScosC-cosBsinC=sinC,

即5由（8-。）=5吊0,结合锐角V45C中，8—

则8—C=C,即8=2C.

【小问2详解】

如图，由CD=80,可得N4CB=NDBC,则/8DC=兀—2/ZC8.

BD

在△BCD中，由正弦定理得----------

sin/BDCsin/BCD

BDsin/BDC4sin2C

整理得8C==8cosC.

sin/BCDsinC

0<Y，

因为8=2C,且V48C是锐角三角形，所以<0<2C<

P解得恭c<%

TT

0<?i-3C<-,

2

贝也<cosC(立

2

从而472<8cosC<4G，即口的取值范围为（472,473）.

17.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称麦

克劳林公式）有如下特殊形式：当/（x）在x=0处的M〃eN*）阶导数都存在时，

2

/（x）=/（O）+r（O）-x+^）.xH,~|'x"+...*其中，/0）表示/（X）的二

阶导数，即为尸（%）的导数,/㈤⑴（心3）表示/（x）的”阶导数.

（1）根据公式估计cos；的值；（结果保留两位有效数字）

.X3X51/XH-12n-l

X•X

(2)由公式可得：sinx=x--++(-1)②+…'当时’请比较s2与

X-上的大小，并给出证明;

6

.(1)

sin----

(3)已知〃£N*，证明：＜+左J1

£ln(〃+左+l)-ln(〃+左)12〃+9

【答案】(1)0.88

(2)siru>x--,证明见解析

6

(3)证明见解析

【解析】

2468

【分析】(1)根据泰勒公式求得cosx=l-土+土-土+——，赋值即可求得近似值;

2!4!6!8!

(x3\

(2)构造函数g(x)=sinx-X-—(x>0),利用导数判断其单调性和最值，即可证明;

I6J

(3)根据(2)中所得结论，将目标式放缩为

.(1)

sm----/、

_______("+N>\--\]________!____|，再裂项求和即可证明.

ln(〃+左+l)-ln(〃+左)3(2〃+2左一12〃+2左+1J

【小问1详解】

记f(x)=cosx,则/'(X)--sinxJ"(x)=-cosxJ⑶(x)=sinx,/«)⑴-cosx,

2468

XXXX

COSX=1一---1-------1----

2!4!6!8!

所以1

cos—

因为1

(2左)！(2左+2)!(2左)！(2左+2)!(2左+2)!

1--=0.875<cos—<1--H----——<0.878,r.cos—«0.88.

82816x242

【小问2详解】

f1,

令g(x)=sinx—x---(x>0),则g'(x)=cosx-l+_x2,g"(x)=_sinx+x,g(x)=1-cosx,

g"(X)»o恒成立，，g"(X)在(o,+8)递增,gH(x)>gH⑼=o,g'(x)在(0,+8)递增,

,、(x3^，、

g'(x)〉g'(0)=0,.'.g(x)在(0,+e)递增,g(x)=siiu-x--->g(0)=0,

V3

即sinx>x---.

6

【小问3详解】

由题，〃eN+，lW左V〃，则则sin[^—>0,

n+k\n-\-k)n+k6\n+k)

令O(x)=ln(x+l)-x,"(x)=」~^一1=——、，

易得9(x)在(TO)上递增，在(0,+。)上递减，从而°(x)<e(O)=O,

即ln(x+l)Vx(当且仅当x=0时取等号),

1

0<ln(〃+左+l)—ln(〃+E)=ln1+

n+k)n+k

1

〉〃+《〉0,

1

sin3

n+k11

〉(〃+左)

ln(〃+A:+l)-ln(〃+k)n+kn+k

41,21,21

=1d------------〉1---------------=1--------------------------

6(2〃+2左)23(2〃+2左)2—13(2n+2k-l)-(2n+2k+l)

.J11]

3{2n+2k-l2n+2k+lJ，

1

sin

----------------------〉n—（---------------1--------------P...-------------）

左=iln（〃+左+l）-ln（〃+左）32〃+12〃+32〃+32〃+54〃-14〃+1

=〃」p---

312〃+14〃+1

1（2n、

—n—--------------

3（（2〃+l）.（4〃+l）J

3（8〃2+6«+1J

If2n}1

>n——%---=n------得证.

3（8/+6〃J12/7+9

【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为

.（1]

________\n+k）1<____1__________1____Y再利用裂项求和法证明，对学生已知条件

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）312〃+2左一12n+2k+\J

的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.

18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和

4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第

二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客

甲第n次抽奖所得的奖券数额X,（1<〃<6）的数学期望为E（X,,）.

（1）求E（Xj及X2的分布列.

（2）写出E（Xj与£（工_1）（〃》2）的递推关系式，并证明｛E（X〃）+50｝为等比数列；

（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26622.986）

【答案】（1）£（Xj=40,分布列见解析；

（2）E（XJ=L2E（X"_J+1O（2<〃<6）,证明见解析；

（3）593.7（元）

【解析】

【分析】（1）根据条件，直接求出X1,万2的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结

果;

（2）根据条件，建立关系式£（£,）=2£（X,i）x0.6+25x0.4,即可求出结果，再构造成

E（XJ+50=1.2（E（X„T）+50）,利用等比数列的定义，即可证明结果；

（3）由（2）得到E（X"）=90X1.2"T—50,即可求出结果.

【小问1详解】

依题意，抽到一个红球的概率为9=0.6,抽到一个黑球的概率为0.4,

10

显然X]的值为25,50,则尸（X]=25）=0.4,尸（X]=50）=0.6,

所以E（Xj=25x0.4+50x0.6=40,

又凡的值为25,50,100,

则尸（超=25）=0.4,尸（乙=50）=0.4x0.6=0.24,0（起=100）=0.6x0.6=0.36,

所以X2的分布列为：

2550100

P0.40.240.36

【小问2详解】依题意，当“22时，甲第"次抽到红球所得的奖券数额为2E（X〃T）,对应概率为0.6,

抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4,

因此当2<〃<6时，£（X"）=2£（X“T）X0.6+25X0.4=L2£（X“T）+10,

E（X“）+50=1.2E（X“T）+60,即E（X,）+5O=1.2（E（X"T）+5O）,又£（Xj+50=40+50=90,

数列｛£（£）+50｝为等比数列，公比为1.2,首项为90.

【小问3详解】

由（2）得，£（X“）+50=90X1.2"T（1<〃<6）,即E（X〃）=90x1.2自—50,

所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为

90（1-1.26）/A90x（1-2.986）〈。­，一、

士〃1-1.2-0.2

19.已知=

（1）求/（x）的定义域;

(2)若/(x)之。恒成立，求。能够取得的最大整数值；

z.x-xnn6810In+4〃~+3〃+2/*\

(3)证明：一+—+—+••-+——-—>I1n-------------weNXT.

149/2'，

【答案】(1)(0,+。)

(2)1(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据函数有意义，得到不等式组〈，构造函数g(x)=x2-4hw,通过求导推

出g(x)2g(、/e)〉0,即可得到函数的定义域；

(2)由题设不